Mathématiques financières 3. Financement et emprunts
Une annuité est constituée de l'amortissement de l'emprunt (part remboursée) + l'intérêt qui est Annuité. Formule : a = C x _____i____. 1-(1 + i) -n.
Remboursement dun emprunt par annuités constantes
Après versement de l'annuité la dette est diminuée du montant de l'amortissement. Exemple : suivant le taux et la valeur de l'annuité. Cellule. Formule.
Annuités
Une suite d'annuités est caractérisée par quatre élements : – Sa périodicité;. – Le nombre de versements;. – Le montant de chaque versement ;.
Valeur actuelle dune suite dannuités constantes (Annuités
4 juil. 2005 Par exemple pour le projet 1
Utilisation des fonctions financières dExcel
Calcul de la valeur acquise par la formule des intérêts simples...................... 4 ... Calcul du taux périodique dans le cas d'une annuité .
EXCEL Les fonctions « amortissement demprunt à annuités
Saisir la formule suivante =E9-C9 d. Les annuités constantes. ? Se positionner sur la cellule E9. ? Cliquer sur l'onglet FORMULES.
Remboursement dun emprunt par annuités constantes
de l'annuité la dette est diminuée du montant de l'amortissement. la zone (A7 : F16) contiennent des formules ou des nombres que l'on ne modifiera pas.
LES ANNUITÉS I. Calculer la valeur acquise par des annuités : II
versement (Capitalisation annuelle au taux de 6 %). • Méthode : la valeur acquise au moment du dernier versement constant est donnée par la formule. ( ).
Chapitre 2. Valeur temps de largent : arbitrage actualisation et
Les rentes perpétuelles et les annuités constantes La formule de l'annuité croissante est une formule générale à partir de laquelle il est possible de ...
[PDF] Mathématiques Financières Chapitre 4 : Les Annuités - fsjes ain chock
L'objectif de ce cours est de trouver les formules de calcul de la valeur acquise (future) et de la valeur actuelle d'un ensemble d'annuités Pr F-Z Aazi
[PDF] Chapitre 3 : Les annuités
formulée en année semestre trimestre ou mois ? La notion d'annuité est utilisée pour résoudre certains problèmes financiers notamment: ? Remboursement d'
[PDF] annuitespdf
Une suite d'annuités est caractérisée par quatre élements : – Sa périodicité; – Le nombre de versements; – Le montant de chaque versement ;
[PDF] Chapitre 3 « Les annuités » - FSJESM
20 avr 2020 · a) Calculer d'abord le taux mensuel équivalent b) Calculer le montant de la mensualité constante c) Comparer les deux formules de
[PDF] Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR
(Formule de capitalisation) « a » étant le montant de l'annuité constante ; « i » étant le taux d'intérêt ; « n
[PDF] 1 Intérêts composés 2 Annuités - Rentes - Paris School of Economics
On applique ensuite la formule des annuités constantes (bien qu'il s'agisse de semestrialités à proprement parler) Exercice 12 1 Taux mensuel équivalent r12
[PDF] COURS DE MATHEMATIQUES FINANCIERES
La formule devient donc: Vn = a(1+i)[ (1+i)n -1 /i] 2 4 La valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes de placement
[PDF] Mathématiques financières 3 Financement et emprunts - cterriercom
Une annuité est constituée de l'amortissement de l'emprunt (part remboursée) + l'intérêt qui est Formule de calcul de la mensualité : m = C x i
[PDF] Remboursement dun emprunt par annuités constantes
La fonction NPM quant à elle renvoie le nombre d'annuités suivant le taux et la valeur de l'annuité Cellule Formule B7 C7 D7 E7 F7 B8
Comment calcul T-ON l'annuité ?
Calcule de l'annuité = BASE x TAUX ou BASE x TAUX x (TEMPS / 360) lorsqu'il y a prorata.Quels sont les types d'annuités ?
Il existe deux sortes d'annuité : les annuités constantes et les annuités variables.C'est quoi l'annuité d'amortissement ?
Il consiste à déterminer une annuité constante d'amortissement tout au long de la période d'utilisation du bien. Cette annuité est calculée en appliquant au prix de revient des éléments à amortir, le taux d'amortissement déterminé en fonction de la durée d'utilisation du bien.- Pour calculer l'amortissement constant, c'est-à-dire la même part de capital amorti, il suffit de diviser le capital emprunté par le nombre total de mensualités. Pour un prêt de 250 000 € sur 20 ans, l'amortissement constant se calcule donc ainsi : Am = 250 000 € / 240 mois = 1 041 € par mois.
