Corrigé - Série 2 Inférence sur les param`etres Exercice 1

Dans un centre de renseignements téléphoniques une étude statistique a montré que l'attente (en secondes) avant que la communication soit amorcée suit une loi

MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ

Si le paramètre de la loi de Student est grand la loi normale peut être utilisée pour Exercices. 1. ⋆Trouver z0.5

L2 - Psychologie 2019-2020 - Trois exercices sur les tests

Corrigé de l'Exercice 1. Lors d'une enquête menée en 2014 sur 450 français Puisque la table de la loi de Student ne donne que des valeurs positives

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Corrigés des exercices . Dans cet exercice on s'intéresse à la loi du couple (Yn

Régression linéaire

Exercice 3.10 (Tests) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Néanmoins si n ≫ p

4-4-Tests corrigés

Sous l'hypothèse H0 la loi de T est la loi de Student à 5 degrés de liberté car le rendement est distribué normalement dans la population. Le seuil de

Exercice 1 : a) Lecture de la table N(0 1) : X suit une loi normale de

table de Student `a 10 d.d.l.. ⇒ −t = −2.2281 : F(−t)=0.025 la loi de Student est symétrique. On cherche le fractile t1 tel que : P(T >t1)=0.95 ⇒ F(t1)

Corrigé - Série 2 Inférence sur les param`etres Exercice 1 - Les

Le test de Student suppose que les données sont issues d'une loi normale. Un histo- gramme des 18 différences nous montre une tendance `a la bimodalité mais le

Leçon 21 Exercices corrigés

l'exercice). Exercice 4 (Loi de Student). Soient X et Y deux variables indépendantes. X de loi N(0

Leçon 21 Exercices corrigés

est appelée loi de Student à n degrés de liberté. Montrer que cette loi a une densité et la décrire (ainsi que son histoire !). Exercice 5. Soient X1

Feuille de TD 3 : Tests statistiques Exercice 1.

On donne le quantile d'ordre 095 pour la loi de Student (10): 1

Corrigé - Série 2 Inférence sur les param`etres Exercice 1 - Les

Le test de Student suppose que les données sont issues d'une loi normale. Un histo- gramme des 18 différences nous montre une tendance `a la bimodalité mais le

S3 – STATISTIQUES INFERENTIELLES – TD et Exercices

S3 – STATISTIQUES INFERENTIELLES – TD et Exercices CORRIGES. I. LOIS DISCRETES. TD1 : Reconnaître et utiliser une loi hypergéométrique.

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Corrigés des exercices . centrale) Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale

Cours de Statistiques inférentielles

La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite. Ref : Statistique exercices corrigés

Exercices corrigés de statistiques inférentielles. Exercice 1 Induction

La variable aléatoire X suit la loi normale N(m ; n ?. ). Or ici ? est inconnu donc il faut utiliser la table de la loi de Student. On cherche la valeur du réel

Corrigé des exercices

16?/10?/2013 La loi de Student ne dépend ni de µ ni de la variance. On utilise une loi de Student à n-1 degrés de liberté car elle est équivalente à un ...

MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ

calculer des probabilités sur la loi normale. • utiliser les propriétés de la loi normale pour effectuer des calculs de probabilité. Loi binomiale.

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Emmanuelle Reny-NolinCorrige - Serie 2

Inference sur les parametres

Exercice 1 - Les enfants qui depassent leurs parents a) Les lles son t-ellesplus grandes que leurs m eresen mo yenne? H

0:lles=meres

1:lles> meres

On repondra par un test de Student sur des donnees appariees (groupees par paires mere-lle). On voudra donc faire calculer la valeur observee de la statistique du test T 0=D S D=pn Dans l'Utilitaire d'analyse, on commande unTest d'egalite des esperances : observa-

tions paireeset on obtient le resultat ci-dessous :Puisquetobs= 2;521, le seuil observe du test unilateral estP(T >2;521) = 0;0109892,

ouTt17. Cette valeur-P etant inferieure a 5% (le seuil du test), on rejetteH0et on conclut que les lles sont signicativement plus grandes que leurs meres en moyenne. On aurait pu tirer la m^eme conclusion en comparanttobs= 2;521 a la valeur critique d'une loi de Student, soitt;n1=t0;05;17= 1;739. Le test etant unilateral a droite, on rejetteH0, cartobs>1;739. Le test de Student suppose que les donnees sont issues d'une loi normale. Un histo- gramme des 18 dierences nous montre une tendance a la bimodalite, mais le nombre de valeurs etant peu eleve, il est dicile de rejeter categoriquement la normalite.1

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Emmanuelle Reny-Nolinb)La di erencem ere-lleest-elle plus p etiteque la di erencep ere-ls? H

