Introduction du nombre dérivé : un exemple de progression en
1°) Activité d'approche : sur un exemple visualisation du nombre dérivé en tant que coefficient directeur de la tangente.
Mathématiques
croissance où la vitesse instantanée est vue comme un cas limite de vitesses moyennes. On retrouve là l'approche cinématique du concept de nombre dérivé.
Nombre dérivé et fonction dérivée
problème posé. Partie 3 : Approche numérique à l'aide du tableur OpenOffice. Soient h un nombre réel et M le point de la courbe Cf d'abscisse 05 + h.
Utilisation de la calculatrice T I 82
30 juin 2009 La calculatrice permet de trouver (en général une valeur approchée)de ce nombre. 6.6.1. Calculs de nombres dérivés :.
Première S - Nombre dérivé et tangente
1) Fonction dérivable en un point et nombre dérivé. Remarque : La tangente à la courbe (C ) au point A est la droite qui « approche ».
Interprétation géométrique du nombre dérivé
2. On fixe un des points d'intersection entre le graphe de f et cette sécante A et on approche le second point le point mobile M
Interprétation géométrique du nombre dérivé
Lorsque l'on approche le point mobile M du point A la sécante s'approche d'une droite limite qu'on nommera la tangente à f au point A. 4. Lorsque x ? xA
Introduire la dérivée en 1re S comme réponse à une question
Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé d'une fonction en point. Nombre dérivé d'une fonction en un point: définition comme limite de.
Cours Révisions : Méthodes numériques
Mettre en œuvre la méthode des rectangles pour calculer une valeur approchée d'une intégrale sur un segment. Calcul approché du nombre dérivé d'une fonction
Dérivation - Nombre dérivé et vitesse
Calculer un nombre dérivé et l'identifier au coefficient directeur de la tangente. qu'il est intéressant de les approcher par une fonction polynôme du ...
Enseignement de mathématiques
Classe de première STMG
Dérivation : nombre dérivé et évolution temporelleContexte pédagogique
Objectifs
Calculer un nombre dérivé et l'identifier au coefficient directeur de la tangente. Déterminer une équation de la tangente en un point du graphe d'une fonction trinôme du second degré.Utiliser la calculatrice et les outils logiciels.
Interpréter le nombre dérivé en termes de vitesse de propagation ou de disparition d'une épidémie.
Extrait du programme de l'enseignement de mathématiques du cycle terminal STMGBulletin officiel n° 6 du 9 février 2012
Contenus Capacités attendues Commentaires
Dérivation
Application : nombre
dérivé, tangente. Calculer le nombre dérivé et l'identifier au coefficient directeur de la tangente.Déterminer une équation de la
tangente en un point du graphe d'une fonction trinôme du second degré.Tracer une tangente.
La tangente en un point
K d'abscisse
x K est définie comme la droite passant par K de coefficient directeur f '(x KFonction dérivée
d'une fonction polynôme de degré 3. Déterminer l'expression de la fonction dérivée d'une fonction polynôme de degré 3.Prérequis, capacités
Équation réduite d'une droite.
Utilisation d'outils logiciels :
Courbe de tendance à l'aide d'un tableur.
Tracé de droites
Les intentions
En travaillant dans un tableur à partir des données du réseau Sentinelles sur la grippe de l'hiver
2009, nous étudions les vitesses d'apparition et de disparition de l'épidémie et les relions aux
nombres dérivés associés. Graphiquement, il est aisé de se rendre compte de l'augmentation plus ou moins rapide d'une quantité ou de sa diminution en comparant les tangentes à la courbe en différents points.MEN/DGESCO-IGEN Juin 2013
Ressources pour le lycée technologique
éduSCOL
Présentation du problème : étude de l'épidémie de grippe de l'hiver 2009Le réseau Sentinelles fournit les chiffres suivants pour l'épidémie de grippe de l'hiver 2009 :
Semaine 46 47 48 49 50 51
Rang de la semaine 0 1 2 3 4 5
Nombre de cas 223 847 378 924 467 551 473 718 379 424 247 809Données réseau Sentinelles, INSERM, UPMC
www.sentiweb.frEn plaçant ces points dans un graphique, tel un nuage de points réalisé à l'aide du tableur, on remarque
qu'il est intéressant de les approcher par une fonction polynôme du second degré. Le tableur nous permet également d'obtenir une courbe de tendance polynomiale de degré 2 approchant ces points. Le tableur trace cette courbe et nous en donne une équation. Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 2 sur 5Mathématiques - Classe de première STMG - Dérivation : nombre dérivé et évolution temporelle
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par f (x) = - 38 663x 2 + 196 959x + 223 896.Cette fonction modélise le nombre de personnes malades en France lors de l'épidémie de grippe de la
