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Esperance, variance,

quantiles

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

22 mai 2008

1

0. Motivation

Mesures de centralite (ex. esperance) et de dispersion (ex. variance)-10-50510 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x)Moments et quantiles 2

1. Esperance

Denition. L'esperance d'une v.a.X(si elle existe) est :

Cas disc ret: E(X) =P

xxP(X = x).

Cas c ontinu: E(X) =Rxf(x)dx.

C'est une mesure du centre de la distribution. On l'a note souvent= E(X). Exemple : un jeu de hasard est programme selon la table suivante

GainProbabiliteGainProba10.010.1

50.0010.05

1'0001.01050.01

10'00051075.0103somme0.01101050.165

Quelle est l'esperance de gainXd'un joueur?Moments et quantiles 3

Distributions discretes :

SiXBernoulli(p), alors son esperance estE(X) =

SiXBinomiale(n,p), alors son esperance estE(X) =

SiXPoisson(), alors son esperance estE(X) =

Distributions continues :

SiXUniforme(a,b), alors son esperance estE(X) =

SiXGaussienne N(0,1), alors son esperance estE(X) = SiXGaussienne N(,2), alors son esperance estE(X) =Moments et quantiles 4 Exemple : Roger Federer joue ses matchs en 3 sets 60% du temps, 4 sets 25% et 5 sets 15%. Quelle est l'esperance du nombre de sets joues par le numero 1? Exemple : Le temps d'attente en minute au standard telephonique d'un cinema est bien modelise par une distribution exponentielleExp(0:5)(de densite f(t) =exp(t),t >0avec= 0:5). Quel est le temps moyen d'attente?Moments et quantiles 5

Esperance d'une fonction de v.a.

Propriete 1.1 (sans demonstration) :

Cas disc ret: Si Xa une distribution discrete etY=r(X), alors

E(r(X)) = E(Y) =X

yyP(Y = y) =X xr(x)P(X = x):

Cas c ontinu: Si Xa pour densitefXetY=r(X), alors

E(r(X)) = E(Y) =Z

yf

Y(y)dy=Z

r(x)fX(x)dx: Denition : (utilisantr(x) =x2) lemoment d'ordrekd'une v.a.Xest

E(Xk) =Moments et quantiles

6 Exemple : SiXBernoulli(p), alors son moment d'ordre 2 est

E(X2) = 02P(X = 0) + 12P(X = 1) = p:

Exemple : SiXPoisson(), alors son moment d'ordre 2 est

E(X2) =(+ 1):

Exemple : SiXExp(), alors son moment d'ordre 2 est

E(X2) =Z

1 0 x2exp(x)dx=2

2:Moments et quantiles

7

Pour deux v.a.XetYet une fonctionr(x;y), on a

Cas disc ret:

E(r(X;Y)) =X

xX yr(x;y)P(X = x;Y = y)

Cas c ontinu:

E(r(X;Y)) =Z Z

r(x;y)f(x;y)dx dyMoments et quantiles 8

Propriete 1.2 : siaetbsont des constantes, alors

E(aX+b) =aE(X) +b:

Demonstration :

Propriete 1.3 :EfXE(X)g= 0.Moments et quantiles

9 Propriete 1.4 : SoitXetYdeux v.a. de densite conjointef(x;y). Alors

E(X+Y) = E(X) + E(Y):

Cette propriete est egalement vraie dans le cas discret. Cette propriete est vraie que les v.a. soient independantes ou non. Demonstration : on utilise la fonctionr(x;y) =x+y:

E(X+Y)= Z Z

(x+y)f(x;y)dx dy =Moments et quantiles 10 Exemple : Quelle est l'esperance d'uneBinomiale(n,p)? Exemple :nhommes etnfemmes dansent par deux et forment une paire aleatoirement. Quelle est l'esperance du nombre de couplesDnqui dansent ensemble parmi lesncouples presents? Cette esperance augmente-t-elle avecn? SoitXila variable binaire telle queXi= 1si leieme homme danse avec sa femme (Xi= 0sinon). Par la combinatoire on sait queP(Xi= 1) =(n1)!n! =1n doncE(Xi) =

De plusDn=X1+:::+Xn, donc

E(Dn) =Moments et quantiles

11 Propriete 1.5 : SiXetYsont deux v.a. independantes, alors

E(XY) = E(X) E(Y):

Demonstration :Moments et quantiles

12

Exemple : SoitXetYde distribution conjointe

XY=1 0

10 .3

0.5 .2

E(XY) = (1)(0) + (0)(:3) + (0)(:5) + (0)(:2) = 0.

