Introduction du nombre dérivé : un exemple de progression en
1°) Activité d'approche : sur un exemple visualisation du nombre dérivé en tant que coefficient directeur de la tangente.
Mathématiques
croissance où la vitesse instantanée est vue comme un cas limite de vitesses moyennes. On retrouve là l'approche cinématique du concept de nombre dérivé.
Nombre dérivé et fonction dérivée
problème posé. Partie 3 : Approche numérique à l'aide du tableur OpenOffice. Soient h un nombre réel et M le point de la courbe Cf d'abscisse 05 + h.
Utilisation de la calculatrice T I 82
30 juin 2009 La calculatrice permet de trouver (en général une valeur approchée)de ce nombre. 6.6.1. Calculs de nombres dérivés :.
Première S - Nombre dérivé et tangente
1) Fonction dérivable en un point et nombre dérivé. Remarque : La tangente à la courbe (C ) au point A est la droite qui « approche ».
Interprétation géométrique du nombre dérivé
2. On fixe un des points d'intersection entre le graphe de f et cette sécante A et on approche le second point le point mobile M
Interprétation géométrique du nombre dérivé
Lorsque l'on approche le point mobile M du point A la sécante s'approche d'une droite limite qu'on nommera la tangente à f au point A. 4. Lorsque x ? xA
Introduire la dérivée en 1re S comme réponse à une question
Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé d'une fonction en point. Nombre dérivé d'une fonction en un point: définition comme limite de.
Cours Révisions : Méthodes numériques
Mettre en œuvre la méthode des rectangles pour calculer une valeur approchée d'une intégrale sur un segment. Calcul approché du nombre dérivé d'une fonction
Dérivation - Nombre dérivé et vitesse
Calculer un nombre dérivé et l'identifier au coefficient directeur de la tangente. qu'il est intéressant de les approcher par une fonction polynôme du ...
Utilisation de la calculatrice T I 82
Classe de première STG
1 Touche MODE
1;1; Rappels :
Un appui sur la touche " MODE » de votre calculatrice donne l'écran suivant :1.2. Exemples
La calculatrice étant programmée en mode " 4 décimales », le calcul de 32 donnera, pour une valeur exacte de 1,5, un
affichage de 1,5000, ce qui est peu commode. Travaillez, la plupart du temps, en mode " FLOAT », sauf pour des
valeurs approchées demandées.1;3; Cas particuliers :
Voici la question posée à un devoir : donner la valeur approchée à 10 - 3 près des nombres suivants (soyez astucieux !) :7 = 13 =
7849 = =2 Priorités dans les calculs : NombreValeur
affichéeEcriture avec parenthèses NombreValeur
affichéeEcriture avec parenthèses
A = 51082
B = 10582
C = 5102
8D = 10528
E =3965F = 3965
G =6395H = 963
5 I =9,63,9 23J =3,9 9,623
K =9,63,932L=
0,75 26,3Nombre Valeur affichée Ecriture avec parenthèses
M = 0,0529 6,9696
N = 34510 210
4 O =45689 9876 1000
Attention : L'affichage 4.5122
E11 correspond au nombre :
30/06/20091 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
Seul le mode " NORMAL » nous intéresse, les notations scientifiques et Ingénieurs n'étant pas au programme. Plus important, cette sélection vous donnera les résultats soit en virgule flottante, soit avec un nombre de décimales fixe.3 Stockage de valeurs :
On donne les nombres suivants :
A = 7 458 541 B = 568 123. On cherche à compléter le tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis à 10
2près). Il faudrait saisir 6 fois les nombres A et B, ce qui serait assez long. La machine est faîte pour éviter ce
travail répétitif. On va stocker ces nombres en mémoire et les appeler pour les calculs. Voici la procédure :
Saisir 7 458 541 puis appuyer sur la touche " STO ». La calculatrice attend alors sous quel nom elle doit
stocker cette valeur. Ce sera la lettre A par exemple. Appuyer sur " ALPHA » et là où se trouve cette
lettre, en haut à droite de la touche " MATH » en blanc. Puis " ENTER », recommencer pour l'autre
nombre.Pour effectuer le premier calcul : Touche " ALPHA » puis " A » puis " + » puis " ALPHA » puis " B » puis
" ENTER ».A + B = A - B =A B =
3A - 15B = 45A + 7B =
A BContrôle
Nom : Prénom : classe :
Exercice 1
: Calculer l'arrondi à 10 - 3 près de : A =3,7-4,8 5
37B =0,75+26,3
Exercice 2
: Donner la valeur approchée par excès de : C = 32372D =
7 0,0052
Exercice 3
: calculerE = 7 458 + 3
9 745 F = 67 458 - 29 745
G = 7 458
9 745 H = 369 745 - 177 458
30/06/20092 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
4 Écriture fractionnaire :
4.1. Procédures :
Il est possible d'obtenir des valeurs exactes à certains calculs si ceux-ci donnent des résultats fractionnaires.