fin de l'année 2009 : x est le rang de la semaine étudiée et f (x) est une estimation du nombre de
personnes malades, en milliers, la semaine de rang x. La fonction f ' est définie sur [0 ; 5] par f '(x) = - 77 326x + 196 959. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de f et de f ' pour les semaines considérées :À partir de la fonction f et de sa courbe, on étudie la vitesse de propagation ou de disparition de la
grippe à un instant x en lien avec le nombre dérivé de la fonction f en x. Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 3 sur 5Mathématiques - Classe de première STMG - Dérivation : nombre dérivé et évolution temporelle
Pendant les semaines de rang 0 à 2, le nombre de malades augmente mais la vitesse de propagation de
l'épidémie diminue.Le tracé des tangentes aux points d'abscisses 1 et 2 rend cette constatation plus aisée : la propagation
est plus rapide en semaine 47 (rang x = 1) qu'en semaine 48 (rang x = 2). Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 4 sur 5Mathématiques - Classe de première STMG - Dérivation : nombre dérivé et évolution temporelle
T 2 T 1Nombre de malades
Rang de la semaine
23456-1-2-31E0005
5E0004
01xyPendant les semaines de rang 3 à 5, le nombre de malades diminue mais la vitesse de disparition de
l'épidémie augmente.Le tracé des tangentes aux points d'abscisses 3 et 4 rend cette constatation plus aisée : la disparition de
la grippe est plus lente en semaine 49 (rang x = 3) qu'en semaine 50 (rang x = 4). T 3 T 4Nombre de malades
Rang de la semaine
23456-1-2-31E0005
015E0004
xyOn pourra aussi remarquer la position particulière de la tangente à la parabole en son sommet : cette
tangente est parallèle à l'axe des abscisses (son coe fficient directeur est nul) et elle permet de visualiser la fin de l'augmentation du nombre de malades.Exemple d'énoncé :
Le réseau Sentinelles fournit les chiffres suivants pour l'épidémie de grippe de l'hiver 2009.
Semaine 46 47 48 49 50 51
Rang de la semaine 0 1 2 3 4 5
Nombre de cas 223 847 378 924 467 551 473 718 379 424 247 809Données réseau Sentinelles, INSERM, UPMC
www.sentiweb.fr1. Représentation graphique du nombre de malades et courbe de tendance
1.A. Dans une feuille de calcul, compléter un tableau avec les rangs des semaines et les nombres
de cas recensés. Insérer un graphique du type nuage de points pour représenter les données.
1.B. Quel type de fonction pourrait modéliser ces données ?
1.C. À l'aide des courbes de tendance du tableur, déterminer l'expression d'une telle fonction
que l'on notera f.2. Étude de la phase d'apparition de la grippe.
2.A. Calculer f '(1) et f '(2).
2.B. La grippe se propage-t-elle plus vite lors de la semaine 47 (x = 1) ou 48 (x = 2) ?
2.C. Que semble représenter le nombre dérivé par rapport à la propagation de la maladie ?
3. Étude de la phase de disparition de la grippe.
3.A. Calculer f '(3) et f '(4).
3.B. Interpréter ces résultats en termes de vitesse de disparition de la maladie.
Prolongement : Fonction polynôme de degré 3
Il est également possible de demander au tableur de donner une courbe de tendance polynomiale de degré 3.On obtient alors :
Dans ce cas, la fonction f est définie sur [0 ; 5] par f (x) = 848,54x 3 - 45 027x 2 + 208 584x + 221 350. La fonction f ' est alors définie sur [0 ; 5] par f '(x) = 2 545,62x 2 - 90 054x + 208 584.Les constatations sur les vitesses d'apparition et de disparition de l'épidémie restent les mêmes.
Ministère de l'éducation nationale (DGESCO - IGEN) Page 5 sur 5Mathématiques - Classe de première STMG - Dérivation : nombre dérivé et évolution temporelle
quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] L emploi régional en 2010 : effets structurels et dynamisme
[PDF] Opération Programmée d Amélioration de l Habitat OPAH. Les aides publiques pour les travaux dans le logement
[PDF] A1 - DEMANDE DE CONGE BONIFIE
[PDF] Renault Trafic N d immatriculation : AX-794-YW
[PDF] Professionnels au volant. Prendre la route, ça se gère!
[PDF] L AVANCEMENT DE GRADE
[PDF] financements innovants
[PDF] BD MIX OU LA PASSION DU DESSIN PROJET BD : DU COMIC STRIP À L ALBUM
[PDF] Avec PASSERELLE Le CREDIT AGRICOLE D AQUITAINE renforce son positionnement de banque des «bons comme des mauvais jours»
[PDF] CPM «EXPERIENCE ET COMPORTEMENT» VISA 1 & 2
[PDF] Nom épouse (majuscules, nom de jeune fille pour les femmes mariées) Prénom
[PDF] Veuillez inclure des photocopies de vos actuelles cartes de membres et/ou accréditations d associations des inspecteurs de biens immobiliers
[PDF] Centre Mauritanien d Analyse de Politiques (CMAP)
[PDF] Aquitaine et Charente. Au service des territoires et de leurs habitants
