[PDF] Chapitre 3 - Suites arithmétiques et géométriques

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Chapitre 3Suites arithmétiques et géométriques3.1 Notion de suiteune suite numérique est une succession de nombres réels, chacun étant un terme de la suite. On numérote les

termes, ce qui revient à faire correspondre à des entiers naturels des nombres réels.

Rang du terme 1 2 3 4... n

Terme 3 9 27 81... un= 3n

L"image de l"entiernpar la suiteuse noteunet se lit "uindicen». On dit queunest le terme de rangn. La

suiteuse note aussi(un)n?N.

3.2 Suites arithmétiques

Définition 1Lorsqu"on obtient chaque terme d"une suite en ajoutant au terme précédent toujours le même

réel, appelé raison, la suite est dite arithmétique.

•Dire queuest une suite arithmétique de raisonr, signifie que pour toutn?N(ou une partie deN), on a :

u n+1=un+r.

Exemples :

•5; 8; 11; 14 est une suite arithmétique de quatre termes, de premier terme 5 et de raison 3.

•12; 10,5; 9; 7,5; 6 est une suite arithmétique de cinq termes,de premier terme 12 et de raison -1,5.

Théorème 1Le terme de rangnd"une suite arithmétiqueude premier termeu1et de raisonrest : u n=u1+ (n-1)r Si le premier terme estu0alors le terme de rangnest :un=u0+nr.

Exemple :

Soit la suite arithmétique de premier termeu1= 12et de raison 3. Le terme de rang 50u50=u1+ (50-1)×r= 12 + 49×3 = 159.

Théorème 2Somme des n premiers termes

La somme des n premiers termes d"une suite arithmétiqueude premier termeu1est : S n=u1+u2...+un-1+un=n(u1+un) 2 On retient que la sommeSde termes consécutifs d"une suite arithmétique est égale à

S=nombre de termes×premier terme+dernier terme

2

Exemple :

Soit la suite arithmétique de premier termeu1= 1et de raison 2. S n=u1+u2...+un-1+un= 1 + 3 + 5...+ (2n-1) =(1 + 2n-1)(n) 2=n2 S

1= 1;S2= 1 + 3 = 4;S3= 1 + 3 + 5 = 9;S4= 1 + 3 + 5 + 7 = 16;

1

Suites arithmétiques et géométriques

3.3 Suites géométriques

Définition 2

•Lorsqu"on obtient chaque terme d"une suite en multipliant le terme précédent par le même réel, appelé raison,

la suite est une suite géométrique.

•Siuest une suite géométrique de raisonq, pour toutn?N(ou d"une partie deN). on a :un+1=q×un

Exemples :

1; 2; 4; 8; 16; 32; est une suite géométrique de cinq termes de premier terme 1 et de raison 2.

Les intérêts composés : un capital de 5000 euros est placé au taux annuel de 4,5 %. On a donc :

C

0= 5000

C

1= 5000 + 5000×0,045 = 5000×1,045 = 5225

C

2=C1×1,045 = 5355,625

Méthode :Pour démontrer qu"une suite est géométrique il faut :

•s"assurer que pour toutn?Nun?= 0

•montrer que pour toutn?Nle rapportun+1

unest un réelqconstant.

Calcul du terme de rangn

Soituune suite géométrique de premier termeu1et de raisonq. On a :u2=q×u1;u3=q×u2=q×q×u1=

q

2u1;u4=q×u3=q×q2u1=q3u1. On admet que pour tout entiernnon nul, on a :un=qn-1u1.

Théorème 3Le terme de rangnd"une suite géométriqueude premier termeu1et de raisonqest :un=

q n-1u1. si le premier terme estu0alors le terme de rangnestun=qnu0.

Exemple :soituune suite géométrique de premier terme 100 et de raison 3.u10= 39×100 = 1968300

Théorème 4Somme des n premiers termes

La somme desnpremiers termes d"une suite géométriqueude premier termeu1et de raisonq?= 1est : S n=u1+u2+...+un=u1×1-qn 1-q On retient que la sommeSde termes consécutifs d"une suite géométrique est égale à

S=premier terme×1-qnb de termes

1-q

Exemple :sur la première case d"un échiquier on place 1 grain de riz, 2 sur la suite puis 4. Ainsi de suite

jusqu"à la dernière case. Combien de grains de riz faut-il pour compléter l"échiquierde cette façon? Il s"agit d"une suite géométrique de premier termeu1= 1et de raisonq= 2. Le nombre de grains riz total estu1+u2+...+u64=1-2n

1-2= 264-1≈1,84×1019

soit environ1844milliards de milliards. 2quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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