PROBABILITÉS
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance
Probabilité Espérance
https://cermics.enpc.fr/~bl/decision-incertain/cours/cours-1.pdf?refresh=echo%20rand(2
Espérance variance
https://www.unige.ch/math/mgene/cours/slides8.pdf
variables aléatoires
3) Calculer la variance et l'écart-type de !. Correction. 1) On commence par établir la loi de probabilité de ! : ! peut prendre les valeurs −1 € 2
Cours de Statistiques inférentielles
La convergence en moyenne quadratique entraîne la convergence en probabilité. 2. Pour les (Xn) sont des variables aléatoires d'espérance et de variance finies
Lois de probabilité usuelles (rappels) Π Π
Espérance et variance dans le cas discret. Si X est une variable aléatoire formule. P(X > u)=1 − P(X ⩽ u)=1 − p et on cherche dans la table la valeur u ...
Espérance et variance Variables Aléatoires discrètes
binaire X qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité 1 − p. Montrer que la variance d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p(1 ...
MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ
suit une loi normale de moyenne µ et de variance σ2 notée X ∼ N (µ
Loi de probabilité continue
La variance d'une variable aléatoire X de densité f est Var(X) = E X2 - E(X). 2. Le moment d'ordre m d'une variable aléatoire X de densité f est E(Xm)
Probabilités continues
remarque : on peut prendre a = −∞ ou b = +∞ dans cette formule. b a. La Variance. Que pouvez-vous dire des variances de ces densités ? −10. −5. 0. 5.
[PDF] PROBABILITÉS - maths et tiques
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les
[PDF] Mesure de la variabilité
valeurs étant contrôlée par la probabilité choisie Définition : On appelle variance de la v a unidimensionnelle X et on note Var(X) le nombre défini
[PDF] Espérance variance quantiles
22 mai 2008 · On l'a note souvent µ = E(X) Exemple : un jeu de hasard est programmé selon la table suivante Gain Probabilité Gain × Proba
[PDF] Variance et écart type - Statistiques descriptives - Parfenoff org
Si les valeurs de la série possèdent une unité l'écart type s'exprime dans la même unité Autre formule pour calculer la variance :
[PDF] STATISTIQUE : ESTIMATION - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Estimation de la moyenne quand la variance est inconnue L'estimateur est dit convergent si la suite (Tn) converge en probabilité vers ?0 :
[PDF] Espérance et variance Variables Aléatoires discrètes
Loi de Bernoulli : La loi de Bernoulli est une distribution de probabilité discrète pour une v a binaire X qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0
[PDF] Probabilités et variables aléatoires
babilités conditionnelles et de la notion d'indépendance en proba- bilités variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler
[PDF] 4 - Espérance variance et espérance conditionnelle - Renaud Bourles
%2520Variance%2520et%2520Esperance%2520Conditionnelle.pdf
[PDF] Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi
distribution de probabilité (ou loi de probabilité) de la v a X Corollaire 4 7 (Formule pour la variance) : Soit X une v a discrète
[PDF] Probabilités continues
On s'intéresse plutôt `a la probabilité que X soit dans un intervalle donné [ab] Soit X une variable aléatoire continue de densité fX sa variance est
[PDF] Espérance variance quantiles
22 mai 2008 · Espérance variance quantiles Probabilité Gain × Proba Définition : La variance d'une v a X (si elle existe) est
[PDF] PROBABILITÉS - maths et tiques
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les
[PDF] Mesure de la variabilité
Discuter ce postulat et l'adage en termes de variance Exercice : Soient X et Y deux v a de même loi Lorsqu'on découvre les probabilités et la notion (
[PDF] Formulaire de Probabilités et Statistique - Christophe Chesneau
pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Formule des probabilités composées (à l'ordre 3) : Espérance et variance :
[PDF] Cours de Probabilités
Calcul de la variance : V (Y ) = dans le cas discret et V (Y ) = dans le cas continu Page 37 Chapitre 6 Lois continues usuelles 6 1 Loi continue uniforme
[PDF] Cours de probabilités et statistiques
Proposition 7 (Formule des probabilités totales) Soit A un événement tel que 0 < Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice)
[PDF] Probabilités et variables aléatoires
variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler (formule des probabilités totales) Soit (Ai)i?I une fa-
