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Mathématiques

ECS 1 re année

Mathématiques

ECS 1 re année

Françoise Benoist

Professeur agrégée

de mathématiques en ECS2 au lycée Gay-Lussac (Limoges)

Benoît Rivet

Professeur agrégé de mathématiques

en classes préparatoires au lycée Gay-Lussac (Limoges)

LE COMPAGNON

Samuel Maffre

Professeur agrégé

de mathématiques en ECS1 au lycée Gay-Lussac (Limoges)

Lionel Dorat

Professeur agrégé

de mathématiques en ECS1 au lycée Camille Vernet (Valence)

Brice Touzillier

Professeur agrégé

de mathématiques en ECS2 au lycée Michelet (Vanves)

© Dunod, Paris, 2011

ISBN 978-2-10-056931-1

Table des matières

1. Nombres réels1

1.1Addition et symbole somme1

1.2Multiplication et coefÞcients binomiaux6

1.3InŽgalitŽs12

Tests et exercices16

CorrigŽs des exercices20

2. Ensembles et applications29

2.1Logique29

2.2Modes de raisonnement32

2.3Ensembles38

2.4Applications42

Tests et exercices49

CorrigŽs des exercices53

3. Nombres complexes62

3.1PropriŽtŽs fondamentales62

3.2Forme trigonomŽtrique dÕun complexe65

Tests et exercices74

CorrigŽs des exercices77

4. Polynômes réels ou complexes85

4.1Polyn™mes ˆ coefÞcients dansK85

4.2Division euclidienne de polyn™mes92

4.3DŽrivŽes successives95

4.4Racines dÕun polyn™me97

Tests et exercices106

CorrigŽs des exercices110

5. Systèmes linéaires124

5.1DŽÞnitions124

5.2OpŽrations ŽlŽmentaires125

de Gauss125

Tests et exercices131

CorrigŽs des exercices132

6. Espaces vectoriels135

6.1Structure dÕespace vectoriel135

6.2Sous-espaces vectoriels137

6.3Familles de vecteurs143

6.4Somme de sous-espaces vectoriels149

Tests et exercices154

CorrigŽs des exercices156

7. Applications linéaires164

7.1Applications linŽaires164

7.2Noyau et image dÕune application linŽaire167

7.3OpŽrations sur les applications linŽaires172

7.4Image dÕune famille de vecteurs

par une application linŽaire176

7.5Projections et symŽtries177

IV

Table des matières

Tests et exercices186

CorrigŽs des exercices188

8. Espaces vectoriels

de dimension nie196

8.1Dimension196

8.2Sous-espaces dÕun espace de dimension Þnie201

8.3Rang203

Tests et exercices208

CorrigŽs des exercices210

9. Matrices218

9.1Matrices et applications linŽaires218

9.2OpŽrations sur les matrices222

9.3Rang dÕune matrice227

9.4Matrices carrŽes230

9.5Changement de base237

Tests et exercices244

CorrigŽs des exercices248

10. Réduction

des endomorphismes et des matrices carrées258

10.1ElŽments propres dÕun endomorphisme258

10.2Endomorphismes diagonalisables261

10.3RŽduction des matrices carrŽes263

10.4Applications de la diagonalisation269

Tests et exercices272

CorrigŽs des exercices275

11. Généralités sur les suites

réelles287

11.1DŽÞnitions287

11.2Suites convergentes291

11.3Limites inÞnies298

11.4Quelques propriŽtŽs de lÕensemble

des nombres rŽels302

Tests et exercices307

CorrigŽs des exercices312

12. Exemples de suites321

12.1Suites arithmŽtico-gŽomŽtriques322

12.2Relation linŽaire de rŽcurrence dÕordre 2323

12.3Relation de rŽcurrence du typeu

n+1 =f(u n )325

Tests et exercices332

CorrigŽs des exercices336

13. Étude asymptotique

des suites345

13.1Suite nŽgligeable devant une autre345

13.2Suites Žquivalentes348

Tests et exercices354

CorrigŽs des exercices357

14. Étude locale des fonctions363

14.1Limite et continuitŽ en un point363

14.2Limite ˆ gauche, ˆ droite. Prolongement

par continuitŽ366

14.3PropriŽtŽs369

14.4Comparaison des fonctions au voisinage

dÕun point374

