GEA II - Introduction aux probabilités
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Chapitre 9 : Dénombrement
14 janv. 2014 Il y a trois sortes de mathématiciens : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas compter. Introduction. La combinatoire science du ...
ECE3 2011-2012 : Un an de maths
Guillaume LAFON
10 juillet 2012
iiTable des matières
Last but not leastxv
I Cours1
1 Calcul; logique5
1.1 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Fonctions usuelles 9
2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Parité et périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Monotonie et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 Logarithmes et exponentielles de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Puissances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Valeur absolue, partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Récurrence; sommes, produits 19
3.1 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Sommes : notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.4 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iii ivTABLE DES MATIÈRES4 Suites classiques 25
4.1 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Quelques suites à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.4 Suites récurrentes linéaires d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Ensembles et applications 31
5.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Convergence de suites 37
6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.1 Limites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Propriétés principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1 Opérations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2 Limites de suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3 Équivalents et négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Dénombrement47
7.1 Cardinaux d"ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 Listes, arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Séries55
8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.3 Séries classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9 Systèmes linéaires 61
9.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10 Limites, continuité 67
10.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.1.2 Opérations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.1.3 Négligeabilité, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.1.4 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.1.5 Branches paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.1.6 Propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.2 Théorème des valeurs intermédiaires et applications . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
TABLE DES MATIÈRESv
11 Fonctions à deux variables 75
11.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.2 Exemples de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12 Probabilités, généralités 83
12.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.1.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.1.3 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.1.4 Lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2.2 Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.3.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.4 Indépendance d"événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13 Matrices91
13.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2.1 Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2.2 Produit d"une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.3 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14 Dérivation99
14.1 Définitions et formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.1.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
14.1.3 Dérivées de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14.2 Dérivées successives; convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.2.1 Fonctions de classeCketDk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.3 Inégalité des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.3.2 Application à l"étude des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.3.3 Application à l"étude de suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
15 Variables aléatoires finies 113
15.1 Variables aléatoires finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.1.1 Définition, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.1.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.1.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
15.1.4 Moments d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
15.2 Lois usuelles finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15.2.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2.3 Loi binômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
viTABLE DES MATIÈRES16 Inversion de matrices 123
16.1 Inversion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16.2 Lien entre matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16.3 Pivot de Gauss sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16.4 Diagonalisation de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
17 Intégration131
17.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
17.1.1 Aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
17.1.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
17.1.3 Définition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.3 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.3.1 Intégration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.4.1 Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.4.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18 Variables aléatoires infinies 141
18.1 Compléments de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.2 Variables infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.1 Définition, opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.2 Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.4 Moments d"une variable aléatoire infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3 Lois usuelles infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3.1 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
18.3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19 Couples de variables aléatoires 147
19.1 Loi d"un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
20 Polynômes153
20.1 Définitions, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.2.1 Algorithme naïf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
20.3 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
21 Espaces vectoriels 159
21.1 Espaces et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
21.3 Application linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21.3.2 Noyau, image d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21.3.3 Aspect matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
TABLE DES MATIÈRESvii
II Fiches-méthode 171
Suites174
Dénombrement175
Séries176
Probabilités177
Dérivation178
Variables aléatoires 180
Matrices181
Intégration182
Espaces vectoriels 183
III Exercices 185
Calcul et Logique 188
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Fonctions usuelles 193
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Récurrence, sommes et produits 209
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Révisions DS1217
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Suites classiques222
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ensembles et applications 229
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Révisions DS2238
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Convergence de suites 243
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Dénombrement258
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Révisions DS3266
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Séries273
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
viiiTABLE DES MATIÈRESProblème coefficients binomiaux 282
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Systèmes285
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Limites, continuité 293
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Fonctions à deux variables 305
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Complément sur les fonctions 314
Probabilités321
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Révisions DS5335
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Matrices337
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Révisions DS6345
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Dérivation, convexité 348
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Suites récurrentes 369
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Variables aléatoires discrètes 377
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Lois usuelles386
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Révisions DS7394
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Inversion de matrices 399
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Intégration410
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Préparation CB : Analyse 420
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Préparation CB : Probabilités 428
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Variables aléatoires finies 438
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
TABLE DES MATIÈRESix
Révisions DS10443
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
ESSEC 2008446
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Couples de variables aléatoires 451
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
ESSEC 98, partie II 460
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Polynômes465
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Best Of Ecricome 472
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
Espaces Vectoriels 481
Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Devoirs de vacances 493
IV Devoirs 499
QCM de rentrée502
QCM : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Devoir Surveillé n°1 507
DS1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Devoir Surveillé n°2 513
DS2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Devoir Surveillé n°3 520
DS3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
Concours Blanc n°1 529
CB1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
Devoir Surveillé n°5 536
DS5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
Devoir Surveillé n°6 542
DS6 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Devoir Surveillé n°7 550
DS7 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
Concours Blanc n°2 - Probabilités 559
CB2 - Probabilités : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Concours Blanc n°2 - Analyse 569
CB2 - Analyse : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
xTABLE DES MATIÈRESDevoir Surveillé n°10 577
DS10 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Devoir Maison n°1 581
DM1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Devoir Maison n°2 587
DM2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
Devoir Maison n°3 594
DM3 : Aide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
DM3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
Devoir Maison n°4 602
DM4 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
Devoir Maison n°5 608
DM5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
Interrogation Écrite n°1 614
IE1 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
Interrogation Écrite n°2 616
IE2 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
Interrogation Écrite n°3 618
IE3 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
Interrogation Écrite n°4 620
IE4 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
Interrogation Écrite n°5 622
IE5 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
Interrogation Écrite n°6 625
IE6 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
Interrogation Écrite n°7 627
IE7 : Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
V Colles629
Colloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
Programme semaine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Programme semaine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Programme semaine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 Programme semaine 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 Programme semaine 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 Programme semaine 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 Programme semaine 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 Programme semaine 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Programme semaine 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Programme semaine 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Programme semaines 13 et 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646TABLE DES MATIÈRESxi
Programme semaine 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 Programme semaine 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 Programme semaine 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 Programme semaine 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 Programme semaine 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 Programme semaine 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 Programme semaine 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Programme semaine 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Programme semaine 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 Programme semaine 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 Programme semaine 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 Programme semaine 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 Programme semaine 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Programme semaine 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 Programme semaine 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 Programme semaine 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662VI Informatique 663
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