Exemple : 1/3 + 5/7 donnera en valeur approchée :Pour obtenir la valeur exacte (fraction), sélectionner " MATH 1: Frac » et " Entrée » ; vous devez obtenir cela :
4.2. Exemples
Calculer la valeur exacte de : 1/3 + 4/5 = 23/17 + 42/13 =Remarques :
4.2.1. Si, après un calcul en fractions, un nombre décimal est utile (par exemple pour placer un point dans un repère)
inutile de ressaisir les nombres : MATH / 2 : Dec et " Entrée »4.2.2. Ne soyez pas esclave de la machine, le premier calcul 1/3 + 4/5 est plus rapide à faire mentalement !
4.3. Exercices
Compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés en valeurs exactes) :5/6 + 4/9 22/15 + 4/7 84/8 + 3/4 17/7 - 56/11 (4/3)
2 - 2/175 Graphiques :
Suggestion : récupérer toutes les calculatrices et initialiser WINDOW tel que x [-10 ; 10] et y [-10 ; 10]
Avec " ZOOM » 6 : Zstandard
Ainsi que la fonction " TABLE SETUP » avec les options TblMin=0 et Tbl=0.5 Vérifier aussi que les graphes statistiques sont désactivés : STAT PLOT sur OFF5.1. Droites et coordonnées de points :
Après un appui sur la touche " Y » de la calculatrice, saisir les deuxéquations de droite suivantes :
Y 1 = -2X + 1 et Y 2 12 X - 2
Remarque : dans ce type de saisie, il est inutile de taper le * de la multiplication entre le nombre et X (le faire ne modifie en rien le résultat !). Un appui sur la touche " GRAPH » doit donner l'écran ci-contre :5.1.1. Option " TRACE » :
On demande de compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les nombres sont arrondis à 10 -2 près).Pour cela, on va activer la fonction " TRACE » de la machine. L'écran obtenu doit être le suivant :
Y 1 Y 2 x - 2,34 6,17 -1,49 y - 3,68 1,51 -4,45Remarques :
Pour sortir de ce mode " TRACE », il suffit d'appuyer sur " GRAPH ».A noter le nombre en haut à droite de l'écran qui indique sur quelle courbe les coordonnées sont calculées.
Pour changer de courbe, il faut utiliser les touches de direction haut ou bas.30/06/20093 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
Celle-là par exemple
5.1.2. Option " TABLE » :
On peut regretter l'imprécision des coordonnées et surtout le fait que aucune (ou presque) ne soit entière.
La machine offre une autre option : appuyer sur la touche " TABLE » (fonction 2 de ) vous devez obtenir l'écran ci-dessous à droite du tableau.Les mêmes touches de direction haut ou bas vous permettent de changer les valeurs de X. Si on reste
" autour » des valeurs affichées, ces touches sont bien opérationnelles. Mais comment faire, par exemple, pour
compléter le tableau de valeurs suivant : XY 1 Y 2 100100,1
100,2
100,3
100,4
100,5
100,6
100,7
100,8
100,9
101
Là encore la machine offre une option : " TBLSET » (en fonction 2 de ) qui permet de paramétrer la machine suivant ses besoins. Sur certaines machines, vous lirez " TABLE START », c'est la même chose.
