[PDF] Probabilités discr`etes: DS 1.

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CPP - la pr

´epa des INP (1`eme ann´ee). Bordeaux, 18/02/2014.

Probabilit

´es discr`etes: DS 1.

dur ´ee 1h - la calculatrice Casio coll`ege est autoris´ee. EXERCICE1.On lance 6 d´es´equilibr´es (`a 6 faces). 1. D ´ecrire l"univers de l"exp´erience et donner son cardinal.

On consid

`ere que les d´es sont discernables. Dans ce cas: W=fw= (w1;:::;w6);wi2 f1;:::;6g;i=1;:::;6g=f1;:::;6g6: Son cardinal est donc:jWj=66. La probabilit´ePsurWest la probabilit´e uni- forme.

2. Calculer la probabilit

´e d"obtenir au moins un 6 sur les 6 d´es.

OnnoteAl"´ev`enement: "obteniraumoinsun6parmiles6d´es". Soncompl´ementaire est l"

´ev`enement: "n"obtenir aucun 6". On a donc:

P(A) =1P(Ac) =156

6 '0;67:

3. Calculer la probabilit

´e de voir apparaˆıtre toutes les valeurs de 1 jusqu"`a 6 lors du lancer. On noteBl"´ev`enement: "obtenir les 6 valeurs diff´erentes".

P(B) =654321666666=5324

'0;015: EXERCICE2.Dans un jeu de 52 cartes, on tire au hasard 5 cartes (sans remise). 1. D ´ecrire l"univers de l"exp´erience et donner son cardinal. Il s"agit d"un tirage sans remise. Ici on a le choix de consid

´erer les tirages dis-

cernables (l"un apr `es l"autre) ou indiscernables (`a la fois). Ici je consid`ere que les tirages sont indiscernables. Dans ce cas:

W=w=fw1;:::;w5g;wi2C;i=1;:::;6 etwi6=wjsii6=j

o `uCd´esigne l"ensemble des cartes. Son cardinal est donc : jWj=52 5 =52!5!47! =52515049485!

La probabilit

´ePsurWest la probabilit´e uniforme.

1

2. Calculer la probabilit

´e que les 5 cartes soient des coeurs. On noteAl"´ev`enement: "les 5 cartes tir ´ees sont des coeurs". L"´ev`enementArevient`a choisir 5 cartes parmi les 13 coeurs, d"o `u:

P(A) =

13 5 52
5 =1312111095251504948'5;0104:

3. Calculer la probabilit

´e d"obtenir les 4 as.

On noteBl"´ev`enement: "obtenir les 4 as parmi les 5 cartes". Etre dansBrevient a avoir les 4 as fix´es et une carte restante. DoncjBj=48 et

P(B) =jBjjWj=485!5251504948'1;8105:

4. Calculer la probabilit

´e d"obtenir un full, (c"est-`a-dire obtenir 3 cartes d"une m ˆeme valeur et 2 cartes d"une mˆeme valeur). On noteCl"´ev`enement: "obtenir un full". Pour d ´ecrire un full, il faut choisir la valeurapr´esente 3 fois, la valeur bpr´esente 2 fois puis le choix des 3 cartes de la valeuraet le choix des 2 cartes de la valeurb. On a donc jCj=13124 3 4 2 =131246 et

P(C) =1312465!5251504948'1;4103:

EXERCICE3.On dispose de 3 urnes. Toutes les urnes ont 6 boules. Les composi- tions des boules dans les 3 urnes sont diff

´erentes.

L"urne 1 contient 1 boule rouge et 5 boules grises. L"urne 2 contient 2 boules rouges et

4 boules grises. L"urne 3 contient 3 boules rouges et 3 boules grises.

On r ´ealise alors l"exp´erience suivante. Dans un premier temps, on lance un d´e

´equilibr´e et`a 6 faces). Si le r´esultat du d´e vaut 1,2 ou 3, on tire une boule dans l"urne

1. Si le r

´esultat du d´e vaut 4 ou 5, on tire la boule dans l"urne 2. Si le r´esultat du d´e vaut 6, on tire la boule dans l"urne 3. Pour 1i3, on noteUil"´ev`enement:"le tirage a lieu dans l"urnei" et on noteR l"

´ev`enement: "la boule tir´ee est rouge".

1. Calculer la probabilit

´e que la boule tir´ee soit rouge.

On applique la formule des probabilit

´es totales:

P(R) =P(R\U1)+P(R\U2)+P(R\U3)

=P(RjU1)P(U1)+P(RjU2)P(U2)+P(RjU3)P(U3) 16 12 +13 13 +12 16 =518 '0;28: 2

2. Sachant que la boule tir

´ee est rouge, quelle est la probabilit´e que le r´esultat du d

´e valait 6.

On demande de calculerP(U3jR). On utilise ici la formule de Bayes:

P(U3jR) =P(U3\R)P(R)=P(RjU3)P(U3)P(R)

12 16 518
=310 =0;3:

3. Est-il possible de choisir le nombre de boules rouges et de boules grises dans

chacune des urnes de telle sorte que le fait de savoir que l"on a obtenu une boule rouge ne donne pas d"information sur l"urne dans laquelle on a effectu

´ee

le tirage? C"est- `a-dire, est-il possible d"avoir:

P(U1jR) =P(U2jR) =P(U3jR)?

Qu"en est-il lorsque le nombre de boules dans chaque urne estn(n6=6)? P(U1jR) =P(U2jR) =P(U3jR),P(U1\R)P(R)=P(U2\R)P(R)=P(U3\R)P(R) ,P(U1\R) =P(U2\R) =P(U3\R) ,P(RjU1)P(U1) =P(RjU2)P(U2) =P(RjU3)P(U3) ,P(RjU1)12 =P(RjU2)13 =P(RjU3)16 ,P(RjU2) =32

P(RjU1)

P(RjU3) =3P(RjU1):

De plus, pouri=1;2;3,P(RjUi)est de la formekin

aveckiun entier entre 0 etn(kid´esigne le nombre de boules rouges dans l"urnei). Si on aP(U1jR) = P(U2jR) =P(U3jR), on en d´eduit quek1est pair, donc que le nombre de boules rouges dans chacune des urnes v

´erifie:

k

1=2m;k2=3m;k3=6m:

Sin5, il n"y a donc pas de solutions. Sin=6, il y a au plus une solution donn ´ee park1=2;k2=3;k3=6. On v´erifie que c"est bien une solution. Si n7, il y a (au moins) toujours une solution. (Il y en a en fait exactementn6 o `u[]d´esigne la partie enti`ere). 3quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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