TSspémaths TS spé maths PDF TermS spécialité. Correction Devoir.

Corrigé terminale S

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Exercices congruences.pdf

Exercices sur les congruences. Exercice 1 Exercice 2. Compléter la table de congruence suivante modulo 5 ... Corrigé. Exercice 1.

Congruences - Arithmétique Spé Maths terminale S : Exercices

Spé Maths terminale S : Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. Apprendre `a calculer avec les congruences.

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 3030 Congruence des carrés modulo 5. On définit la relation ? sur Z Montrer que spec(A)?spec(B) = ? si et seulement si ?A(B) est inversible.

TSspémaths TS spé maths

TermS spécialité. Correction Devoir. Surveillé 1. TSspémaths. MathsMaths. TS spé maths. Exercice. 1. 4. Exercice. 2. 3. Exercice. 3. 4. Exercice. 4.

TS spé maths

TermS spécialité. Correction. Devoir Maison 2. TSspémaths. MathsMaths. TS spé maths. Exercice 1. 2. Exercice 2. 55 = 1

Correction contrôle de mathématiques

04.11.2014 Chapitre 1 : multiples division euclidienne

Congruences.

Congruences. Exercice. 1. Déterminer les restes de la division euclidienne par 97 de 23104 et de 15231 et de 6462113.

Congruence. Critères de divisibilité.

Exercice. Dans le système décimal on étudie la divisibilité par 13. 1. Soit un entier naturel n tel que: n=10a+ b avec a?? et b??.

Arithmétique : Bac S 2019 - Spé Maths Centres Étrangers

Exercice 4. Corrigé Congruence. • Théorème de Gauss. • Théorème de Bézout. • Nombres premiers ... Corrigé - Bac - Mathématiques - 201 9. Freemaths :.

Correction Devoir Surveillé 1 :arithmétiqueTermS spécialitéCorrection Devoir

Surveillé 1

TS spé maths

MathsMathsTS spé maths

Exercice. 1.4

Exercice. 2.3Exercice. 3.4

Exercice. 4.2;5=1+1;5Exercice. 5.2=0;5+1;5

Exercice. 6.2=0;5+1;5Exercice. 7.2;5Barème

Exercice 1.(4 points)

Déterminer quels sont les entiers relatifsntels quen+5divise7n+32. n+5?7n+32orn+5?n+5ainsin+5?7n+35donc, par combinaison linéaire,n+5? ((7n+32)-(7n+35)) ien+5? (-3) Par conséquent,n+5?D(-3)={-3;-1;1;3}. On a donc :n+5-3-113 n-8-6-4-27n+32-24-10418 Vérification-3?-24?⎷-1?-10?⎷1?4?⎷3?18?⎷Conclusion :S={-8;-6;-4;-2}.

Exercice 2.(3 points)

Démontrer que, quel que soit l"entier relatifn, les nombres suivants sont premiers entre eux :11n+6et9n+5.

Soitn?N. On considèred?=pgcd(11n+6;9n+5)(d⩾0).

On a :⎧

d?9n+5??d?99n+55⎫

⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭??d? ((99n+55)-(99n+54))(par combinaison linéaire) ie

d?1 Par conséquentd?D={-1;1}, ord⩾0, doncd=pgcd(11n+6;9n+5)=1. Conclusion : quel que soitn?N,11n+6et9n+5sont premiers entre eux.

Exercice 3.(4 points)

Déterminer tous les couples d"entiersnaturels(a;b)tels quea2-b2=99. NotonsG+l"ensemble des couples(a;b)d"entiers naturels tels quea2-b2=99.

Soientaetbdeux entiers naturels.

(a;b)?G+??a2-b2=99??(a-b)(a+b)=99Roussot 1/3 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 1 :arithmétiqueTermS spécialitéOra?Netb?Ndonca+b?N, ainsia-b?N?(a-b)(a+b)=99?eta-b⩽a+b.

De plusD+(99)={1;3;9;11;33;99}sachant que99=1×99=3×33=9×11(=11×9)

Ainsi :

(a;b)?G+??a2-b2=99 a+b=99ou⎧ a+b=33ou⎧ a+b=11

2b=98ou⎧

2b=30ou⎧

2b=2 b=49ou⎧ b=15ou⎧ b=1 b=49ou⎧ b=15ou⎧ b=1

Conclusion :G+={(50;49);(18;15);(10;1)}.