Changer les paramètres de la machine suivant le modèle ci-contre et compléter le tableau ci-dessus.
Ne pas oublier, éventuellement, de revenir à une configuration plus " classique » de la fonction
" TBLSET » !5.1.3. Option " Y-VARS » :
Cette fois, on doit compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront donnés à 10
- 3 près) : Y 1 ( 3 ) = Y 1 (- 50) = Y 1 (17) = Y 1 17) = Y 2 (- 15) = Y 2 (35) =Y2 ( ) =Y 2 5) =Ni l'option " TRACE » ni l'option " TABLE » sont opérationnelles : nombre non consécutifs (même à 10
nprès), non rationnels. Mais la machine permet les calculs des images de ces fonctions. Voici la procédure :
" Y-VARS » (en fonction 2 de ) puis 1 :FUNCTION... puis 1 ou 2 le numéro de la fonction Y 1 ( 3 ) puis ENTER Sur certaines machines, il n'y a pas " Y-VARS » (en fonction 2 de ) mais seulement " VARS » et en deuxième choix " Y-VARS ».Le résultat s'affiche avec le nombre de décimales choisi dans " MODE ». Compléter maintenant le tableau.
5.2.Intersection de deux courbes :
5.2.1. Activité de découverte : Question : résoudre graphiquement le système suivant :
21122yx
yx
On reconnaît bien sûr les données précédentes, qui sont encore dans la machine. Cette dernière va nous
donner la réponse, même si la procédure est un peu longue !Venir, avec la fonction 2
de sur l'option " CALC » et choisir le 5 : intersecA chaque invite, vérifier si vous êtes sur la courbe voulue (numéro en haut à droite ou sur certaines
machines l'équation entière de la courbe) et appuyer sur la touche " ENTER ». La solution du système est le couple (1,2 ; -1,4).... A vous de le vérifier par le calcul !30/06/20094 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
5.2.2. Exercices :
Résoudre graphiquement (avec la calculatrice) les systèmes suivants : 25(I)3yx yx
25(II)23yx
yx 31(III) 122yx
yx
Remarque : s'il y a lieu, la machine donnera des valeurs approchées. Si la question précise que l'on veut les
valeurs exactes, le calcul sera alors obligatoire pour trouver, par exemple, des valeurs comme 6 7.Contrôle
Nom : Prénom : classe :
Exercice 1
: Tracer, ci-dessous, les courbes représentatives des fonctions suivantes, définies sur [ - 8 ; 8 ] :
Y 1 = h (x) = x 3 - 2 x 2 - x + 2 de courbe représentative C 1 Y 2 = g (x) = - 2 x 2 + x + 1 courbe C 2 Y 3 = f (x) = 3 x - 7 de courbe représentative C 3 Exercice 2 : Compléter les tableaux de valeurs suivants (éventuellement à 10 - 4 près) x - 7 - 1 1 3 15 f (x) x - 17 34 - 32 75 g (x) x - 21 60 - 18 47 2 h (x)Exercice 3
: Déterminez une valeur, éventuellement approchée à 10 - 2 près, des coordonnées des points d'intersection des courbes : C 1 et C 2 C 2 et C 3 C 1 et C 330/06/20095 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
5.2.3. Exercice complémentaire :
Revenir aux deux premières fonctions définies par : Y 1 = -2X + 1 et Y 2 12 X - 2,
Entrer une troisième fonction définie par : Y 3 = X 2 -2.Question : déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes représentatives de Y
1 et Y 3Avec la méthode précédente, vous obtiendrez les coordonnées d'un point. Or la représentation graphique
nous suggère qu'il y en a 2 ! Comment déterminer le deuxième ?Il faut revenir en arrière (un appui sur " CLEAR » suffit), déplacer le curseur vers la deuxième intersection
et recommencer la recherche avec " CALC ».Conclusion : les coordonnées de deux points A et B d'intersection des deux courbes représentatives de Y
1 et Y 3 sont :A ( ; ) et B ( ; ).5.2.4. Une difficulté :
Qu'en est-il de l'intersection des courbes de Y
