Probabilité Espérance
https://cermics.enpc.fr/~bl/decision-incertain/cours/cours-1.pdf?refresh=echo%20rand(2
Espérance variance
https://www.unige.ch/math/mgene/cours/slides8.pdf
variables aléatoires
3) Calculer la variance et l'écart-type de !. Correction. 1) On commence par établir la loi de probabilité de ! : ! peut prendre les valeurs −1 € 2
Cours de Statistiques inférentielles
La convergence en moyenne quadratique entraîne la convergence en probabilité. 2. Pour les (Xn) sont des variables aléatoires d'espérance et de variance finies
Lois de probabilité usuelles (rappels) Π Π
Espérance et variance dans le cas discret. Si X est une variable aléatoire formule. P(X > u)=1 − P(X ⩽ u)=1 − p et on cherche dans la table la valeur u ...
Espérance et variance Variables Aléatoires discrètes
binaire X qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité 1 − p. Montrer que la variance d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p(1 ...
MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ
suit une loi normale de moyenne µ et de variance σ2 notée X ∼ N (µ
Loi de probabilité continue
La variance d'une variable aléatoire X de densité f est Var(X) = E X2 - E(X). 2. Le moment d'ordre m d'une variable aléatoire X de densité f est E(Xm)
Probabilités continues
remarque : on peut prendre a = −∞ ou b = +∞ dans cette formule. b a. La Variance. Que pouvez-vous dire des variances de ces densités ? −10. −5. 0. 5.
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Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les
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valeurs étant contrôlée par la probabilité choisie Définition : On appelle variance de la v a unidimensionnelle X et on note Var(X) le nombre défini
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22 mai 2008 · On l'a note souvent µ = E(X) Exemple : un jeu de hasard est programmé selon la table suivante Gain Probabilité Gain × Proba
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Si les valeurs de la série possèdent une unité l'écart type s'exprime dans la même unité Autre formule pour calculer la variance :
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Estimation de la moyenne quand la variance est inconnue L'estimateur est dit convergent si la suite (Tn) converge en probabilité vers ?0 :
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Loi de Bernoulli : La loi de Bernoulli est une distribution de probabilité discrète pour une v a binaire X qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0
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babilités conditionnelles et de la notion d'indépendance en proba- bilités variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler
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distribution de probabilité (ou loi de probabilité) de la v a X Corollaire 4 7 (Formule pour la variance) : Soit X une v a discrète
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On s'intéresse plutôt `a la probabilité que X soit dans un intervalle donné [ab] Soit X une variable aléatoire continue de densité fX sa variance est
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22 mai 2008 · Espérance variance quantiles Probabilité Gain × Proba Définition : La variance d'une v a X (si elle existe) est
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Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les
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Discuter ce postulat et l'adage en termes de variance Exercice : Soient X et Y deux v a de même loi Lorsqu'on découvre les probabilités et la notion (
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pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Formule des probabilités composées (à l'ordre 3) : Espérance et variance :
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Calcul de la variance : V (Y ) = dans le cas discret et V (Y ) = dans le cas continu Page 37 Chapitre 6 Lois continues usuelles 6 1 Loi continue uniforme
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Proposition 7 (Formule des probabilités totales) Soit A un événement tel que 0 < Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice)
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variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler (formule des probabilités totales) Soit (Ai)i?I une fa-
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On dit que X suit la loi binomiale négative de paramètre p X(?) =IN et on note 31 Page 37 X ? BN(r p) L'espérance et la variance de X sont E(X) = r 1
[PDF] Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi
4) La famille (pi)i?D des nombres pi = P(X = xi) (i ? D) s'appelle la distribution de probabilité (ou loi de probabilité) de la v a X Remarque 2 2 : Il est
Cours 5 : Variance ? Écart-type dune variable aléatoire
La loi de probabilité de X est donnée dans le tableau ci-dessous Valeur prise par X 1 2 3 4 Probabilité associée
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPROBABILITÉS En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avecPierre de Fermat(1601 ; 1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d'espérance de gain qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s'intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme par exemple celui duChevalierdeMéré: "Commentdistribueréquitablementlamiseàunjeudehasardinterrompuavantlafin?» I. Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} s'appelle l'univers des possibles. On considère l'événement A : "On obtient un résultat pair." On a donc : A = {2; 4; 6}. On considère l'événement élémentaire E : "On obtient un 3". On a donc : E = {3}. Définitions : - Chaque résultat d'une expérience aléatoire s'appelle une issue. - L'univers des possibles est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. - Un événement est un sous-ensemble de l'univers des possibles. - Un événement élémentaire est un événement contenant une seule issue. Exemple : Dans l'expérience précédente, on considère le jeu suivant : - Si le résultat est pair, on gagne 2€. - Si le résultat est 1, on gagne 3€. - Si le résultat est 3 ou 5, on perd 4€. On a défini ainsi une variable aléatoire X sur Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} qui peut prendre les valeurs 2, 3 ou -4. On a donc : X(1) = 3, X(2) = 2, X(3) = -4, X(4) = 2, X(5) = -4, X(6) = 2 Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2) Loi de probabilité Exemple : On considère la variable aléatoire X définie dans l'exemple précédent. Chaque issue du lancer de dé est équiprobable et égale à
1 6 . La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur 2 est égale à 1 6 1 6 1 6 1 2 . On note : P(X = 2) = 1 2 . De même : P(X = 3) = 1 6 et P(X = -4) = 1 6 1 6 1 3 . On peut résumer les résultats dans un tableau : xi -4 2 3 P(X = xi) 1 3 1 2 1 6Ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω et prenant les valeurs x1, x2, ..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi). Remarques : - P(X = xi) peut se noter pi. - p1 + p2 + ... + pn = 1 Exemple : Dans l'exemple traité plus haut : p1 + p2 + p3 =
1 3 1 2 1 6= 1. Méthode : Déterminer une loi de probabilité Vidéo https://youtu.be/2Ge_4hclPnI Soit l'expérience aléatoire : "On tire une carte dans un jeu de 32 cartes." On considère le jeu suivant : - Si on tire un coeur, on gagne 2€. - Si on tire un roi, on gagne 5€. - Si on tire une autre carte, on perd 1€. On appelle X la variable aléatoire qui à une carte tirée associe un gain ou une perte. Déterminer la loi de probabilité de X.
