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Mathématiques B30

Probabilité

Module de l'élève

2002

Mathématiques B30

Probabilité

Module de l'élève

Bureau de la minorité de langue officielle

200
2 Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L'élève sera capable de:

• Démontrer l'habileté à établir et à calculer les probabilités d'événements liés

entre eux • Appliquer le théorème du binôme au développement des binômes et à des situations de la vie courante

Objectifs spécifiques

L'élève sera capable de:

A.1 Définir les principes d'inclusion et d'exclusion lorsqu'on travaille avec deux ensembles ou plus d'événements A.2 Déterminer la probabilité d'événements s'excluant mutuellement A.3 Déterminer la probabilité de deux événements indépendants ou plus A.4 Déterminer la probabilité d'événements dépendants (probabilités conditionnelles) A.5 Organiser, analyser, estimer et résoudre des problèmes basés sur les objectifs 1 à 4 A.6 Déterminer les coefficients de termes dans un développement binomial à l'aide du théorème du binôme (recourir au triangle de Pascal ou aux combinaisons pour présenter ce sujet) A.7 Développer des expressions de la forme (a + b) n , à l'aide du théorème du binôme A.8 Résoudre des problèmes associés aux objectifs 6 et 7

Remerciements

Ce module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avec permission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public

School Division, 1999).

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 1

Introduction

Dans cette unité, nous allons aborder les notions associées aux probabilités. En mathématiques, nous sommes souvent justifiés de traiter les notions de probabilités et de statistiques ensemble. Par exemple, si on répète un certain nombre de fois une expérience scientifique, on obtient habituellement des résultats qui se regroupent autour d'une tendance. Il est évident qu'une expérience ne peut reproduire avec exactitude un résultat essai après essai. Toutefois, nous pouvons prédire avec une certaine confiance la probabilité de retrouver un résultat donné. Ainsi, si nous répétions une expérience visant à mesurer la température d'ébullition de l'eau, nous obtiendrions probablement une série de résultats dont la moyenne fluctuerait autour de 100 LC.

Avant d'entreprendre l'étude

approfondie des probabilités, il convient de définir la terminologie essentielle à la compréhension de ce sujet.

1. Définitions fondamentales

1.1 Épreuve ou expérience aléatoire

Un processus faisant intervenir le hasard et susceptible de donner un ou plusieurs résultats est connu sous le terme d'épreuve ou expérience aléatoire. On peut parfois en prévoir l'issue ou si vous voulez, l'ensemble de tous les résultats possibles. Par exemple, si vous tirez une carte d'un jeu de 52 cartes, vous effectuez une

épreuve aléatoire.

1.2 Espace échantillonnal (S)

L'ensemble de tous les résultats possibles (résultats élémentaires) qui peuvent se produire lors d'une épreuve aléatoire. Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie parfaitement équilibrée dans les airs, vous avez deux résultats possibles: pile ou face. Dans ce cas, l'espace échantillonnal est le suivant: S = {pile, face}As-tu déjà estimé la probabilité de gagner le gros lot de la 6-49? P. 2 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

1.3 Cardinal d'un ensemble ( )EFnA

Le nombre d'éléments distincts contenus dans un ensemble est appelé le cardinal de cet ensemble. Par exemple, si un espace échantillonnal S possède cinq éléments, on pourrait écrire que .

EFnSZ5

1.4 Événement (E)

Partie de l'ensemble des résultats (donc un sous-ensemble de S) possible. Il peut contenir un ou plusieurs résultats élémentaires. Dans l'exemple portant sur la pièce de monnaie, nous aurions pu décider que l'événement E était d'obtenir face. Exemple 1: Supposons qu'on vous demande d'observer quel pied est placé sur la première marche lorsque plusieurs personnes montent un escalier. On sait qu'il y a deux événements possibles; le pied gauche ou le pied droit. On peut représenter ces deux

événements de la façon suivante:

E 1 : pied gauche E 2 : pied droit

L'espace échantillonnal est: S = {E

1 , E 2 } = {pied gauche, pied droit}

2. Définition classique de la probabilité

Revenons à l'exemple précédent. Comment peut-on obtenir la probabilité que ce soit le pied gauche qui se dépose sur la première marche de l'escalier? On pourrait réaliser un très grand nombre d'observations et compter le nombre de fois que cet événement se réalise. On pourrait aussi déterminer cette probabilité en fonction d'une démarche plus " théorique ». La notion de probabilité est le résultat d'un raisonnement dans lequel on évalue le nombre de fois qu'un événement se réalise. Dans notre vie quotidienne, nous utilisons la notion de probabilité lorsque nous jouons à la loterie ou lorsque nous faisons des prévisions météorologiques. Le hasard est un élément étroitement

associé à la définition de la probabilité. En effet, lorsque nous jouons à la loterie,

nous acceptons que les probabilités que nous gagnions dépendent du hasard. Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 3

EFEF1ZHEPEP

La probabilité qu'un événement E se produise est définie par le rapport entre le nombre de cas favorables ( ) à cet événement et le nombre total de cas EFnE possibles ( ):EFnS EF PEnE nSZ Exemple 2: Lorsque vous lancez une pièce de monnaie (parfaitement équilibrée) dans les airs, il existe deux événements possibles lorsqu'elle retombe sur une table. Elle peut tomber du côté pile ou du côté face. est donc égal à 2. Si vous voulez connaître la EFnS probabilité qu'elle tombe du côté pile, vous devez établir le nombre d'événements favorables . Ce dernier est égal à 1. La EFnE probabilité P(E) que la pièce de monnaie tombe pile est: EF PEnE nSZZZ 1 205,