14.5Branches inÞnies des courbes377

Tests et exercices382

CorrigŽs des exercices386

Dunod. La photocopie non autorisée est un délit V

Table des matières

15. Étude globale des fonctions392

15.1Rappels et complŽments sur quelques

propriŽtŽs globales des fonctions392

15.2Fonctions monotones395

15.3Fonctions continues sur un intervalle397

Tests et exercices404

CorrigŽs des exercices408

16. Dérivation416

16.1Conception locale de la dŽrivŽe416

16.2PropriŽtŽs globales de la dŽrivŽe421

16.3DŽrivŽes successives428

16.4Fonctions convexes430

Tests et exercices434

CorrigŽs des exercices438

17. Intégration sur un segment

et primitives448

17.1Construction de lÕintŽgrale sur un segment448

17.2PropriŽtŽs de lÕintŽgrale sur un segment451

17.3Primitives et intŽgrales454

17.4Calcul des intŽgrales459

Tests et exercices463

CorrigŽs des exercices467

18. Formules de Taylor

et développements limités479

18.1Formules de Taylor479

18.2DŽveloppements limitŽs483

Tests et exercices489

CorrigŽs des exercices492

19. Séries numériques501

19.1GŽnŽralitŽs501

19.2SŽries ˆ termes positifs504

19.3SŽries gŽomŽtriques et exponentielles507

Tests et exercices514

CorrigŽs des exercices518

20. Fonctions de deux variables528

20.2Fonctions dŽÞnies surR

2 , continuitŽ534

20.3Calcul diffŽrentiel538

Tests et exercices544

CorrigŽs des exercices547

21. Dénombrement554

21.1DŽÞnition et propriŽtŽ555

21.2DŽnombrements usuels558

21.3Exemple : jeu de carte et dŽnombrement564

Tests et exercices568

CorrigŽs des exercices571

22. Statistiques580

22.1Cadre mathŽmatique582

22.2ReprŽsentation graphique583

22.3CaractŽristiques de position585

22.4CaractŽristiques de dispersion589

23. Espaces probabilisés nis591

23.2ProbabilitŽ sur un ensemble Þni593

23.3ProbabilitŽ conditionnelle598

23.4IndŽpendance603

VI

Table des matières

Tests et exercices606

CorrigŽs des exercices609

24. Variables aléatoires nies621

24.1Loi dÕune variable alŽatoire622

24.2EspŽrance et variance dÕune variable alŽatoire626

24.3Lois usuelles632

Tests et exercices645

CorrigŽs des exercices647

25. Espace probabilisés innis656

25.2ProbabilitŽ658

25.3ProbabilitŽ conditionnelle664

25.4IndŽpendance667

Tests et exercices669

CorrigŽs des exercices672

26. Variables aléatoires innies680

26.2EspŽrance et variance dÕune variable alŽatoire683

26.3Lois usuelles688

Tests et exercices696

CorrigŽs des exercices699

27. Couples devariablesaléatoires

discrètes706

27.1Loi conjointe, lois marginales dÕun couple

de variables alŽatoires706

27.2IndŽpendance708

27.3EspŽrance et covariance709

27.4Somme de variables alŽatoires714

Tests et exercices718

CorrigŽs des exercices722

28. Éléments d'algorithmique735

28.1Environnement PASCAL735

28.2Structures de base738

28.3Fonctions et procŽdures743

28.4Les Tableaux745

28.5Simulations en probabilitŽ747

28.6Logiciel749

Tests et exercices751

CorrigŽs des exercices756

Index765

Dunod. La photocopie non autorisée est un délit VII

Pour bien utiliser cet ouvrage

La page d'entrée de chapitre

Elle propose une introduction au cours, un

rappel des prŽrequis et des objectifs, ainsi quÕun plan du chapitre.

Le cours

€Le cours aborde les notions du programme de

faon synthŽtique et structurŽe aÞn dÕen faci- liter lÕapprentissage. €Des encarts dŽtaillent Žtape par Žtape les mŽ- thodes essentielles, et sont suivis dÕexemples dÕapplication.

Pictogramme

€Des commentaires pŽdagogiques vous ac-

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