0:mere-lle=pere-ls

1:mere-lle< pere-ls

Il faut d'abord calculer les 18 dierences concernees. On repondra par un test de Student sur des echantillons independants. Pour choisir le bon test, il faut d'abord determiner si les variances peuvent ^etre considerees egales (a l'aide d'un test de Fi- sher).H

0:2mere-lle=2pere-ls

1:2mere-lle6=2pere-ls

On voudra faire calculer la valeur observee de la statistique du test F

0=S21S

22
Dans l'Utilitaire d'analyse, on commande unTest d'egalite des variances (F-test)et

on obtient le resultat ci-dessous :Puisquefobs= 0;3122, le seuil observe du test bilateral est 2P(F <0;3122) =

20;016875 = 0:03375, ouFF17;10. Cette valeur-P etant inferieure a 5% (le seuil

du test), on rejetteH0et on conclut que les variances dierent signicativement.2

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Emmanuelle Reny-NolinLe test de Student a utiliser sera donc celui avec variances inegales. On voudra donc

faire calculer la valeur observee de la statistique du test T 0=X 1X 2q S 21n

1+S22n

2 Dans l'Utilitaire d'analyse, on commande unTest d'egalite des esperances : deux

observations de variances dierenteset on obtient le resultat ci-dessous :Puisquetobs=0;03777, le seuil observe du test unilateral estP(T <0;03777) =

0;4852, ouTt14. Cette valeur-P etant superieure a 5% (le seuil du test), on ne

rejette pasH0et on conclut que la dierence mere-lle n'est pas signicativement inferieure a la dierence pere-ls. c) Estime rla prop ortionde jeunes q uid epassentle paren tdu m ^emes exe,a vecun niv eau de conance de 95%. On veut construire un intervalle de conance sur une proportion. Il faut donc avoir une grande taille d'echantillon, car l'IC est asymptotique. Ici,n= 29 est tout juste acceptable. Il faut denir la variable binaire qui identie les gens plus grands que leur parent du m^eme sexe a l'aide de la fonction SI(Testlogique;Valeursivrai;Valeursifaux) = SI(C2>D2;1;0). On calcule ensuite la proportion echantillonnale ^pen faisant la moyenne de cette colonne, puis on complete les calculs en utilisant la formule ^pz=2r^p(1^p)n et on obtient l'intervalle [0;335; 0;699].3

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Emmanuelle Reny-NolinExercice 2 - Les donateurs aux partis politiques a) La v aleurmo yenned'un don est-elle la m ^emed'un parti al'autre ? L'Utilitaire d'analyse permet de faire un test global de comparaison des moyennes avec la commandeAnalyse de variance : un facteur. Les trois series de donnees doivent ^etre placees dans trois colonnes adjacentes. On obtient un tableau des moyennes et

des variances echantillonnales, ainsi que la table d'anova :On est tente de rejeter d'embleeH0:CAQ=PLQ=PQen raison du seuil observe

inferieur a 5% :

ValeurP =P(F >8;3345) = 0;00039157 ouFF2;131

Mais attention...

b) Le sp ostulatsdu mo deled'a nalysede la v arianceappliqu een a) son t-ilsresp ectes? Pour repondre a cette question, il faut faire une analyse de residus. On doit verier que la loi normale est un modele raisonnable, et que les variances sont similaires d'un echantillon a l'autre. Pour creer la variable residus dans une nouvelle colonne, on soustrait a chaque obser- vation sa moyenne echantillonnale locale :eij=yijy i.4

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Emmanuelle Reny-NolinOn construit ensuite l'histogramme des residus et le graphique des residus en fonction

des valeurs predites :On remarque une bonne asymetrie vers la droite dans l'histogramme. De plus, le gra-

phique de droite presente un patron en forme d'entonnoir, donc une heteroscedasticite assez claire. Ces deux aspects viennent mettre un gros bemol sur la validite du test F eectue en a). Devant une telle situation, l'option la plus frequemment envisagee est la transforma- tion de la variable reponse (Y) avec une fonction monotone commepY ;ln(Y);1=Y; Y2, etc. On refait l'anova avec plusieurs variables transformees jusqu'a ce que les postulats soient respectes. Apres quelques essais, on voit que dans notre cas, c'est la transformation logarithmique qui donne les meilleurs resultats. Voici la nouvelle analyse :5

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Emmanuelle Reny-NolinPuisque l'analyse des residus est plus satisfaisante (malgre une legere asymetrie a

gauche), on peut interpreter les resultats du test global de comparaison des moyennes.

