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Pour un circuit électrique, le régime permanent est atteint lorsque les intensités des courants électriques à travers les différentes branches du circuit ont une valeur constante. Pour un mécanisme le régime permanent est atteint lorsqu'il fonctionne à vitesse constante.Quel est le courant I en régime permanent ?
En régime continu permanent, l'intensité I du courant à travers un conducteur est constante, et l'on peut écrire : I = d Q d t où est la quantité d'électricité ayant traversé une section du conducteur pendant la durée .Comment se comporte un condensateur en régime permanent ?
En régime permanent, la tension aux bornes du condensateur est constante, stable, de même que le courant qui le traverse. Dans ce cas, on retrouve un courant d'intensité nulle. En clair, il peut exister une tension aux bornes du condensateur, mais aucun courant ne peut passer à travers le condensateur.- On dit qu'on est en régime continu ou permanent si les courants et les potentiels électriques sont indépendants du temps. Donc il ne peut y avoir accumulation de charges. Donc le courant est le même en tout point d'un circuit simple. Il est le même à l'entrée et à la sortie d'un dipôle.
I D´efinitions
I.1 R´egime libre, r´egime transitoire et r´egime continu ♦D´efinition :On appelle •r´eponse libreour´egime libred"un circuit, l"´evolution de celui-ci en l"absence de tout g´en´erateur. •Le r´egime du circuit est ditcontinu(oustationnaire) lorsque toutes les grandeurs ´electriques du circuit (intensit´es, tensions) sont des constantes (du temps). •Entre le moment o`u toutes les sources sont ´eteintes et celui o`u le r´egime continu est ´etabli, on a unr´egime transitoire.•Le r´eseau ´etant lin´eaire, l"´evolution de toute grandeur ´electrique (intensit´e, tension,
charge d"un condensateur...) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficients constants de la forme : D ndnx dtn+Dn-1dn-1xdtn-1+...+D1dxdt+D0x=f(t) o`u l"ordrende l"´equation diff´erentielle d´efinitl"ordre du circuit. Nous ´etudierons les circuit d"ordre 1 et d"ordre 2. Ex :Circuit du 1erordre r´egit par l"´equation : RC du dt+u=e(t) On montre, en math´ematiques, que la solution g´en´erale d"une telle ´equation se met toujours sous la forme : i e(t)u CqR u(t) =uG???? r´egime libre (transitoire)+uP???? r´egime forc´e impos´e par la source •O`u :-uGest la solution g´en´erale de l"´equation homog`ene (i.e.´equation sans second membre) : elle
correspond au r´egime libre du circuit (absence de source detension ou de courant).-uPest une solution particuli`ere de l"´equation avec second membre : elle correspond au r´egime
forc´e impos´e par la source. •Tant que|uG(t)|≂|uP|, on est dans le domaine du r´egime transitoire. Lorsque|uG|?|uP|, le r´egime forc´e est ´etabli (ici, r´egime continu). I.2´Echelon de tension
Un g´en´erateur d´elivre un ´echelon de tension lorsque la tension `a ses bornes a la forme suivante :
e(t) E t 00 ?pourt <0 :e(t) = 0 pourt >0 :e(t) =E0Une telle tension provoque dans un circuit l"apparition d"un r´egime transitoire puis d"un r´egime
permanent continu. Cette ´evolution du circuit porte le nomder´eponse `a un ´echelon de tension
our´eponse indicielle.E4II. Circuit RL s´erie2008-2009
II Circuit RL s´erie
II.1´Etude th´eorique de l"´evolution du courant :Nous allons ´etudier la r´eponse indicielle d"un circuit RLs´erie, puis son r´egime libre.
a Montage : Dans le circuit ci-contre, la loi des mailles s"´ecrit : -e+Ri+Ldi dt= 0. Soit :didt+RLi=e(t)L(E) C"est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du 1 erordre `a coef- ficients constants et avec 2 ndmembre. i eL R ♦D´efinition :L"homog´en´eit´e de la relation imposeτ=LRhomog`ene `a un temps : c"est letemps caract´eristique / constante de tempsdu circuit RL. b´Etablissement du courant : •e(t) est un ´echelon de tension, soit?t <0 :e(t) = 0 t≥0 :e(t) =E0 At≥0, l"´equation diff´erentielle s"´ecrit :di dt+RLi=E0L(1) e(t) E t 00 →La solution de (1) s"´ecrit :i=iG+iP.Rappel :
dx dt+kx= 0?xG=Ae-ktavecA?R.Ici :iG=Ae-R
Lt=Aexp?