E(X) = (1)(:3) + (0)(:7) =:3etE(Y) = (1)(:5) + (0)(:5) =:5.

Que se passe-t-il?Moments et quantiles

13

2. Variance

Denition : Lavarianced'une v.a.X(si elle existe) est var(X) = EfXE(X)g2: C'est une mesure de dispersion autour de l'esperance. On la note souvent

2= var(X).

Denition equivalente :var(X) = E(X2) fE(X)g2

Demonstration :Moments et quantiles

14

Exemple : SiXBernoulli(p), alors sa variance est

var(X) =

Exemple : SiXPoisson(), alors sa variance est

var(X) =Moments et quantiles 15

Exemple : SiXExp(), alors sa variance est

var(X) =

Exemple : SiXN(0,1), alors sa variance est

var(X) = 1Moments et quantiles 16

Propriete 2.1 : siaetbsont des constantes, alors

var(aX+b) =a2var(X):

Demonstration :

Consequence (Proprietes 1.2 et 2.1) : siXest une variable aleatoire telle queE(X) = 0etvar(X) = 1, alorsY=+Xest telle queE(X) =et var(Y) =.Moments et quantiles 17 Exemple : SiXN(0;1), alorsY=+XN(;2). Pratique : la distribution Gaussienne est parametrisee avec son esperanceet sa variance2.

Sa fonction de densite est

f(x;;) =1p22exp(122(x)2): Exemple :XPoisson(). Que peut-on dire deY=aX?Moments et quantiles 18

Denition : l'ecart typed'une v.a.Xest=pvar(X).

L'ecart type a l'avantage d'^etre dans la m^eme unite que la variable. Par exemple siXest enm, alorsvar(X)est enm2, mais(X)est enm. Exemple : on lance un de et notonsXla valeur. Quelles sont son esperance et sa variance? E(X)= var(X)=

Doncvar(X) =10536

= 2:9166et(X) =pvar(X) = 1:7078.Moments et quantiles 19 Une mesure de deviation plus naturelle estE(jXE(X)j) = 1:5. En eet jXj=8 :0:5when X= 3;4

1:5when X= 2;5

2:5when X= 1;6

DoncE(jXj) = (0:5)(16

+16 ) + (1:5)(16 +16 ) + (2:5)(16 +16 ) = 1:5.Moments et quantiles 20

Denition : Lacovarianceentre deux v.a.XetYest

cov(X;Y) = Ef(XE(X))(YE(Y))g:

Il est facile de montrer la denition equivalente

cov(X;Y) = E(XY)E(X)E(Y): Consequence (Propriete 1.5) : SiXetYsont deux v.a. independantes, alors cov(X;Y) =:

Propriete 2.2 :var(X+Y) =

Donc siXetYsont deux v.a. independantes, alorsvar(X+Y) = var(X) + var(Y).Moments et quantiles 21
Denition (plus faible que l'independance) : deux v.a.XetYsont non- correlees sicov(X;Y) = 0. Il sut donc queXetYsoient non-correlees pour quevar(X+Y) = var(X) + var(Y). Exemple : Quelle est la variance de la Binomiale(n,p)? Exemple : SoitXune v.a. qui prend pour valeur2;1;0;1;2avec probabilite

1=5, et soitY=X2.

cov(X;Y) = Les v.a.XetYsont-elles independantes?Moments et quantiles 22

Denition : lecoecient de correlationentreXetY

(X;Y) =cov(X;Y)(X)(Y)2[1;1]: mesure la force d'associaton lineaire entre deux v.a. IMPORTANT : faites toujours la distinction entre independant et non-correle. Ne concluez jamais pour l'independance apres avoir calculer un coecient de correlation nul!Moments et quantiles 23

3. Quantiles

Denition : Lamedianemd'une v.a.Xsatisfait

P(X6m)>1=2 et P(X>m)>1=2:

Propriete 3.1 : SiXest une v.a. avec une fonction de distributionFcontinue et strictement croissante, alors m=F1(0:5):quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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