Chapitre 3 : Régime transitoire I. Étude des circuits RC RL et RLC
I. Étude des circuits RC RL et RLC série en régime libre. 1. Cas du circuit RC et i(t) = ? u0. R e. ?t/?. Régime transitoire. 1/11. Y Elmokhtari ...
Circuits linéaires en régime transitoire
tendrait vers l'infini ce qui est physiquement impossible). 2 Régime libre du circuit RC. 2.1 Évolution de la tension aux bornes du condensateur.
Électrocinétique I - Circuits linéaires en régime transitoire
W = 1. 2. E2. R. L. R. = 1. 2. LI2 énergie emmagasinée dans la bobine. 4 Régime libre du circuit RLC série. 4.1 Équation différentielle i q u.
E4 – Réseaux linéaires en régime transitoire / régime permanent
Définition : L'homogénéité de la relation impose ? = L. R homog`ene `a un temps : c'est le temps caractéristique / constante de temps du circuit RL. b
Chapitre 8 Circuit linéaire du premier ordre
Cela concerne les circuits de type RC ou RL la présence et d'une bobine et d'un I Notion de régime transitoire ... b Régime transitoire du circuit RC.
EC4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire
EC4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire. PCSI 2021 – 2022. I Réponse d'un circuit RLC série à un échelon de tension. 1. Circuit. E. R.
Cours délectrocinétique - EC3-Circuit RLC série
Elle fera alors apparaître la notion de régimes : selon l'amortissement du circuit par effet Joule le régime transitoire est différent. 2 Équation diérentielle.
Exercices dÉlectrocinétique Régime transitoire et régime forcé continu
2) `A quelles conditions le régime transitoire est-il : Ex-E5.6 Circuit RLC parall`ele en régime sinuso¨?dal. Exprimer la tension u aux bornes d'un ...
Circuits linéaires du 1erordre en régime transitoire
25 nov. 2017 on va le traiter pour le circuit RC on adaptera pour le circuit RL ... On nomme régime transitoire l'évolution d'un système entre deux ...
Chap.3 – Régimes transitoires
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L t On se rend compte que le régime libre est un régime transitoire de durée de l'ordre du temps caractéristique du circuit RL série ? = L R
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Etude des régimes transitoires des circuits réactifs Par Dimitri galayko Unité d'enseignementÉlec-info pour master ACSI `a l'UPMC Octobre-décembre 2005
Comment se comporte un condensateur en régime transitoire ?
Durant ce régime transitoire, les condensateurs et bobines ne se comportent plus comme des interrupteurs. Ce n'est qu'après un certain temps que le circuit atteint un nouvel équilibre et qu'on peut l'analyser comme s'il était en régime permanent, dans un état d'équilibre stable.Comment calculer la durée d'un régime transitoire ?
L'amortissement des oscillations est caractérisée par la constante de temps ?2=2L/R ? 2 = 2 L / R . Plus la résistance est faible, plus longue est la durée du régime transitoire.Pourquoi le régime transitoire ?
On appelle transitoire un régime qui apparaît lorsque l'on fait passer un circuit d'un régime permanent (continu ou périodique) à un autre, et disparaît quand le nouveau régime permanent est atteint.- Dans un circuit RC série, on distingue deux états du condensateur : Lorsque le condensateur est en charge, il est relié à un générateur électrique et reçoit des charges électriques qui s'accumulent sur ses armatures. Le condensateur joue alors le rôle de récepteur.
Cours d"électrocinétique Sup TSI
Chapitre 3 : Régime transitoire
I. Étude des cir cuitsRC, RL et RLC série en régime libr e 1.Cas du cir cuitRC
a)Équation dif férentielle
Branchons une résistanceRaux bornes d"un condensateur chargé (figure 1a).RCK q0t <0Figure 1aRCui
q t0Figure 1b À l"instantt= 0on ferme l"interrupteurK. On a alors (figure 1b) : u=Ri=qC aveci=dqdtOn obtient l"équation différentielle :
dqdt +qRC = 0 oudqdt +q = 0=RChomogène à un temps est appelée constante de temps ou temps de relaxation. Le circuitRCest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =RC. b)Résolution de l"équation dif férentielle
On a :
dqdt +q = 0)dqq =dt )q(t) =Aet=Àt= 0,q(t= 0) =q0=A
D"où :
q(t) =q0et=D"autre part,u=qC eti=dqdt . Donc : u(t) =u0et=eti(t) =u0R et=Régime transitoire 1/11 Y ElmokhtariCours d"électrocinétique Sup TSI
avecu0=q0C La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur les figures 2a et 2b.0q(t)tq 0Figure 2a0i(t)t
u0RFigure 2b
Commentaires :
q(t)etu(t)sont des fonctions continues tandis quei(t)est discontinu ent= 0. En régime permanent (t >> ),q(t!+1)!0,u(t!+1)!0eti(t!+1)!0. L"intersection de la tangente à l"origine et l"axe des abscisses se fait ent=. En effet, la tangente à l"origine a pour équationq(t) =kt+q0aveck= (dqdt )t=0=q0Le point d"intersection est donc pourt=.