-tτ?etiP=cte(puisque le second membre de (1) est constant)DonciPdoit v´erifierdiP
dt+RLiP=E0L, d"o`uiP=E0R. Finalement :i=E0R+Ae-R Lt.•Pour d´eterminer la constante d"int´egrationA,on a besoin d"une condition initiale(C.I.),
c"est-`a-dire la valeur de l"intensit´ei`a une date donn´eet≥0. On note la date" Juste avantt= 0»comme suit :t= 0-. On note la date" Juste aprèst= 0»comme suit :t= 0+. On suppose, par exemple, qu"ent= 0-il n"y a aucun courant dans le circuit. La condition initiale s"´ecrit donc :i(0-) =i0= 0.•Or, on sait quele courant traversant une bobine est une fonction continue du temps(ÜCf Cours
E2-I.2)).→D"o`u :i(0+) =i(0-) =i0= 0, par continuit´e de l"intensit´ei.On a donc :i(0+) =?
i(0-) =i0= 0 i(t= 0+) =E0R+Ae-R
L0?A=-E0R.
Conclusion :i=E0
R(1-e-R
Lt)Lorsquet→ ∞,i→E0R=I0:
ler´egime transitoires"efface et laisse place aur´egime permanent continu.Régime
forcé continuRégime transitoire ti(t) ~5tt0 E0 RI0=2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009II. Circuit RL s´erieE4
•Par suite :didt=E0Le-RLt, soit?didt?
t=0=E0L Donc, l"´equation de la tangente `a la courbe enO(0,0) est :y=E0 Lt.On ay=I0=E0
Rpourt=LE0E
0R=LR=τ.
zPropri´et´e :On se rend compte queτ=LRdonne unordre de grandeur de la dur´ee du r´egime transitoire.Ordre de grandeur :?L?10-3H
R?103Ω?τ?10-6s...c"est tr`es faible : le r´egime transi- toire ?s"éteint » rapidement. • Représentation deuLtension aux bornes de la bobine :uL=Ldi dt=LE0Le-R Lt, soit :uL=E0e-RLt=E0exp?
-tτ?.Pendant le régime transitoire, la bobine
cherche à 'contrer" la tension du générateur en imposant une tension de sens opposé (loi deLenz).
En régime établi (régime permanent continu), uL= 0.On retrouve qu"en régime continu la
bobine se comporte comme un fil conducteur. tu (t) L 0E 0Régime
transitoireRégime forcé continu ~5tt c Extinction de la source (´etude du r´egime libre) : e(t)E t00Pour simplifier les calculs, on réinitialise le temps :?pourt <0:e(t) =E0
pourt≥:e(t) = 0 • Le montage se ramène alors à→La loi des mailles s"écrit, pourt≥0:Ldi
dt+Ri= 0(E). C"est une équation différentielle linéaire du 1 erordre à coefficients constants et sans 2 ndmembre.iL R • La solution s"écrit :i=Be-RLtavecB?R. De plus, par continuité de l"intensité traversant la bobine, on a : i(0+) =? i(0-) =I0=E0 Ri(t= 0+) =B?d"où :B=E0R. Finalement :i(t) =E0Re-R Lt. Cl :donc la tension aux bornes de la bobine est :uL=Ldi dt=LE0R? -RLe-R Lt? soit :uL=-E0e-R Lt. On se rend compte que lerégime libreest unrégime transitoirede durée de l"ordre du temps caractéristique du circuit RL sérieτ=L R: au bout de " quelques »τ,i→0etuL→0. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3E4II. Circuit RL s´erie2008-2009
ti(t) I0 -Eu L 0 tt tII.2´Etude exp´erimentale
• Le GBF délivre un signal " créneaux » de périodeT≈20τ. te(t) E t 01020 30 40
T=20t • Courbes observées :Rq :On retrouve
que l"intensité traver- sant une bobine est une fonction continue du temps, ce qui n"est pas le cas de la tensionà ses bornes.