Exercice 4.(2,5 points)

1.Déterminer le (ou les) entier(s) relatif(s)xvérifiant⎧

100⩽x<107

100⩽x<107??⎧

103⩽x+3<110??x+3?7Z∩[103;110[

Or le seul multiple de7compris entre103(inclus) et110(non inclus) est105.

De plusx+3=105??x=102.

Conclusion : Le seul entier relatifxvérifiant⎧

100⩽x<107est102.

2.Déterminer le (ou les) entier(s) relatif(s)xvérifiant⎧

100⩽x<120

100⩽x<120??⎧

??x?{103;108;113;118} Conclusion : Les entiers relatifsxvérifiant⎧

100⩽x<120sont103,108,113et118.

Exercice 5.(2 points)

1.Déterminer le reste de la division euclidienne de20092par16.

2009=16×125+9

Or81=16×5+1

Le reste de la division euclidienne de20092par16est1.

Autre rédaction avec des congruences :

Or0⩽1<16

Donc le reste de la division euclidienne de20092par16est1.Roussot 2/3 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 1 :arithmétiqueTermS spécialité2.Montrer alors que20098001≡2009[16].

Tout d"abord, notons que8001=2×4000+1.

En partant du résultat de la question précédente : 2009

Exercice 6.(2 points)

1.Justifier que52≡-1[13].

2.Montrer alors que, pour toutn?N,54n-1est divisible par13.

Soitn?N.

5 ??54n-1≡0[13]

Donc, pour toutn?N,54n-1est divisible par13.Remarque :On peut aussi démontrer cette propriété par récurrence.

Exercice 7.(2,5 points)

On considère la suiteudéfinie surNparun=52n+3.

Montrer que, pour toutn?N,un≡1[4].

Montrons par récurrence :?n?N, la propriété "un≡1[4]». ?Initialisation :u0=53=125=4×31+1doncu0≡1[4].

La propriété est donc vraie pourn=0.

?Hérédité :Soitk?N. Supposons la propriété vraie au rangket montrons que la propriété est vraie au rangk+1. u

La propriété est donc héréditaire.

?Conclusion :par principe de récurrence, on en déduit que la propriété "un≡1[4]» est vraie pour

toutn?N. Autre rédaction sans récurrence :5≡1[4]??52n+3≡12n+3[4]ieun≡1[4].End En d

Roussot 3/

2016 - 2017

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Surveillé 1

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Exercice. 1.4

Exercice. 2.3Exercice. 3.4

Exercice. 4.2;5=1+1;5Exercice. 5.2=0;5+1;5

Exercice. 6.2=0;5+1;5Exercice. 7.2;5Barème

Exercice 1.(4 points)

Exercice 2.(3 points)

On a :⎧

Exercice 3.(4 points)

Soientaetbdeux entiers naturels.

Ainsi :

2b=98ou⎧

2b=30ou⎧

Conclusion :G+={(50;49);(18;15);(10;1)}.

Exercice 4.(2,5 points)

1.Déterminer le (ou les) entier(s) relatif(s)xvérifiant⎧

100⩽x<107

100⩽x<107??⎧

103⩽x+3<110??x+3?7Z∩[103;110[

De plusx+3=105??x=102.

100⩽x<107est102.

2.Déterminer le (ou les) entier(s) relatif(s)xvérifiant⎧

100⩽x<120

100⩽x<120??⎧

100⩽x<120sont103,108,113et118.

Exercice 5.(2 points)

1.Déterminer le reste de la division euclidienne de20092par16.

2009=16×125+9

Or81=16×5+1

Autre rédaction avec des congruences :

Or0⩽1<16

Tout d"abord, notons que8001=2×4000+1.

Exercice 6.(2 points)

1.Justifier que52≡-1[13].

2.Montrer alors que, pour toutn?N,54n-1est divisible par13.

Soitn?N.

Exercice 7.(2,5 points)

Montrer que, pour toutn?N,un≡1[4].

La propriété est donc vraie pourn=0.

La propriété est donc héréditaire.

Roussot 3/

2016 - 2017