1/6 04/07/05
Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes (Annuités payables en fin d"année)A) Énoncé du problème initial
Quelle est la valeur actuelle au taux d"actualisation de 6 % d"une suite d"annuités constantes de 1 500 €
versées à la fin de chaque année pendant 7 ans ?Ce problème peut correspondre à un revenu constitué d"un versement périodique régulier de 1 500 € à la fin de
chaque année pendant 7 ans. Au lieu de disposer de ce revenu dans les années à venir, on peut vouloir disposer
immédiatement de sa valeur actuelle.Rang de l"année de
versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité1 1 1 500×(1 + 0,06)- 1
2 2 1 500×(1 + 0,06)- 2
3 3 1 500×(1 + 0,06)- 3
4 4 1 500×(1 + 0,06)- 4
5 5 1 500×(1 + 0,06)- 5
6 6 1 500×(1 + 0,06)- 6
7 7 1 500×(1 + 0,06)- 7
La valeur actuelle de cette suite d"annuités constantes est donc : VA= 1 500×1,06- 7 + 1 500×1,06- 6 + 1 500×1,06- 5 + 1 500×1,06- 4 + 1 500×1,06- 3 + 1 500×1,06- 2 + 1 500×1,06- 1
Soit VA = 1 500×[1,06
- 7 + 1,06- 6 + 1,06- 5 + 1,06- 4 + 1,06- 3 +1,06- 2 + 1,06- 1]VA est la somme des termes d"une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme 1 500×1,06- 7.
Le choix d"une sommation de la valeur actuelle de rang 7 à celle de rang 1 évite la raison 1,06
- 1.D"où VA = 06,1106,1106,15001
77VA =
06,006,115001
7--´
VA » 8373,57
Généralisation
La situation précédente se généralise à la recherche de la valeur actuelle au taux d"actualisation i d"une suite
d"annuités constantes a versées à la fin de chaque année pendant n années. Rang de l"année de versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité1 1 a(1 + i)- 1
2 2 a(1 + i)- 2
n -1 n -1 a(1 + i)- (n-1) n n a(1 + i)- nVA = a[(1 + i)
- n + (1 + i)- (n-1) + ... + (1 + i)- 2 + (1 + i)- 1]VA est la somme des n termes d"une suite géométrique de raison (1 + i) et de premier terme a(1 + i)- n.
D"où VA = )1(1)1(1)1(iiia
n n - VA = iia n-+-)1(12/6 04/07/05
B) Activités sur tableur
a) Résolution du problème initialA B C D
1Valeur actuelle d"une suite d"annuités de 1 500 € versées en fin de chaque année pendant 7 ans
2au taux d"actualisation de 6 %
34Rang de l"année de versement Nombre d"années d"actualisation Valeur actuelle de l"annuité
5 1 1 1415,09
6 2 2 1334,99
7 3 3 1259,43
8 4 4 1188,14
9 5 5 1120,89
10 6 6 1057,44
11 7 7 997,59
12Somme :8373,57 b) Automatisation du calcul de la valeur actuelle en fonction du taux d"actualisation, du nombre
d"annuités et du montant de l"annuitéPar exemple, dans la feuille de calcul ci-dessous, le résultat cherché est obtenu dans la cellule D6 par la formule
C4*(1-(1+C2)^-
C3)/C2 qui dépend des cellules C4, C2 et C3.