Le seuil observe etant inferieur a 5% :

ValeurP =P(F >5;82855) = 0;00375882 ouFF2;131;

on rejetteH0, et on conclut que la valeur du don moyen a un des trois principaux partis politiques est dierente selon le parti. c) P eut-onv oiro use situen tles di erencessignicativ es? Le test global est signicatif, on peut donc comparer les moyennes deux a deux. Puisque les tailles d'echantillon sont dierentes, on ne peut pas calculer une seule "PPDS". Il faut calculer une dierence signicative (une marge d'erreur) pour chaque paire de moyennes.Ici, on conclut que seuls le PQ et le

PLQ recoivent des dons dont la valeur

moyenne diere signicativement. On pourrait representer schematiquement ces comparaisons deux a deux comme suit :

PQ CAQ PLQ

141;79 $ 199;68 $ 293;74 $

4;32 4;71 5;176

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Emmanuelle Reny-NolinExercice 3 - Distribution des naissances a)b)Il y a moins de naissances en f evrier...donc le mois de mai n'est pas propice ala fecondation? En fait, cela est peut-^etre d^u au fait que fevrier compte moins de jours que les autres mois? Il serait peut-^etre plus judicieux de comparer le nombre moyen de naissances par jour d'un mois a l'autre :Fevrier est toujours le plus bas en 2010! c)

Obser ve-t-onle m ^emeph enomenee n2011 ?

C'est en decembre et en janvier que les naissances sont les moins nombreuses en 2011. On voit quand m^eme une tendance se dessiner : il semble y avoir plus de naissances en ete qu'en hiver. Il serait interessant d'etudier un plus grand nombre d'annees pour voir si ce n'est que ponctuel.7

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Emmanuelle Reny-Nolind)P eut-onarmer que l'accroissemen tnaturel (naissances - d eces)est sup erieur a2000

individus en moyenne a chaque mois, au seuil de 5%? On realise un test de comparaison de moyennes en considerant les observations ap- pariees. On peut le faire directement dans Excel a partir des naissances et des deces, ou en se ramenant a un seul echantillon de dierences : on calcule soi-m^eme les dierences entre les naissances et les deces chaque mois, et on fait un test de Student a un echantillon pour verier si la moyenne des dierences est superieure a 2000. H

0:D= 2000

1:D>2000

.On rejetteH0sitobs=d2000s D=p12 > t11;0;05= 1;796:Puisquetobs= 3;10, on rejetteH0 au seuil de 5%. La valeur du seuil observe (0,005) nous mene evidemment a la m^eme conclusion, car il est inferieur au seuil du test. On conclut donc que l'accroissement naturel moyen par mois est signicativement superieur a 2000. Bien s^ur, ce test se base sur le postulat de normalite. L'histogramme des dierences n'a pas une forme de cloche parfaite, mais considerant que seulement 12 donnees le composent, il ne s'en eloigne pas susamment pour rejeter l'analyse de Student.8

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Emmanuelle Reny-NolinExercice 4 - Series eliminatoires a) P eut-ondire que le nom brede buts compt espar l' equipelo caleest sup erieuren moyenne au nombre de buts comptes par l'equipe en visite? Test de comparaison de deux moyennes sur des donnees appariees provenant de po- pulations normales a variances inconnues. H

0:local=visiteur

1:local> visiteurt

obs= 0;230, a comparer avec le quantile d'une loi de Studentt88;0;01= 2;369.

Seuil observe :P(T >0;230) = 0;409 ouTt88.

Au seuil de 1%, on ne rejette pas l'egalite des moyennes. L'equipe locale ne compte pas signicativement plus de buts que les visiteurs en moyenne. b) Le nom brede buts total compt esdans un matc hde s eriesest-il plus elevequand l'equipe locale gagne que quand elle perd? Il faut d'abord creer une variable representant la somme des buts des deux equipes. On cree ensuite une variable binaire pour distinguer si l'equipe locale a gagne ou perdu (aucune nulle en serie). On trie les donnees selon cette variable, et on distinguequotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] Corrigé - Série 2 Inférence sur les param`etres Exercice 1 - Les

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Inference sur les parametres

0:lles=meres

1:lles> meres

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0:mere-lle=pere-ls

1:mere-lle< pere-ls

0:2mere-lle=2pere-ls

1:2mere-lle6=2pere-ls

0=S21S

20;016875 = 0:03375, ouFF17;10. Cette valeur-P etant inferieure a 5% (le seuil

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0;4852, ouTt14. Cette valeur-P etant superieure a 5% (le seuil du test), on ne

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ValeurP =P(F >8;3345) = 0;00039157 ouFF2;131

Mais attention...

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Le seuil observe etant inferieur a 5% :

ValeurP =P(F >5;82855) = 0;00375882 ouFF2;131;

PLQ recoivent des dons dont la valeur

PQ CAQ PLQ

141;79 $ 199;68 $ 293;74 $

4;32 4;71 5;176

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Obser ve-t-onle m ^emeph enomenee n2011 ?

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0:D= 2000

1:D>2000

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1:local> visiteurt

Seuil observe :P(T >0;230) = 0;409 ouTt88.