[PDF] Interprétation géométrique du nombre dérivé

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Interprétation géométrique

du nombre dérivé

Note :Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu"attend cet enseignant lors de l"oral de maturité.

Ce résumé n"est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.

DéfinitionSoitfune fonction réelle définie sur un intervalleI. Soita2I. Si la limite lim x!af(x)f(a)xa existe et vaut un nombre réelr, on dit alors que la fonctionfestdérivableen x=a, et le nombrer, qu"on notef0(a), s"appelle lenombre dérivédefena. Interprétation géométrique du nombre f"(a) : 1. P ourdonner une in terprétationgéométrique de ce nom bre,on commence par in terpéter le nombre f(x)f(a)xacomme la pente d"une droite coupant la représentation graphique defen au moins deux pointsAetM: une sécante. 2. On fi xeun des p ointsd"in tersectionen trele graph ede fet cette sécanteAet on approche le second point, le point mobileM(M1;M2;:::), du premier tout en restant sur le graphe def. 3. On étudie le comp ortementde la p entedes sécan tessuccessiv esobten ueslorsque le p oint mobile s"approche deApar passage à la limite. L"interprétation en découle.

Illustration:A(a;yA=f(a))y=f(t)M

1(x1;y1=f(x1))Sécante

AM1Tangente

AM

2(x2;y2=f(x2))x

1::: x

2Sécante

AM2aty

Notations :Soitp1la pente de la sécante au début du processus,p2la pente de la sécante après qu"on ait approché un peu le pointM1deA,etc, etpAla pente de la tangente si elle existe. 1. Les sécan tessuccessiv eson tp ourp entepi=f(xi)f(a)x ia. 2. Lorsq uel"on appro chele p ointmobile Mdu pointA, l"abscisse deMs"approche de celle deA(x!a) et réciproquement. 3. Lorsq uel"on appro chele p ointmobile Mdu pointA, la sécante s"approche d"une droite limite qu"on nommera la tangente àfau pointA. 4. Lorsq uex!a, la pentepde la sécante s"approche de la pentepAde cette tangente. Donc on a lim x!af(x)f(a)xa=pA: 5. Si cette p enteex iste( pA2R), elle égale le nombre dérivéf0(a), et en donne une inter- prétation géométrique. Équation de la tangente àfau pointA(a;ya=f(a)):Établir l"expression algébrique

de la fonctiontArevient à déterminer les valeurs depAet deoA. L"interprétation précédente

fournit la valeur depA: c"est le nombref0(a)si la tangente est une droite oblique ou horizontale. Il reste à trouver la valeur deoA.A(a;f(a)) =A(a;tA(a))y=f(t)TangentetA:y=f0(a)t+oAx Aty CommeAest un point qui se trouve par construction à l"intersection du graphe defet de la droite tangente, on déduit quef(a) =tA(a). Il suit de l"expression detAquetA(a) =f0(a)a+oA d"oùf(a) =f0(a)a+oAc"est-à-dire queoA=f(a)f0(a)a. Il suit que la fonctiontAest définie par t

A(x) =f0(a)xf0(a)a+f(a) =f0(a)(xa) +f(a):

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