ti(t) E uL 0t I0 tt1020 30 40
10 203040
-E 0 Pour pouvoir observer à la foisuR=Ri(afin d"observer une grandeur propor- tionnelle ài) etuLen même temps, il faut placer la 'masse" de l"oscilloscope (borne commune aux voies 1 et 2) entre la résistanceRet la bobineL. Or la masse d"un oscilloscope est une masse 'carcasse" reliée à laTERRE. Ce qui est le cas également de la masse de la plupart des GBF! Si on ne fait pas attention on risque donc de court-circuiter la bobine (ou la résistance), provoquant une forte intensité et la destruction du composant.
Pour que le montage fonctionne, il faut donc :
- soit utiliser un GBF sans prise de terre (on parle de générateur à " masse flottante »; cf. ci- contre) GBF xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxVoie 1
Voie 2
GBF xxxxxxxxxxxxxxxxxxVoie 1
Voie 2
RR4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009II. Circuit RL s´erieE4
- soit utiliser un transforma- teur d"isolement (ci-contre) GBF xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxVoie 1
Voie 2R
LRi-u iL Rq :Pour visualiseruL(et non pas-uL) sur laVoie 2il suffit d"appuyer sur la touche INV de la voie 2 de l"oscilloscope.II.3´Etude ´energ´etique
a Puissance instantan´ee re¸cue par la bobine : La puissance fournie par le générateur au reste du circuit vaut : P fournie=e.i (On suppose la source de tension idéale, donc sans résistance interne.) i eL R D"après la loi des mailles :e=Ri+Ldidt, d"où : P fournie=Ri2???? puissance dissipée par effetJouledans R+d dt?12Li2?
PLpuissance reçue par la bobine
b´Etablissement du courant : • on définitt0?τ; ainsi, à la datet0, on est enrégime continu, soit :i(t0) =I. •Calcul de l"énergie emmagasinéeELpar la bobine entret= 0ett0:On a, par définition :PL=dEL
dt ?EL=? t0 0P Ldt=? t0 0d dt?12Li2?
dt=? ?1 2Li2? ?t 0 0=12L.i(t0)2-0 =12LI2?EL=12LI2
zPropri´et´e :Cette ´energie est stock´ee dans la bobinetant qu"on est en r´egime permanent
continu. c Extinction de la source : noi • on réinitialise le temps : ainsi, la datet= 0corres- pond à l"extinction de la source, soit :i(t= 0-) =I.Cette fois, àt=t0, l"intensité est nulle.
•Calcul de l"énergieERdissipée dansRpar effet Joule entret= 0ett0: ti(t) I0 t t >t0> À tout instantt, on a la relation :PJ=Ri2=dERdt.Par suite :ER=|ER(t)|t00=?
t00dER(t)
dtdt=? t0 0PJouledt=?
t00Ri2dt
qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5E4III. Circuit RC s´erie2008-2009
Or le circuit est équivalent au circuit ci-contre.Donc :Ri=-Ldi
dt?Ri2=-Li.didt=-ddt?12Li2?
Finalement :
E R=? t0 0-d dt?12Li2?
dt=? ?-12L.i2?
?t 00= 0-?
-1 2LI2? iL RCl :ER=12LI2=EL.
zpropri´et´e :Toute l"´energie stock´ee dans la bobine id´eale estint´egralementrestitu´ee et a ´et´e
(ici) dissip´ee par effetJoule.III Circuit RC s´erie
III.1´Etude th´eorique de la charge et de la d´echarge d"un condensateur a Montage : i e(t)u CqR La loi des mailles s"écrit :-e+Ri+qC= 0, aveci=dqdt.Les deux équations se combinent pour donner :
dq dt+1RCq=eRC"est une équation différentielle linéaire du 1erordre à coefficients constants et avec 2ndmembre.