[PDF] Cours calcul des probabilités et variables aléatoires
On dit que X suit la loi binomiale négative de paramètre p X(?) =IN et on note 31 Page 37 X ? BN(r p) L'espérance et la variance de X sont E(X) = r 1
[PDF] Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi
4) La famille (pi)i?D des nombres pi = P(X = xi) (i ? D) s'appelle la distribution de probabilité (ou loi de probabilité) de la v a X Remarque 2 2 : Il est
Cours 5 : Variance ? Écart-type dune variable aléatoire
La loi de probabilité de X est donnée dans le tableau ci-dessous Valeur prise par X 1 2 3 4 Probabilité associée
![[PDF] STATISTIQUE : ESTIMATION - Institut de Mathématiques de Bordeaux](https://pdfprof.com/Listes/17/22810-17ProbaAgreg1213-COURS2-Stat1.pdf.pdf.jpg "[PDF] STATISTIQUE : ESTIMATION - Institut de Mathématiques de Bordeaux")
STATISTIQUE : ESTIMATION
Préparation à l"Agrégation Bordeaux 1
Année 2012 - 2013
Jean-Jacques Ruch
Table des Matières
Chapitre I. Estimation ponctuelle5
1. Définitions5
2. Critères de comparaison d"estimateurs 6
3. Exemples fondamentaux 6
3.a. Estimation dem6
3.b. Estimation de2en supposantmconnu 7
3.c. Estimation de2lorsquemest inconnu 7
4. Cas particulier de la loi normale 8
5. Construction d"estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance 11
5.a. Cas discret11
5.b. Cas à densité12
Chapitre II. Estimation par intervalle13
1. Définition d"une région de confiance 13
2. Construction de régions de confiance 13
3. Exemples classiques d"estimation par intervalle 15
3.a. Estimation de la moyenne quand la variance est connue 15
3.b. Estimation de la moyenne quand la variance est inconnue 15
3.c. Estimation de la variance quand la moyenne est connue 16
3.d. Estimation de la variance quand la moyenne est inconnue 18
4. Comparaison de moyennes et de variances 18
4.a. Intervalle de confiance de la différence de deux moyenne 18
4.b. Intervalle de confiance du rapport de deux variances 20
5. Estimation d"une proportion 20
5.a. Estimation ponctuelle 21
5.b. Estimation par intervalle 21
5.c. Méthode du Bootstrap 22
3CHAPITRE I
Estimation ponctuelle
En statistique, comme dans la théorie des probabilités le hasard intervient fortement. Mais dans la théorie
des probabilités, on suppose la loi connue précisément et on cherche à donner les caractéristiques de la
variable qui suit cette loi. L"objectif de la statistique est le contraire : à partir de la connaissance de la
variable, que peut-on dire de la loi de cette variable?1. Définitions
SoitXune variable aléatoire dont la densité de probabilitéf(x;)dépend d"un paramètreappartenant
àIR. A l"aide d"un échantillon issu deX, il s"agit de déterminer au mieux la vraie valeur0de. On
pourra utiliser deux méthodes : -estimation ponctuelle: on calcule une valeur vraisemblable^de0-estimation par intervalle: on cherche un intervalle dans lequel0se trouve avec une probabilité élevée.
Définition 1.Unn-échantillondeXest unn-uplet(X1;X2;:::;Xn)tel que lesXkont la même loi queXet sont indépendantes.Uneréalisation de l"échantillonest alors unn-uplet(x1;x2;:::;xn)de valeurs prises par l"échantillon.Définition 2.Unestatistiquede l"échantillon est une variable aléatoire'(X1;X2;:::;Xn)où'est
une application deRndansR. UnestimateurTdeest une statistique à valeurs dansI. Uneestimationest la valeur de l"estimateur correspondant à une réalisation de l"échantillon.Exemple:X n=1n n X k=1X kest un estimateur de l"espérance mathématique. Définition 3.Lebiaisde l"estimateurTdeestE[T]0. S"il est nul, on dit queTest un estimateur sans biais. L"estimateurTnestasymptotiquement sans biaissilimE[Tn] =0.On note souvent le biaisb(T). Définition 4.L"estimateur est ditconvergentsi la suite(Tn)converge en probabilité vers0:8" >0;P(jTn0j> ")!n!+10:
On parle d"estimateurfortement convergentlorsqu"on a convergence presque sûre.D"après Bienaymé-Tchebychev pour qu"un estimateur asymptotiquement sans biais soit convergent il
suffit queVar(Tn)!n!+10:
56Chapitre I. Estimation ponctuelle
2. Critères de comparaison d"estimateurs
Un bon critère de comparaison est lerisque quadratique. Définition 5.SoientTun estimateur de. Le risque quadratique est défini par R(T;) =E[(T)2]On peut alors comparer deux estimateurs. Définition 6.On dit queT1est unmeilleur estimateurqueT2si82I; R(T1;)R(T2;)
et92I; R(T1;)< R(T2;):Un estimateur est ditadmissibles"il n"existe pas d"estimateur meilleur.
