[PDF] Circuits linéaires en régime transitoire

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MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 1/8Circuits lin´eaires en r´egimetransitoire1 Conditions initiales et continuit´eOn va ´etudier ce qui se passe entre entre deux r´egimes continus = r´egime transi-

toire. Les grandeurs ´electriques ne sont plus constantes.Rappelons les conventions et r´esultats pour la bobine et le condensateur : i uL u=Ldi dt

L inductance en henry (H).

i uC q q=Cu i=dq dt=Cdu dt

C capacit´e en farad (F).

Les circuits ´etant lin´eaires, toute grandeur ´electriquex(t) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficient constant. On d´etermine les constantes d"int´egration grˆace aux conditions initiales en utilisant : - la continuit´e de la tension aux bornes du condensateur (sinoni=Cdu dttendrait vers l"infini ce qui est physiquement impossible); - la continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine (sinonu=Ldi dttendrait vers l"infini ce qui est physiquement impossible).

2 R´egime libre du circuit RC

2.1 ´Evolution de la tension aux bornes du condensateur iquCE RI UCE R Le condensateur est initialement charg´e sous une tensionE. En r´egime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvertU=EetI= 0 (E/R dans la r´esistance). At= 0, on ouvre l"interrupteur, le condensateur se d´echarge dans la r´esistance : u=Ri=-Rdq dt=-RCdu dt du dt+u

τ= 0 avecτ=RC

La solution est de la formeu(t) =Aexp(-t/τ).

u(0) =A=Epar continuit´e de la tension aux bornes du condensateur.

Finalementu(t) =Eexp(-t/τ)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 2/8 u(t) t E du dt? t=0=-E

La tangente `a l"origine d"´equation-E

τt+Ecoupe l"axe des abscisses ent=τ.

D"autre part :

pourt=τ,u=Eexp(-1) = 0,37E pourt= 2τ,u=Eexp(-1) = 0,14E pourt= 3τ,u=Eexp(-1) = 0,05E 2.2

´Evolution de l"intensit´e du courant

i=-dq dt=-Cdu dt, ce qui donne i(t) =E

Rexp(-t/τ)

i(t) t E R Le condensateur assure la continuit´e de la tension `a ses bornes mais pas celle de l"intensit´e du courant.

2.3´Etude ´energ´etique

Calculons l"´energie re¸cue (on est bien en convention r´ecepteur pour la r´esistance) et dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance : W=? Pdt=? uidt=E2 R? 0 exp(-2t/τ)dt=E2 R? exp(-2t/τ) -2/τ? 0 W=1

2CE2´energie emmagasin´ee dans le condensateur.

3 R´egime libre du circuit RL

3.1

´Evolution de l"intensit´e du courant

I U L R i u L R E Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 3/8En r´egime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur ferm´eU= 0 et

I=E/R.

At= 0, on supprimeE:

u=Ldi dt=-Ri di dt+i

τ= 0 avecτ=L/R

La solution est de la formei(t) =Aexp(-t/τ).

i(0) =A=E/Rpar continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine.

Finalementi(t) =E

Rexp(-t/τ)

i(t) t E R 3.2 ´Evolution de la tension aux bornes de la bobine u=Ldi dt, ce qui donne u(t) =-Eexp(-t/τ) u(t) t -Eτ 3.3

´Etude ´energ´etique

Calculons l"´energie re¸cue (on est en convention g´en´erateur pour la r´esistance) et

dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance : W=? Pdt=? -uidt=E2 R? 0 exp(-2t/τ)dt=E2 R? exp(-2t/τ) -2/τ? 0 W=1 2E 2RL R=1

2LI2´energie emmagasin´ee dans la bobine.

4 R´egime libre du circuit RLC s´erie

4.1

´Equation diff´erentielle

iquCL R E Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 4/8 (1)u=Ri+Ldi dt avecu=q/Ceti=-dq dtdonneq

C=-Rdq

dt-Ld2q dt2soit (2) d2q dt2+R Ldq dt+1

LCq= 0

Avecq=Cu, (2) donne

d 2u dt2+R Ldu dt+1

LCu= 0

En d´erivant (1) et en utilisantu=q/Ceti=-dq

dt, on obtient d 2i dt2+R

Ldidt+1

LCi= 0

4.2 Diff´erents r´egimes

d2udt2+ 2αdu dt+ω20u= 0 r´egime

2α=R

L,ω20=1

LCetQ=ω0

2α Q >1 2 u= e-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) pseudo-p´eriodique

Ω2=ω20-α2

Q <1 2 u= e-αt(A?eΩ?t+B?e-Ω?t) ap´eriodique

Ω?2=α2-ω20

Q=1 2 u= e-ω0t(A??t+B??) critique

Qs"appelle le facteur de qualit´e.

On d´etermine les constantes grˆace aux conditions initiales en utilisant la conti- nuit´e de la tension aux bornes du condensateur et la continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine. Eu(t) t

La pseudo-p´eriode est ´egale `aT=2π

ω=2π

ω20-α2=2π

ω0?