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLa variable aléatoire X peut prendre les valeurs 2, 5, -1 mais aussi 7. En effet, si on tire le roi de coeur, on gagne 5(roi) + 2(coeur) = 7€. - Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), X = 2. P(X = 2) =
7 32. - Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), X = 5. P(X = 5) = 3 32
. - Si la carte tirée est le roi de coeur, X = 7. P(X = 7) = 1 32
. - Si la carte tirée n'est ni un coeur, ni un roi, X = -1. P(X = -1) = 21
32
. La loi de probabilité de X est : xi -1 2 5 7 P(X = xi) 21
32
7 32
3 32
1 32
On constate que : p1 + p2 + p3 + p4 =
2132
7 32
3 32
1 32
= 1 II. Espérance, variance, écart-type Définitions : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω et prenant les valeurs x1, x2, ..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité pi = P(X = xi). - L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est : E(x) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
=p i x i i=1 n- La variance de la loi de probabilité de X est : V(x) = p1(x1 - E(X))2 + p2(x2 - E(X))2 + ... + pn(xn - E(X))2
=p i x i -E(X) 2 i=1 n - L'écart-type de la loi de probabilité de X est :σ(X)=V(X)
4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi de probabilité Vidéo https://youtu.be/AcWVxHgtWp4 Vidéo https://youtu.be/elpgMDSU5t8 Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent, calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les résultats pour l'espérance et l'écart-type. E(X) =
2132
×-1
7 32×2 3 32
×5 1 32
×7 15 32
. V(X) = 21
32
×-1-
15 322 7 32
×2-
15 322 3 32
×5-
15 322 1 32
×7-
15 322 ≈5,1865 σX ≈5,1865≈2,28 . L'espérance est égale à 15 32
≈0,5
signifie qu'en jouant, on peut espérer gagner environ 0,50€. L'écart-type est environ égal à 2,28 signifie qu'avec une espérance proche de 0,50 le risque de perdre de l'argent est important. Remarques : - L'espérance est la moyenne de la série des xi pondérés par les probabilités pi. En effet : E(X) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
p 1 x 1 +p 2 x 2 +...+p n x n 1 p 1 x 1 +p 2 x 2 +...+p n x n p 1 +p 2 +...+p nEn répétant un grand nombre de fois l'expérience, la loi des grands nombres nous permet d'affirmer que les fréquences se rapprochent des probabilités théoriques. La moyenne des résultats se rapprochent donc de l'espérance de la loi de probabilité. L'espérance est donc la moyenne que l'on peut espérer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. - La variance (respectivement l'écart-type) est la variance (respectivement l'écart-type) de la série des xi pondérés par les probabilités pi. L'écart-type est donc une caractéristique de dispersion "espérée" pour la loi de probabilité de la variable aléatoire. Propriétés : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω. Soit a et b deux nombres réels. On a : E(aX+b) = aE(X)+b V(aX+b) = a2V(X)
5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Démonstrations :
E(aX+b)=p
i ax i +b i=1 n =ap i x i i=1 n +bp i i=1 n =ap i x i i=1 n +b =aE(X)+bV(aX+b)=p
i ax i +b-aE(X)+b 2 i=1 n =p i ax i -aE(X) 2 i=1 n =a 2 p i x i -E(X) 2 i=1 n =a 2 VXMéthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire de transition Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billes produites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être légèrement erronée. L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son diamètre. On considère la variable aléatoire X qui à une bille choisie au hasard associe son diamètre. La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau suivant : xi 1,298 1,299 1,3 1,301 1,302 P(X = xi) 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1 Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de X. Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire Y = 1000X - 1300. La loi de probabilité de Y est alors : xi -2 -1 0 1 2 P(Y = xi) 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1 Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de Y : E(Y) = -2x0,2 + (-1)x0,1 + 1x0,4 + 2x0,1 = 0,1 V(Y) = 0,2x(-2 - 0,1)2 + 0,1x(-1 - 0,1)2 + 0,2x(0 - 0,1)2 + 0,4x(1 - 0,1)2 + 0,1x(2 - 0,1)2 = 1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de X : E(Y) = E(1000X - 1300) = 1000 E(X) - 1300
6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDonc :
E(X)=E(Y)+1300
10000,1+1300
1000=1,3001
V(Y) = V(1000X - 1300) = 10002 V(X) Donc :
V(X)= V(Y) 10002 1,69 1000
2
Et donc :
σX 1,69 10002 1,3 1000
=0,0013
Conclusion : E(X) = 1,3001 cm et
σX =0,0013cm. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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