L"erreur quadratique moyenne deTse décompose en deux termes, le carré du biais et la variance deT:
E[(T)2] =b2(T) +Var(T):
Cette décomposition permet de se ramener à une discussion sur la variance pour les estimateurs sans
biais de. Définition 7.SoientT1etT2deux estimateurs sans biais de. On dit queT1est unplus efficace queT2si82I;Var(T1)Var(T2)
et92I;Var(T1) Var(T1)Var(T2):
3. Exemples fondamentaux
SoitXune variable aléatoire telle queE[X] =met Var(X) =2. 3.a. Estimation dem.
Théorème 8.La moyenne empiriqueX
n=1n n X k=1X kest un estimateur sans biais et convergent dem.On a E[X n] =1n n X k=1E[Xk] =met Var(X n) =1n 2n X k=1Var[Xk] =2n !n!+10: D"après la loi forte des grands nombresX
nest même fortemement convergent. Il est possible de déterminer la loi asymptotique de la moyenne empirique. Jean-Jacques Ruch
3.Exemples fondamentaux7
Proposition 9.Sinest assez grand on peut utiliser l"approximation normale (lorsqueXadmet un moment d"ordre2)X nL N(m;2=n):C"est une conséquence du TCL qui nous assure que pn(X nm)L!n!+1N(0;2): 3.b. Estimation de2en supposantmconnu.
Théorème 10.Lorsquemest connu
S 2n=1n n X k=1(Xkm)2 est un estimateur sans biais et convergent de2.On a E[S2n] =E"
1n n X k=1(Xkm)2# 1n n X k=1Var(Xk) =2 Par ailleurs, les variables(Xkm)2étant indépendantes : Var(S2n) =1n
2n X k=1Var((Xkm)2) =1n E[(Xm)4]E[(Xm)2]2=1n
44
aveck=E((Xm)k). DoncS2nest un estimateur convergent. La loi forte des grands nombres appliquée aux variables(Xkm)2
entraîne même la convergence presque sûre vers2. Comme dans le cas de la moyenne empirique le TCL nous permet de déterminer la loi asymptotique de S 2n; on a lorsquenest assez grand :
S 2nL N(2;(44)=n):
3.c. Estimation de2lorsquemest inconnu.
En général on ne connaît pasm; on le remplace par un estimateur et on introduit la variance empirique
associée :S 2n=1n n X k=1(XkX n)2: Théorème 11.La variance empiriqueS
2nest un estimateur biaisé et convergent de2. Il est asymptotique-
ment sans biais.On a E[S 2n] =1n
n X k=1E(X2k)E[X n2] =1n (n(m2+2))(m2+2n ) =n1n 2: Jean-Jacques Ruch
8Chapitre I. Estimation ponctuelle
D"autre part, on peut montrer que :
Var(S 2n) =1n
442n
2424+1n
3434!0
aveck=E((Xm)k). L"estimateur est donc convergent. Le résultat précédent et le lemme de Slutsky (Probabilité 2, Jean-Yves Ouvrard, p. 347) permet de
déterminer la loi asymptotique deS 2n:S 2nL N(2;(44)=n):
Théorème 12.La variance empirique corrigée c S2n=1n1n
X k=1(XkX n)2: est un estimateur sans biais et convergent de2.Cela se montre facilement en remarquant que c S2n=nn1S
2n: 4. Cas particulier de la loi normale
On suppose dans ce paragraphe queXsuit la loi normaleN(m;2). On sait queX n=1n n X k=1X ksuit alors la loi normaleN(m;2=n), ce qui confime que c"est un estimateur sans biais, convergent dem. Les résultats obtenus au paragraphe précédent pour l"estimation de2sont encore valables; en particulier
on a : E(S2n) =2et Var(S2n) =2(n1)n
24
En effet, calculonsk
k=E((Xm)k) =1p2Z +1 1 (xm)kexp (xm)22 dx 1p2Z +1 1 (p2u)kexp(u2)p2duen posantx=mp2u = 0sikest impair. Lorsquek= 2pest pair on obtient
2p=2p2pp
Z +1 1 u2pexp(u2)du=2p+12pp Z +1 0 u2pexp(u2)du 2p2pp Z +1 0 vp1=2exp(v)dven posantu=pv 2p2pp (p+ 1=2) =(2p)!2 p(p!)2p et donc Var(S2n) =1n
442n
2424+1n
3434=2(n1)n
24
Jean-Jacques Ruch
4.Cas particulier de la loi normale9
Définition 13.SoientX1;:::;Xn,nvariables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de
loiN(0;1). La loi du2àndegrés de liberté est la loi de la variable aléatoire 2n=nX k=1X 2k: La densité de cette loi est donnée par :
f 2n(u) =12(n=2)
u2 n=21exp u2 1 u>0 et sa fonction caractéristique par 2n(t) =1(12it)n=2f
2k Pour déterminer la densité on peut remarquer que : siUsuit une loiN(0;1)alors on a pourt >0 P(U2t) =P(tUt) =FU(pt)FU(pt)
et par conséquent f U2(t) =12
quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
Var(T1)Var(T2):
3. Exemples fondamentaux
SoitXune variable aléatoire telle queE[X] =met Var(X) =2.3.a. Estimation dem.