A B C D E F
1 Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées en fin de chaque année2 Taux d"actualisation : 0,06
3 Nombre d"annuités : 7
4 Montant des annuités : 1500
5 6Valeur actuelle de la suite d"annuités constantes8373,57 € c) Construction d"une table financière
La feuille de calcul ci-dessous donne pour des taux d"actualisation i la valeur actuelle d"une suite d"annuités
constante de a € en fonction du nombre n d"annuités.A B C D E F G H I J K L
1Tableau : Valeur actuelle d"une suite de n annuités de a € payées en fin d"année : a×(1 - (1+i)
- n) / i 2 i : Taux d"actualisation 3 n : Nombre d"annuitésa =1500 € 4 5 n \ i4,00%4,20%4,40%4,60%4,80%5,00%5,20%5,40%5,60%5,80%6,00%617,00 1439,54 1436,78 1434,03 1431,30 1428,57 1425,86 1423,15 1420,45 1417,77 1415,09
722829,14 2821,06 2813,01 2805,00 2797,04 2789,12 2781,23 2773,39 2765,58 2757,82 2750,09
834162,64 4146,89 4131,23 4115,68 4100,23 4084,87 4069,61 4054,45 4039,38 4024,40 4009,52
945444,84 5419,28 5393,90 5368,72 5343,73 5318,93 5294,31 5269,87 5245,62 5221,55 5197,66
1056677,73 6640,38 6603,36 6566,66 6530,28 6494,22 6458,47 6423,03 6387,90 6353,07 6318,55
1167863,21 7812,27 7761,83 7711,91 7662,48 7613,54 7565,08 7517,11 7469,60 7422,56 7375,99
1279003,08 8936,91 8871,49 8806,80 8742,82 8679,56 8617,00 8555,13 8493,94 8433,438373,57
13810099,12 10016,23 9934,38 9853,53 9773,69 9694,82 9616,929539,97 9463,96 9388,87 9314,69
d) ApplicationUn organisme financier propose deux rentes versées en fin d"année, l"une de 1 000 € pendant 5 ans, l"autre de
600 € pendant 9 ans. Comparer les deux rentes au taux d"actualisation de 4,8 %.
3/6 04/07/05
Exemple de résolution
A B C D E F
1 Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées en fin de chaque année2 Taux d"actualisation : 0,048
3 Nombre d"annuités : 5
4 Montant des annuités : 1000
5 6 Valeur actuelle de la suite d"annuités constantes4353,52 €A B C D E F
1 Valeur actuelle d"une suite d"annuités constantes versées en fin de chaque année2 Taux d"actualisation : 0,048
3 Nombre d"annuités : 9
4 Montant des annuités : 600
5 6 Valeur actuelle de la suite d"annuités constantes4302,93 € Ainsi, au taux d"actualisation de 4,8 %, la première rente est plus avantageuse. Un autre taux pourrait donner une conclusion différente (exemple 4 %).C) Taux de rentabilité interne
Un entrepreneur investit 10 000 € dans un projet qui lui permettra de recevoir pendant 5 ans à la fin de chaque
année une annuité de 2 500 €. Quel est le taux d"actualisation tel que la valeur actuelle des annuités soit égale
à l"investissement initial ?
Il s"agit de résoudre l"équation
00010)1(15002
5 ii, où l"inconnue est le taux i. Ce problème pourrait conduire à l"étude de la fonction f, définie sur [;0]¥+, par iiif4)1(1)(5-+-=-. a) Utilisation du tableur pour des approximations successivesLa solution suivante prend appui sur l"usage du tableur et privilégie le choix d"un capital et d"un montant
d"annuité quelconques. Première étape : Encadrement du taux cherché.A B C D E F G H I J K L M N O
1Tableau : Valeur actuelle d"une suite de n annuités de a € payées en fin d"année : a×(1 - (1+i)- n) / i
2i : Taux d"actualisation
3n : Nombre d"annuitésa =2500 €
4 5 n \ i5,50% 5,70% 5,90% 6,10% 6,30% 6,50% 6,70% 6,90% 7,10% 7,30% 7,50% 7,70% 7,90% 8,10%612369,67 2365,18 2360,72 2356,27 2351,83 2347,42 2343,02 2338,63 2334,27 2329,92 2325,58 2321,26 2316,96 2312,67
724615,80 4602,82 4589,91 4577,07 4564,28 4551,57 4538,91 4526,32 4513,79 4501,32 4488,91 4476,57 4464,28 4452,06
836744,83 6719,80 6694,91 6670,19 6645,61 6621,19 6596,92 6572,80 6548,82 6525,00 6501,31 6477,78 6454,39 6431,13
948762,88 8722,61 8682,64 8642,96 8603,59 8564,50 8525,70 8487,18 8448,95 8410,99 8373,32 8335,91 8298,78 8261,92