2 et Y 3 La représentation graphique ne m'indique pas clairement s'il y a 1 ou 2 points d'intersection !J'aimerai le savoir avant de me lancer dans une recherche comme précédemment (ou bien parce que la
question est : " Combien les courbes représentatives de Y 2 et Y 3 ont-elles de points d'intersection ? »). Pour cela, nous allons étudier d'autres fonctionnalités de la machine. 5.3.Zoom :
Comme le nom l'indique, nous allons agrandir (ou réduire) la fenêtre.5.3.1. Option " WINDOW » :
Repérer la zone à agrandir et dans " WINDOW » choisir deux bornes a et a' pour x et deux bornes b et b'
pour y telles que : x [a ; a'] y [b ; b'].Conclusion : Combien Y
2 et Y 3 ont-elles de points d'intersection ?Remarque : n'oubliez pas de redimensionner votre écran si l'affichage ne vous satisfait pas ! Voir au
paragraphe suivant comment revenir rapidement à la configuration initiale.5.3.2. Option " ZOOM » :
Un grand nombre de sous - options s'offre à nous, nous n'allons certes pas toutes les examiner ! Revenons à notre problème initial : Qu'en est-il de l'intersection des courbes de Y 2 et Y 3Première méthode
: " ZOOM » / " 2 : Zoom In » : Déplacer le pointeur vers la zone qui nous intéresse (voir image ci- contre). Si vous n'avez pas activé l'option " TRACE », le pointeur est dit " libre » : il ne suit pas une courbe. Sinon, appuyer sur graphe pour sortir de ce mode.Puis " ZOOM » / " 2 : Zoom In »
Appuyer sur " ENTER ».
Après un éventuel repositionnement du pointeur, recommencer la procédure.Pour revenir à la configuration initiale :
Soit " ZOOM » / " 3 : Zoom Out »
Soit " ZOOM » / " 6 : ZStandart »
30/06/20096 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
Dessine à la demande un cadre qui sera la nouvelle fenêtre d'affichage Agrandit le graphe autour du pointeur (rapport x 4) Affiche une partie plus importante du graphe autour du pointeur (rapport ).5: Egalise les unités des abscisses et des ordonnées :
rend le repère orthonormé !6. Reviens à la configuration initiale x [-10 ; 10] et y [-10 ; 10]
Deuxième méthode : " ZOOM » / " 1 : ZBox » :Déplacer le pointeur (libre, ce sera plus précis) vers la zone qui nous intéresse (voir image ci-contre).
On va créer le rectangle de la future fenêtre dont un des coins sera la position choisie ci-dessus.
Puis " ZOOM » / " 1 : ZBox ».
Le pointeur change de forme : deuxième image.
Déplacer le pointeur avec les touches fléchées jusqu'à obtenir le rectangle voulu.Puis sur " ENTER » et la nouvelle fenêtre s'affiche et nous avons la réponse à la question posée !
Suggestion : Retenir essentiellement la méthode " Windows » 5.3.1. et le retour à la fenêtre initiale : 6. ZStandard
Contrôle
Nom : Prénom : classe :
Déterminer un bon choix de fenêtre pour chacune des fonctions suivantes :Exercice 1
: g telle que g (x) = x 3 - 300 x + 27Allure de la courbe :
Exercice 2
: h telle que h (x) = 2 x 3 - 33 x 2 + 60 x + 7Allure de la courbe :
Exercice 3
: i telle que i (x) = - x 3 - 9 x 2 + 48 x - 5Allure de la courbe :
Exercice 4
: j telle que j (x) = - x 3 - 51 x 2 + 840 x + 100Allure de la courbe :
30/06/20097 /Users/domi/Desktop/UtilisationCalculatricePSTG.odt
Suggestion : récupérer toutes les calculatrices et les initialiser à Mode Normal, 4 décimales
6 Étude de fonctions :
6.1. Déterminer les images de différents nombres :
On considère la fonctio définie par l'équation y = 0,3 x 3 - 1,5 x 2 + 0,4 x + 2,2Calculer les valeurs des images de 1 ; 2 ; 5 ;
La dernière sera donnée à 10
3 près.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] L emploi régional en 2010 : effets structurels et dynamisme
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