[PDF] Baccalauréat S - 2019 26-Nov-2019 Dans cet

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?Baccalauréat S 2019?

L"intégrale de mai à novembre 2019

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bleus

Amérique du Nord 28 mai 2019

..................................3

Liban 31 mai 2019

Centres étrangers 13 juin 2019

.................................13

Antilles-Guyane18 juin 2019

...................................19

Polynésie 19 juin 2019

Asie 20 juin 2019

Métropole 21 juin 2019

Polynésie 4 septembre 2019

....................................41

Antilles-Guyane10 septembre 2019

............................46

Métropole 13 septembre 2019

..................................53

Amérique du Sud 8 novembre 2019

.............................60

Nouvelle-Calédonie 26 novembre 2019

........................65

Nouvelle-Calédonie février 2020

...............................72

À la fin index des notions abordées

Baccalauréat S : l"intégrale 2019A. P. M. E. P. 2 ?Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019?

Exercice15 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à10-3.

Une usine fabrique des tubes.

PartieA

Les questions1.et2.sont indépendantes.

On s"intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

1.Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 milli-

mètre et 1,65 millimètre. a.On désigne parXla variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d"une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance 1,5 et d"écart-type 0,07. On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle. b.L"entreprise désireaméliorer laqualité delaproductiondestubesdetype1.Pourcela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On noteX1la variable aléa- toire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoireX1suit une loi normale d"espérance 1,5 et d"écart-typeσ1. Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine mo- difiée. Déterminer une valeur approchée à 10 -3près deσ1pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoireZdéfinie parZ=X1-1,5 σ1qui suit la loi normale centrée réduite.)

2.Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit " conforme pour la

longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l"intervalle [298 ; 302]. Le cahier

des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2% de tubes non " conformes pour la longueur» est acceptable.

On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au

hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de250 tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non "conformes pour la longueur». a.Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des tubes non "conformes pour la longueur» dans un échantillon de 250 tubes. b.Décide-t-on de réviser la machine? Justifier la réponse.

PartieB

Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l"épaisseur ou la longueur

des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que : — 96% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme; — parmilestubesdetype2quiontuneépaisseurconforme,95%ontunelongueurconforme; — 3,6% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et unelongueur conforme. On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les évènement s :

—E: "l"épaisseur du tube est conforme»;

—L: "la longueur du tube est conforme».

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

On modélise l"expérience aléatoire par un arbre pondéré : E

···L

L E

···L···

L

1.Recopier et compléter entièrement cet arbre.

2.Montrer que la probabilité de l"évènementLest égale à 0,948.

Exercice24 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d"un repèreorthonormé direct?

O ;-→u,-→v?

. Dansce qui suit,zdésigne un nombre complexe. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Affirmation1:L"équationz-i=i(z+1) a pour solution?

2eiπ4.

Affirmation2:Pour tout réelx??

2;π2?

, le nombre complexe 1+e2ixadmet pour forme exponentielle 2cosxe-ix. Affirmation3:Un point M d"affixeztel que??z-i??=??z+1??appartient à la droite d"équation y=-x. Affirmation4:L"équationz5+z-i+1=0 admet une solution réelle.

Exercice36 points

Commun à tous les candidats

PartieA : établir une inégalité

Sur l"intervalle [0 ;+∞[, on définit la fonctionfparf(x)=x-ln(x+1).

1.Étudier le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[.

2.En déduire que pour toutx?[0 ;+∞[, ln(x+1)?x.

PartieB : applicationà l"étude d"une suite

On poseu0=1 et pour tout entier natureln,un+1=un-ln(1+un). On admet que la suite de terme généralunest bien définie.

1.Calculer une valeur approchée à 10-3près deu2.

2. a.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,un?0.

b.Démontrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire que pour tout entier na- tureln,un?1. c.Montrer que la suite(un)est convergente.

3.On note?la limite de la suite(un)et on admet que?=f(?), oùfest la fonction définie

dans lapartie A. En déduire la valeur de?.

4. a.Écrire un algorithme qui, pour un entier naturelpdonné, permet de déterminer le

plus petit rangNàpartir duqueltous les termesdelasuite(un)sont inférieurs à10-p. b.Déterminer le plus petit entier naturelnà partir duquel tous les termes de la suite un)sont inférieurs à 10-15. 1

1. La plupart des calculatrices et même des tableurs sont incapables de traiter cette question donnant même des

résultats faux. Elle peut être sautée.

Amérique du Nord428 mai 2019

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Onrelie les centres de chaque face d"un cube ABCDEFGHpour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous. A B C D E F G H I J N L M K

Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centresrespectifs des faces carrées ABCD,

BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

1.Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que

les droites (IN) et (ML) sont orthogonales. Dans la suite, on considère le repère orthonormé

A ;--→AB ;--→AD ;-→AE?

dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées?1

2;12; 1?

2. a.Donner les coordonnées des vecteurs--→NC et--→ML.

b.En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales. c.Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).

3. a.Montrer qu"une équation cartésienne du plan (NJM) est :x-y+z=1.

b.La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justifier. c.Montrer que l"intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.

Exercice45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Deuxmatricescolonnes?x

y? et?x? y àcoefficients entiers sont dites congruesmodulo 5si etseule- ment si ?x≡x?[5] y≡y?[5].

Amérique du Nord528 mai 2019

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Deuxmatrices carrées d"ordre2?a c

b d? et?a?c? b ?d??

à coefficients entiers sont dites congruesmo-

dulo 5 si et seulement si ?a≡a?[5] b≡b?[5] c≡c?[5] d≡d?[5]. Alice et Bob veulent s"échanger des messages en utilisant laprocédure décrite ci-dessous. — Ils choisissent une matrice M carrée d"ordre

2, à coefficients entiers.

— Leurmessageinitialestécritenlettresmajus-

cules sans accent.

— Chaque lettre de ce message est remplacée

par une matrice colonne?x y? déduite du ta- bleau ci-contre :xest le chiffre situé en haut de la colonne etyest le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettreT d"un message initial correspond à la matrice colonne?43?

— On calcule une nouvelle matrice

?x? y en mul- tipliant ?x y?

à gauche par la matrice M :

?x? y =M?x y? — On calculer?ett?les restes respectifs des di- visions euclidiennes dex?ety?par 5. 01234

0ABCDE

1FGHIJ

2KLMNO

3PQRST

4UVXYZ

Remarque : la lettreWest remplacée

par les deux lettres accoléesV. — On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne?r? t

1.Bob et Alice choisissent la matrice M=?1 23 4?

a.Montrer que la lettre "T» du message initial est codée par la lettre "U» puis coder lequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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