♦D´efinition :L"homog´en´eit´e de la relation imposeτ=RChomog`ene `a un
temps : c"est letemps caract´eristique / constante de tempsdu circuit RC s´erie. b Mise en fonction de la source : • Il y a charge du condensateur sous la tensione(t)telle que : ?pourt <0:e(t) = 0 pourt≥0:e(t) =E0 • Pourt≥0, l"équation différentielle s"écrit : e(t) E t 00 dq dt+1RCq=E0R(1)• La solution de(1)est :q=qG+qP(sol. générale de l"éq.sans2ndmembre + sol. particulière
de l"éq.avecsecond membre). ?→avec :qG=λe-tRC=λexp?
-tτ? qP=CE0?Soit :q(t) =λe-tRC+CE0
• Pour déterminerλ, on suppose (par exemple) que pourt <0, le condensateur n"est pas chargé
(q(t= 0-) =q0= 0). • De plus, lacontinuité de la charge aux armatures du condensateur(ÜCf CoursE2-II.3)) impose :q(t= 0+) =q(t= 0-).6http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009III. Circuit RC s´erieE4
• Donc :q(0+) =?q(0-) = 0 q(t= 0+) =λ+CE0?soit :λ=-CE0.Ainsi :q(t) =CE0(1-e-t
RC)eti(t) =dqdt=I0e-t
RCavecI0=E0R
tq=Cu (t) C 0CE 0Régime
transitoireRégime forcé continu ~5ttRégime forcé continuRégime transitoire ti(t) ~5tt0 E0 RI0=zPropri´et´e :On remarque que ler´egime continuest atteint lorsque le condensateur a atteint
sa charge maximale sous la tensionE0; alors, le courant ne circule plus. -→En r´egime continu, le condensateur se comporte comme uninterrupteur ouvert. c Extinction de la source : On réinitialise le temps pour simplifier les calculs : • Il y a décharge du condensateur lorsque on éteinte(t):?pourt <0:e(t) =E0 pourt≥0:e(t) = 0 Pourt≥0, l"équation différentielle s"écrit : e(t)E t 00 dq dt+1RCq= 0 (2)de solution :q=μe-tRC=μexp?
-tτ? avecμ?R • Détermination deμ: - Pourt <0,q=CE0(car on suppose le condensateur complètement chargé sous la tensionE0). -Par continuité de la charge, nous obtenons :q(t= 0+) =q(t= 0-), soit :q(t= 0+) =?q(0-) =CE0 q(t= 0+) =μ?d"où :μ=CE0Ainsi :q(t) =CE0e-t
RCeti(t) =dqdt=-I0e-t
RCen posant :I0=E0R.
ti(t)I0 CEq 0 tt t régime libre transitoirerégime libre transitoire Rq :i <0car la décharge se fait dans le sens opposé au senspositif conventionneldu schéma. III.2´Etude exp´erimentale
• On procède comme pour le circuit(RL): avec un générateur envoyant un signal créneaux de
périodeT≂=20τet untransformateur d"isolementsi le générateur a une prise de terre. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/7E4III. Circuit RC s´erie2008-2009
Voie 1 :uC=qCVoie 2 :uR=-Ri
pour visualiser-uR, c"est-à-direi=dq dt, on appuie sur la toucheINV (ou+/-) de l"os-
cilloscope.GBF xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxVoie 1
Voie 2
R uu =-Ri iRC qi• On visualise ainsi les charges et les décharges du condensateur par l"intermédiaire deuCet le
courant grâce àuR. te(t) E t 01020 30 40
t RIuR 0t E0 tt1020 30 40
10 203040
0 -RIu C zPropri´et´e :On constate queqest une fonction continuedu temps alors queisubit des discontinuit´es.
III.3´Etude ´energ´etique
La puissance fournie au circuit par le générateur, de résistance interne négligeable, vaut :
P f(t) =e(t)i(t) =? Ri+q C? i aveci=dq dt, il vient :qi=qdqdt=ddt? 12q2? Ri e(t) Cq -→d"où :Pf=Ri2???? dissipée par effetJouleds R+ddt? 12q 2C? emmagasinée dans C à la date t8http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009III. Circuit RC s´erieE4
a Charge du condensateur : • On calcule l"énergieemmagasinéepar le condensateur entret= 0ett=t0avect0?t. Par définition, l"énergie emmagasinéeECentret= 0ett0 est lavariation d"énergie électrostatiqueEC(t) =12q2Cdu
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