Théorème 8.La moyenne empiriqueX
n=1n n X k=1X kest un estimateur sans biais et convergent dem.On a E[X n] =1n n X k=1E[Xk] =met Var(X n) =1n 2n X k=1Var[Xk] =2n !n!+10:D"après la loi forte des grands nombresX
nest même fortemement convergent. Il est possible de déterminer la loi asymptotique de la moyenne empirique.Jean-Jacques Ruch
3.Exemples fondamentaux7
Proposition 9.Sinest assez grand on peut utiliser l"approximation normale (lorsqueXadmet un moment d"ordre2)X nL N(m;2=n):C"est une conséquence du TCL qui nous assure que pn(X nm)L!n!+1N(0;2):3.b. Estimation de2en supposantmconnu.
Théorème 10.Lorsquemest connu
S 2n=1n n X k=1(Xkm)2 est un estimateur sans biais et convergent de2.On aE[S2n] =E"
1n n X k=1(Xkm)2# 1n n X k=1Var(Xk) =2 Par ailleurs, les variables(Xkm)2étant indépendantes :Var(S2n) =1n
2n X k=1Var((Xkm)2) =1nE[(Xm)4]E[(Xm)2]2=1n
44aveck=E((Xm)k).
DoncS2nest un estimateur convergent. La loi forte des grands nombres appliquée aux variables(Xkm)2
entraîne même la convergence presque sûre vers2. Comme dans le cas de la moyenne empirique le TCL nous permet de déterminer la loi asymptotique de S2n; on a lorsquenest assez grand :
S2nL N(2;(44)=n):
3.c. Estimation de2lorsquemest inconnu.
En général on ne connaît pasm; on le remplace par un estimateur et on introduit la variance empirique
associée :S 2n=1n n X k=1(XkX n)2:Théorème 11.La variance empiriqueS
2nest un estimateur biaisé et convergent de2. Il est asymptotique-
ment sans biais.On a E[S2n] =1n
n X k=1E(X2k)E[X n2] =1n (n(m2+2))(m2+2n ) =n1n 2:Jean-Jacques Ruch
8Chapitre I. Estimation ponctuelle
D"autre part, on peut montrer que :
Var(S2n) =1n
442n2424+1n
3434!0
aveck=E((Xm)k). L"estimateur est donc convergent.Le résultat précédent et le lemme de Slutsky (Probabilité 2, Jean-Yves Ouvrard, p. 347) permet de
déterminer la loi asymptotique deS 2n:S2nL N(2;(44)=n):
Théorème 12.La variance empirique corrigée cS2n=1n1n
X k=1(XkX n)2: est un estimateur sans biais et convergent de2.Cela se montre facilement en remarquant que cS2n=nn1S
2n:4. Cas particulier de la loi normale
On suppose dans ce paragraphe queXsuit la loi normaleN(m;2). On sait queX n=1n n X k=1X ksuit alors la loi normaleN(m;2=n), ce qui confime que c"est un estimateur sans biais, convergent dem.Les résultats obtenus au paragraphe précédent pour l"estimation de2sont encore valables; en particulier
on a :E(S2n) =2et Var(S2n) =2(n1)n
24En effet, calculonsk
k=E((Xm)k) =1p2Z +1 1 (xm)kexp (xm)22 dx 1p2Z +1 1 (p2u)kexp(u2)p2duen posantx=mp2u = 0sikest impair.Lorsquek= 2pest pair on obtient
2p=2p2pp
Z +1 1 u2pexp(u2)du=2p+12pp Z +1 0 u2pexp(u2)du 2p2pp Z +1 0 vp1=2exp(v)dven posantu=pv 2p2pp (p+ 1=2) =(2p)!2 p(p!)2p et doncVar(S2n) =1n
442n2424+1n
3434=2(n1)n
24Jean-Jacques Ruch
4.Cas particulier de la loi normale9
Définition 13.SoientX1;:::;Xn,nvariables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de
loiN(0;1). La loi du2àndegrés de liberté est la loi de la variable aléatoire 2n=nX k=1X 2k:La densité de cette loi est donnée par :
f2n(u) =12(n=2)
u2 n=21exp u2 1 u>0 et sa fonction caractéristique par2n(t) =1(12it)n=2f
2k Pour déterminer la densité on peut remarquer que : siUsuit une loiN(0;1)alors on a pourt >0P(U2t) =P(tUt) =FU(pt)FU(pt)
et par conséquent fU2(t) =12
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