1-1 4Q2 4.3

´Etude ´energ´etique

En multipliant (1) pari, on obtient

ui=Ri2+Ldi dti commei=-dq dtetq=Cu, on a -Cudu dt=Ri2+Ldi dti d dt? 1

2Cu2+1

2Li2? =-Ri2 L"´energie emmagasin´ee dans le condensateur et la bobine `a un instant t,W(t) =1

2Cu2+1

2Li2, diminue au cours du temps, elle est dissip´ee par effet Jouledans la

r´esistance. Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 5/85 R´eponse d"un circuit RC `a un ´echelon de tension5.1´Evolution de la tension aux bornes du condensateur

I UC R iquC R EE Le condensateur est initialement d´echarg´e (R´egime continuU= 0 etI= 0). At= 0, on ferme l"interrupteur et le condensateur se charge :

E=Ri+u=RCdu

dt+u du dt+u

τ=E

τavecτ=RC

La solution est de la formeu(t) =u(h)+u(p)=Aexp(-t/τ)+E. u(0) =A+E= 0 par continuit´e de la tension aux bornes du condensateur.

Finalement

u(t) =E(1-exp(-t/τ)) Eu(t) t

5.2´Evolution de l"intensit´e du courant

i= +dq dt=Cdu dtce qui donne

ERexp(-t/τ)

i(t) ER t

5.3 Bilan ´energ´etique

MultiplierE=Ri+uparidonne

Ei=Ri2+ui

o`u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue); Ri

2est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance;

uiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans le condensateur. 0

Eidt=E2

R? 0 exp(-t/τ)dt=E2

RRC=CE2

0

Ri2dt=RE2

R2? 0 exp(-2t/τ)dt=RE2 R2RC 2=1 2CE2 0 uidt=E2 R? 0 (exp(-t/τ)-exp(-2t/τ))dt=E2

R(RC-RC

2) =1 2CE2

L"´energie fournie par le g´en´erateur se r´epartit ´equitablement entre la r´esistance

et le condensateur. Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 6/86 R´eponse d"un circuit RL `a un ´echelon de tension6.1´Evolution de l"intensit´e du courant

i u L R I U L R E E

R´egime continuU= 0 etI= 0.

At= 0, on ferme l"interrupteur :

E=Ri+Ldi

dt di dt+i

τ=E

Lavecτ=L/R

La solution est de la formei(t) =i(h)+i(p)=Aexp(-t/τ) +E R. i(0) =A+E R= 0 par continuit´e de l"intensit´e du courant dans la bobine.

Finalement

i(t) =E

R(1-exp(-t/τ))

i(t) ER t

6.2´Evolution de la tension aux bornes de la bobine

u=Ldi dtce qui donne u(t) =Eexp(-t/τ) Eu(t) t

6.3 Bilan ´energ´etique

MultiplierE=Ri+uparidonne

Ei=Ri2+ui

o`u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue); Ri

2est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance;

uiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans la bobine. Quandt→ ∞Un nouveau r´egime continu s"´etablit avecI=E/Rdonc : 0

Eidt→ ∞

0

Ri2dt→ ∞

0 uidt=E2 R? 0 (exp(-t/τ)-exp(-2t/τ))dt=E2 R(L R-L

2R) =1

2LI2 Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 7/87 R´eponse d"un circuit RLC s´erie `a un ´echelon de

tension

7.1 Tension aux bornes du condensateur

iquCL R E Le condensateur est initialement d´echarg´e.

At= 0, on ferme l"interrupteur :

E=Ldi dt+Ri+usoit d 2q dt2+R Ldq dt+1 LCq=E L uetiv´erifient la mˆeme ´equation.

La solution est de la formeq(t) =q(h)+q(p).

Pourq(h)voir r´egime libre.

q (p)=CE.

Par exemple en r´egime pseudo-p´eriodique :

Eu(t) t

7.2 Bilan ´energ´etique

MultiplierE=Ldi

dt+Ri+uparidonne

Ei=Ldi

dti+Ri2+Cdu dtu o`u Ei est la puissance fournie par le g´en´erateur (E(-i) puissance re¸cue); L di dtiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans la bobine; Ri

2est la puissance re¸cue et dissip´ee dans la r´esistance;

uiest la puissance re¸cue et emmagasin´ee dans le condensateur. Quandt→ ∞Un nouveau r´egime continu s"´etablit avecU=EetI= 0 donc : 0 Ldi dtidt=?1 2Li2? 0= 0 0 Cdu dtudt=?1 2Cu2? 0=1 2CE2 Pour les deux autres int´egrales, il faut expliciteru(t) eti(t) : u(t) = e-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) +E commei(t) =Cdu dt, on a i(t) =C?-αe-αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) + e-αt(-AΩsin(Ωt) +BΩcos(Ωt))? u(0) =A+E= 0?A=-E i(0) =C(-αA+BΩ) = 0?B=-αE

Ωd"o`u

i(t) =CEe-αtsin(Ωt)?α2 0

Eidt=CE2

(voir calcul MAPLE) donc en utilisant le bilan, la derni`ereint´egrale vaut 0

Ri2dt=1

2CE2 Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI -´Electrocin´etique I - Circuits lin´eaires en r´egime transitoirepage 8/8 Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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