Observons que:

1. la probabilité d'un événement impossible est nulle;

2. la probabilité d'un événement certain est égale à 1;

3. entre ces deux extrêmes se situe toute une série d'événements probables: la

probabilité qu'un événement se réalise se situe donc entre 0 et 1, c'est-à-dire 0 @P(E)@1;

4. la probabilité qu'un événement E ne se réalise pas est donnée par:

où est nommé événement complémentaire de E. Par

EFEFEPEPJZ1E

exemple, en lançant un dé, la probabilité d'obtenir un 2 est donnée par alors que la probabilité d'obtenir autre chose qu'un 2 est EF PEnE nSZZ 1 6 .EF EF

PEnS nE

nSZJZ 5 6

La dernière remarque est

importante et est souvent résumée en mathématiques par l'équation ci-contre. P. 4 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité Exemple 3: Soit une épreuve aléatoire qui consiste à choisir au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir: a) une carte de couleur noire? b) un valet? c) une carte autre qu'un valet? Solution: a) L'espace échantillonnal contient les 52 éléments du jeu de cartes:

EFnSZ52

La moitié des cartes sont noires de sorte que EFnEZ26 La probabilité de choisir une carte noire est donc donnée par EF PEnE nSZZZZ 26
521
205,
b) Il y a 4 valets dans un jeu ordinaire de 52 cartes. La probabilité de choisir un valet se calcule de la manière suivante: EF PEnE nSZZZZ 4 521

130 0769,

c) L'expression qui permet de calculer est:EFEP EF

EFPE PEZJ ZJ Z Z111

1312

130 9231,

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 5 Certains problèmes peuvent exiger une représentation visuelle de l'espace échantillonnal et de l'événement désiré. L'exemple suivant démontre comment un simple tableau peut aider à comprendre ce qui peut se produire lorsqu'on lance deux dés. Exemple 4: Quelle est la probabilité que la somme de deux dés lancés en même temps soit 6? Solution: On peut représenter visuellement la solution à ce problème en utilisant un tableau.

Dé 2

Dé 1

123456

1

234567

2

345678

3

456789

4

5678910

56

7891011

6

789101112

Le tableau montre qu'il existe 36 possibilités: . Seules 5

EFnSZ36

de ces possibilités correspondent à l'événement désiré, soit que la somme des deux dés donne 6: . On peut calculer la

EFnEZ5

probabilité de cet événement: .EFE PEnE nSZZ 5 36
P. 6 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

À toi de jouer! (1)

Bernard Siskin et Jerome Straller ont publié le livre What are the chances (New York: Crown Publishers, Inc. 1989) dans lequel ils discutent des possibilités que certains événements se produisent dans la vie d'une personne. Le tableau suivant illustre quelques événements dans la colonne de gauche. Peux-tu associer chaque événement avec une des probabilités de la colonne de droite?

Événement: Probabilité que

l'événement se produise a) mourir en service commandé pour un policier ou une policière. b) qu'un couple ait trois enfants ou plus. c) que l'avion dans lequel vous vous trouvez s'écrase et qu'il y ait une victime. d) qu'une personne soit frappée par la foudre. e) que vous soyez vivant l'année prochaine. f) que vous soyez admis dans un hôpital pour soins psychiatriques. g) que vous soyez une personne qui se ronge les ongles. h) que vous devrez voyager 1 à 2 heures par jour pour rendre au travail et revenir. i) que vous serez insatisfait de votre emploi même si vous gagnez plus de

50000$ par année.

j) que vous allez vous marier lorsque vous aurez 18 ans et plus.(i) 0,00000016 (ii) 0,0000017 (iii) 0,00038 (iv) 0,0055 (v) 0,11 (vi) 0,15 (vii) 0,17 (viii) 0,29 (ix) 0,64 (x) 0,998

Notion de chances

Dans la vie quotidienne, on confond souvent les termes probabilités et chances qu'un événement se produise. En mathématiques, les définitions des deux termes sont distinctes. EF EF chancesprobabilité que l événement E se produise probabilité que l événement E ne se produise pasPE PEZZ Exemple 5: Quelles sont les chances qu'un as soit tiré d'un jeu de cartes ordinaire (52 cartes)? Solution: On peut calculer les chances qu'un as soit tiré du jeu de cartes à partir de l'expression où = la probabilité que l'as soit EF

EFEPEP

EFEP tiré et celle que la carte tirée ne soit pas un as.EFEP La probabilité qu'un as soit tiré est de 1/13, alors que la probabilité qu'une carte autre qu'un as soit tirée est de 12/13. Ainsi, Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 7 121
13 12131
)(ZZEChances On peut donc dire que les chances sont 1 contre 12 d'obtenir un as lorsqu'un pige une carte du jeu de 52 cartes.

À toi de jouer! (2)

Si les chances qu'un événement ait lieu sont de 2 contre 5, quelle est la probabilité que : a) l'événement ait lieu? b) que l'événement n'ait pas lieu?

3. Définition fréquentiste ou expérimentale de la probabilité

Le décompte des conditions favorables et des cas possibles n'est pas toujours facile à effectuer. Parfois, il faut se fier aux résultats d'une expérience pour obtenir la probabilité d'un événement. Si on veut déterminer expérimentalement la probabilité qu'un événement se produise, il est souhaitable de répéter l'expérience le plus souvent possible pour obtenir une meilleure approximation de . EFEP P. 8 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilitéquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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