10510675,71 10617,41 10559,62 10502,32 10445,52 10389,20 10333,36 10278,00 10223,11 10168,68 10114,71 10061,2010008,14 9955,52
11612488,83 12410,04 12332,03 12254,78 12178,29 12102,53 12027,52 11953,23 11879,65 11806,78 11734,62 11663,14 11592,34 11522,22
La feuille calcule les valeurs actuelles pour un nombre n d"annuités constantes a avec un pas du taux
d"actualisation de 0,2. On obtient l"encadrement : %10,8%90,7<A B C D E F G H I J K L M N O
1Tableau : Valeur actuelle d"une suite de n annuités de a € payées en fin d"année : a×(1 - (1+i)- n) / i
2i : Taux d"actualisation
3n : Nombre d"annuitésa =2500 €
4 5 n \ i7,90% 7,91% 7,92% 7,93% 7,94% 7,95% 7,96% 7,97% 7,98% 7,99% 8,00% 8,01% 8,02% 8,03%612316,96 2316,75 2316,53 2316,32 2316,10 2315,89 2315,67 2315,46 2315,24 2315,03 2314,81 2314,60 2314,39 2314,17
724464,28 4463,67 4463,06 4462,44 4461,83 4461,22 4460,61 4460,00 4459,38 4458,77 4458,16 4457,55 4456,94 4456,33
836454,39 6453,22 6452,05 6450,89 6449,72 6448,56 6447,40 6446,23 6445,07 6443,91 6442,74 6441,58 6440,42 6439,26
948298,78 8296,93 8295,08 8293,24 8291,39 8289,54 8287,69 8285,85 8284,00 8282,16 8280,32 8278,47 8276,63 8274,79
10510008,14 10005,50 10002,8610000,229997,58 9994,94 9992,31 9989,67 9987,04 9984,41 9981,78 9979,14 9976,52 9973,89 À 0,01 % près, le taux d"actualisation cherché est 7,93 %. C"est le Taux de Rentabilité Interne
(TRI) du projet. b) Utilisation de fonctions dédiées du tableurLa feuille de calcul suivante donne une solution qui utilise une fonction spécifique du tableur qui
calcule le taux de rentabilité interne. La formule en B6 est : TRI(B5:G5). La plage de cellules B5:G5
contient les " flux de trésorerie », l"investissement initial qui est une dépense - 10 000 €, et les
recettes de 2 500 € chaque année.L"étude peut alors être prolongée à deux autres projets pour le même investissement initial :
· Projet 2 : recettes de 4 500 € la première année et décroissance de 1 000 € par an les années
suivantes ;· Projet 3 : recettes de 500 € la première année et croissance de 1 000 € par an les années suivantes.
Il est alors possible de comparer ces trois projets d"investissement à partir de leur taux de rentabilité
interne.Une autre approche (à partir de la ligne 24) consiste à calculer les valeurs actuelles de chaque projet
en fonction du taux d"actualisation. Cette transformation de toutes les valeurs comptables en valeurs
actuelles donne la Valeur Actuelle Nette (VAN) que le tableur permet d"obtenir par une fonction spécifique. Par exemple, pour le projet 1, en C29 la formule utilisée est : VAN(B29;$C$5:$G$5)+$B$5. Pour le taux d"actualisation de la cellule B29, la fonction VAN calculela valeur actuelle de la suite d"annuités de la plage de cellules $C$5:$G$5. Il faut alors ajouter
l"investissement initial de - 10 000 € situé dans la cellule $B$5. La représentation graphique permet de retrouver les taux de rentabilité de chaque projet.5/6 04/07/05
A B C D E F G
1Projet 1
2Dates 0 1 2 3 4 5
3Investissement : -10000
4Annuité 2500 2500 2500 2500 2500
5Total -10000 2500 2500 2500 2500 2500
6Taux de rentabilité interne : 7,93%
78Projet 2
9Dates 0 1 2 3 4 5
10Investissement : -10000
11Annuité 4500 3500 2500 1500 500
12Total -10000 4500 3500 2500 1500 500
13Taux de rentabilité interne : 11,04%
1415Projet 3
16Dates 0 1 2 3 4 5
17Investissement : -10000
18Annuité 4500 3500 2500 1500 500
19Total -10000 500 1500 2500 3500 4500
20Taux de rentabilité interne : 6,12%
2122Calcul des Valeurs Actuelles Nettes des trois projets en fonction des taux d"actualisation
23Taux en % Projet 1 Projet 2 Projet 3
240% 2 500 2 500 2500
252% 1 784 1 970 1597
264% 1 130 1 479 781
276% 531 1 021 41
288%-18 595-631
2910%-523 197-1243
3012%-988 -176 -1801
3114%-1 417 -524 -2310
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