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Exo7

Droites du plan ; droites et plans de l"espace

Fiche corrigée par Arnaud Bodin

1 Droites dans le plan

Exercice 1SoitPun plan muni d"un repèreR(O;~i;~j), les points et les vecteurs sont exprimés par leurs coordonnées dans

R. 1.

Donner un v ecteurdirecteur ,la pente une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites

(AB)suivantes : (a)A(2;3)etB(1;4) (b)A(7;2)etB(2;5) (c)A(3;3)etB(3;6) 2.

Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par Aet dirigées par~vavec :

(a)A(2;1)et~v(3;1) (b)A(0;1)et~v(1;2) (c)A(1;1)et~v(1;0) 3. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites définies comme suit : (a) passant par le point (0;4)et de pente 3, (b) passant par le point (2;3)et parallèle à l"axe desx, (c) passant par le point (2;5)et parallèle à la droiteD: 8x+4y=3. H???Exercice 2 On considère le triangleABCdont les côtés ont pour équations(AB):x+2y=3;(AC):x+y=2;(BC):

2x+3y=4.

1.

Donner les coordonnées des points A;B;C.

2. Donner les coordonnées des milieux A0;B0;C0des segments[BC],[AC]et[AB]respectivement. 3. Donner une équation de chaque médiane et vérifier qu"elles sont concourantes.

HH???Exercice 3Point équidistant d"une famille de droitesPourl2Ron considère la droiteDld"équation cartésienne :(1l2)x+2ly=4l+2.

Montrer qu"il existe un pointM0équidistant de toutes les droitesDl. HH???1

Exercice 4

Déterminer le projeté orthogonal du pointM0(x0;y0)sur la droite(D)d"équation 2x3y=5 ainsi que son

symétrique orthogonal. H???2 Droites et plans dans l"espace Exercice 51.T rouverune équation du plan (P)défini par les éléments suivants. (a)A,BetCsont des points de(P) i.A(0;0;1),B(1;0;0)etC(0;1;0). ii.A(1;1;1),B(2;0;1)etC(1;2;4). (b)Aest un point de(P),~uet~vsont des vecteurs directeurs de(P) i.A(1;2;1),~u(4;0;3)et~v(1;3;1). ii.A(1;0;2),~u(2;1;3)et~v(1;4;5). (c)Aest un point de(P),Dest une droite contenue dans(P) i.A(0;0;0)et(D):x+yz+3=0

4xy+2z=0

ii.A(1;1;0)et(D):8 :x=t y=1+2t z=13t (d)DetD0sont des droites contenues dans(P) i.(D):x+yz+3=0 xy2=0et(D0):3xyz+5=0 x+yz+1=0 ii.(D):x+2yz+1=0 x+3y+z4=0et(D0):2x+y3z+7=0

3x+2y+z1=0

2. Montrer que les représentations paramétriques sui vantesdéfinissent le même plan : 8< :x=2+s+2t y=2+2s+t z=1stet8 :x=1+3s0t0 y=3+3s0+t0 z=12s0 H???Exercice 6 On considère la famille de plans(Pm)m2Rdéfinis par les équations cartésiennes : m

2x+(2m1)y+mz=3

1. Déterminer les plans Pmdans chacun des cas suivants : (a)A(1;1;1)2Pm (b)~n(2;52 ;1)est normal àPm. (c)~v(1;1;1)est un vecteur directeur dePm 2. Montrer qu"il e xisteun unique point Qappartenant à tous les plansPm. 2 H???Exercice 7 1.

Déterminer la distance du point Aau plan(P)

(a)A(1;0;2)et(P): 2x+y+z+4=0. (b)A(3;2;1)et(P):x+5y4z=5. 2. Calculer la distance du point A(1;2;3)à la droite(D):2x+y3z=1 x+z=1 H???Exercice 8 1. On considèrelepointA(2;4;1), lesvecteurs!u(1;1;1);!v(2;2;4),!w(3;1;1)etlerepère(A;!u;!v;!w).

On notex0;y0etz0les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de

repère exprimantx;y;zen fonction dex0;y0;z0. 2.

On considère la droite (D):yz=3

x+y=2. Utiliser le changement de repère pour donner une équation deDdans le repère(A;!u;!v;!w). 3. Donner les formules analytiques du changement de repère in verse. H???Exercice 9 1. Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d"équation 2 x+2yz=1. 2.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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