Plusest faible, plus la décharge du condensateur à travers la résistance est rapide et inversement. c)Portrait de phase
La trajectoire de phase est la courbe dé-
crite par le point figuartifPde coordonnées (f(t);df(t)dtOn appelle portrait de phase l"ensemble
des trajectoires de phase lorsque les condi- tions initiales varient.Dans le cas du circuitRC, le plan de phase
est (q;dqdt =i). Puisquei=q , La trajec- toire de phase est une droite affine (figure 3).Pi qFigure 3
d)Bilan éner gétique
L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0Ri2dt=Z
+1 0u 20R e2t=dt=12Cu20=q202CRégime transitoire 2/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
Conclusion :
L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans le condensateur est intégralement dissipée
par effet joule dans le résistor. 2.Cas du cir cuitRL
a)Équation dif férentielle
Soit le circuit de la figure 4a. À l"instantt= 0, on ouvre l"interrupteurK. On a alors (figure 4b) : u(t) =Ri(t) =LdidtSoit encore :
di(t)dt +RL i(t) = 0 etdu(t)dt +RL u(t) = 0Le circuitRLest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =LR .K I 0LR t <0Figure 4aK I 0LR t0i(t)i(t)u(t)Figure 4b b)Résolution de l"équation dif férentielle
On a :
i(t) =Aet= iétant continu ent= 0, alorsi(t= 0) =I0=AD"où :
i(t) =I0et=D"autre part,u=Ri. Donc :u(t) =RI0et=La représentation des fonctionsi(t)etu(t)sont données sur les figures 5a et 5b.Régime transitoire 3/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
0u(t)t
RI0Figure 5a0i(t)tI
0Figure 5b
c)Portrait de phase
On a :
di(t)dt =RL i(t)Dans le plan de phase (i;didt
) la trajectoire de phase est une droite affine. d)Bilan éner gétique
L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0Ri2dt=Z
+1 0RI20e2t=dt=12
LI20Conclusion :
L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans la bobine est intégralement dissipée par effet
joule dans le résistor. 3.Cas du cir cuitRLC
a)Équation dif férentielle
Soit le circuit de la figure 6.
La loi des mailles implique :
Ri+Ldidt
+qC = 0 aveci=dqdtOn en déduit :
d 2qdt 2+RL dqdt +1LC q= 0i LR CqFigure 6
Posons :
!0=1pLC : Pulsation propre.Régime transitoire 4/11 Y ElmokhtariCours d"électrocinétique Sup TSI
Q=L!0R
=1RC!0: Facteur de qualité (sans dimension).
2=RL =!0Q :est le coefficient d"amortissement.L"équation différentielle s"écrit :
d 2qdt 2+!0Q dqdt +!20q= 0 oud2qdt2+ 2dqdt
+!20q= 0Le circuitRLCsérie est donc un circuit du second ordre caractérisé par la pulsation propre
0=1pLC
et son facteur de qualitéQ=L!0R =1RC! 0.Signification physique deQ:
PlusQest grand (est petit), plus l"amortissement dû à la présence de la dérivée première
est faible. b)Résolution de l"équation dif férentielle
La solution est de la forme :
q(t) =A1er1t+A2er2t A1etA2sont des constantes qui dépendent des conditions initiales etr1etr2sont les racines
de l"équation caractéristique : r 2+!0Q r+!20= 0 Le discriminant réduit de cette équation est :0=!204Q!20=!20(14Q21) =2!20
Il existe trois cas selon le signe de0:
0>0ouQ <0;5; > !0: C"est le régime apériodique.
Les racines sont des réelles :
r 1;2=q 2!20Donc :
q(t) =et[A1ep2!20t+A2ep
2!20t]
Lorsquet!+1,etl"emporte etq!0sans osciller.
La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 7a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 7b.Régime transitoire 5/11 Y ElmokhtariCours d"électrocinétique Sup TSI
0q(t)i(t)tq
0Figure 7ai
qFigure 7b
La trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d"un système apériodique.0= 0ouQ= 0;5;=!0: C"est le régime critique.
Les deux racines sont réelles et confondues :r1=r2==!0.D"où :
q(t) = (B1+B2t)etQuandt!+1,q!0rapidement sans osciller.
La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 8a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 8b.0q(t)i(t)tq0Figure 8ai
qFigure 8b
0<0ouQ >0;5; < !0: C"est le régime pseudo-périodique.
Les racines sont complexes conjuguées :
r1;2=iq!
202=iavec =p!
202est la pseudo-pulsation.
Donc :
q(t) =et[C1cos( t) +C2sin( t)] =Cetcos( t+') C"est une fonction pseudo-périodique d"amplitudeQm=Cetvariable en fonction du temps et de pseudo-période : T=2 =T0r 1(!0)2=T0r
114Q2Régime transitoire 6/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
avec :T0=2! 0. La représentation de la fonctionq(t)est donnée sur la figures 9a pour les conditions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 9b.0q(t)tq0Figure 9aqi
Figure 9b
c)Bilan éner gétique
On a trouvé :
Ldidt +qC +ri= 0)Ldidt i+qC i+ri2= 0D"où :
ddt (12Li2+q22C) =Ri2
que l"on peut écrire : dWdt =Ri2 oùW=12 Li2+q22Cest l"énergie emmagasinée dansLetC. Cette énergie diminue par dissi- pation dans la résistanceR. II. Réponse d"un cir cuitRC, RL et RLC à un échelon de tension 1.Cas du cir cuitRC
a)Régime transitoir e
Soite(t)un échelon de tension (figure 10a) c"est à dire :8>>>><
>>>:e(t) = 0 sit <0 e(t) =E=cstesit >0Le circuit de la figure 10b est soumis à cet échelon de tension.Régime transitoire 7/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
e(t)E t0Figure 10ae(t)iR
CuFigure 10b
La loi des mailles, pourt >0, s"écrit :
E=Ri+uaveci=dqdt
=CdudtDonc :dudt
+u =E avec=RCLa solution de cette équation s"écrit :
u(t) =Aet=+E Si le condensateur est initialement non chargé alors :u(t= 0) = 0et doncA=E. D"où : u(t) =E(1et=) eti(t) =Cdudt =ER et=Ces relations montrent queu(t!+1)!Eeti(t!+1)!0. En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (i= 0). Il retarde l"établissement de la ddp entre ses bornes. La représentation des fonctionsu(t)eti(t)sont données sur les figures 11a et 11b.u(t)t0EFigure 11a0i(t)tE
RFigure 11b
b)Étude éner gétique
On a :
E=Ri+qC
)Ei=Ri2+qC iaveci=dqdtOn a donc :
Ei=Ri2+ddt
(q22CCette équation traduit un bilan énergétique tel que :Régime transitoire 8/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
Eiest la puissance fournie par le générateur; Ri2est la puissance dissipée par effet Joule dans le résistorR; q22Cest l"énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. Calculons l"énergie totale fournie par le générateur : W g=Z +1 0Eidt=CE2
Puisque l"énergie emmagasinée dans le condensateur estWC=12CE2, on conclut que la
résistance dissipe la moitié de l"énergie fournie par le générateur. 2.Cas du cir cuitRL
Soit le circuit de la figure 12. Àt= 0, on ferme l"interrupteurK.Pourt <0:i(t) = 0.
Pourt >0, la loi des maille s"écrit :
E=Ri+Ldidt
)didt +RL i=ELLa solution de cette équation s"écrit :
i(t) =Aet=+ER aveci(t= 0) = 0. Donc :A=EROn a donc :
i(t) =ER (1et=) etu(t) =Ldidt =Eet=Ces relations montrent quei(t!+1)!ER etu(t!+1)!0. En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil de résistance nulle (u= 0). Elle retarde l"établissement du courant dans le circuit. EiRK LuFigure 12
La représentation des fonctionsi(t)etu(t)sont données sur les figures 13a et 13b.Régime transitoire 9/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
i(t)t0E RFigure 13a0u(t)tE
Figure 13b
3.Cas du cir cuitRLC série
Soit le circuit de la figure 14. Le condensateur est initialement déchargéq(t <0) = 0. À l"instantt= 0, on ferme l"interrupteurK. EiR CuKLFigure 14
Pourt >0, la loi des maille donne :
E=Ldidt
+Ri+qC )d2qdt 2+RL dqdt +1LC q=EL que l"on peut écrire sous la forme : d 2qdt 2+!0Q dqdt +!20q=EL avecQ=L!0R
=1RC!0;!0=1pLC
La solution est la somme de deux termes :
qt(t)solution de l"équation sans second membre. Elle décrit donc un régime transitoire qui dure quelques périodes et qui dépend de0: régime apériodique (figure 15a) si0>0ou régime pseudo-périodique (figure 15b) si0<0.qpsolution particulière décrivant le régime permanent. On a :qp=CE.Régime transitoire 10/11 Y Elmokhtari
Cours d"électrocinétique Sup TSI
0q(t)tCE
Figure 15a0q(t)tCE
Figure 15b
III.Analogie électr omécanique
Oscillateur électriqueOscillateur mécanique
Lq+R_q+qC
=e(t)mx+h_x+kx=F(t)Inductance :LMasse :mRésistance :RCoefficient de frottement :hCapacité :C1=k(k: raideur)Charge électrique :qAbscisse :xCourant électrique :iVitesse :vTensione(t)Force :F(t)Énergie magnétique :
12Li2Énergie cinétique :
12 mv2Énergie électrique :12Cq2Énergie potentielle :
12 kx2!0=1pLC!
0=rk m Q=1R rLCQ=pkm
hRégime transitoire 11/11 Y Elmokhtari
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