Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forcément simples eux. Il existe plusieurs mani`eres de modéliser l'ensemble fonda- mental. Le choix du mod`ele est
Cardinalité des ensembles finis
Il existe application injective de F sur E mais pas d'application surjective. En fait
Cardinal du cône nilpotent
2 Calcul du cardinal du cône nilpotent sur 1q. 1. Énoncer le théorème et la proposition que nous admettons. 2. Premier calcul via la première composante :
Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini
Il suffit donc de calculer le cardinal de GLn(Fq). 2) Si M ∈ Mn(Fq) notons M1
Cours de probabilités et statistiques
Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles k(1 − p)k−1 = p/p2 = 1/p. Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice).
Partiel alg`ebre.
Soit P un 7-Sylow et N = NG(P). Calculer le cardinal de N. Prouver que P op`ere transitivement par conjugaison sur S − {P}. (I2) Montrer
Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1
cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici. Definition 1. On dit que deux ensembles E et F ont le même cardinal s'il existe ...
Chapitre VII - Courbes elliptiques
2) On essaye de calculer le cardinal de E(Z/NZ). 〈〈 comme si N était P = O. D'apr`es l'algorithme de pseudo-addition dans VnE
Le nombre et le calcul
L'estimation permet de produire rapidement des résultats approchés des approximations. • Le comptage : c'est obtenir le cardinal exact d'une collection. L'
Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le ments tels que B. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forcément simples eux.
Quelques notions mathématiques de base
22 janv. 2017 ... les cardinaux : on pose A={tirages avec remise de 2 produits contenant au moins un produit défectueux}. On cherche à calculer Card(A).
Mathématiques pour la finance
Le calcul des probabilités o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre ... Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des.
1) CARDINAL dun ensemble fini. ( effectif ) 2) PARTIES dun
Un ensemble ? contenant n éléments où n ? IN est dit « fini ». On dit alors que « le cardinal de ? est n » on note card(?) = n ou encore ? = n
Cardinalité des ensembles finis
Il existe application injective de F sur E mais pas d'application surjective. En fait
Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini
Il suffit donc de calculer le cardinal de GLn(Fq). 2) Si M ? Mn(Fq) notons M1
Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1
aspect est la structure cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici. Definition 1. On dit que deux ensembles E et F ont le même
Soit E un ensemble fini à n éléments. Calculer ? Card(X) Déjà il
Calculer. ?. X?E. Card(X). Déjà il faut bien comprendre que l'on somme sur tous les sous-ensembles de cardinal
COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
Le nombre d'éléments de est appelé le cardinal de l'ensemble et il est noté : ( ) ou
§3. Stabilisateur quotient et orbite* 9 3.5. Proposition. Soit G un
l'orbite et calculer le cardinal de son stabilisateur. Il est naturel de choisir un élément « aussi simple que possible » dans notre cas la matrice Im
[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux
Cardinaux Définition 8 Soit A un ensemble fini Le cardinal de A noté A est le nombre d'éléments que contient A (exemple) Proposition 9 Additivité
[PDF] Les cardinaux
Tout ensemble infini est en bijection avec un unique cardinal défini comme un ordinal nant HCG on calcule explicitement ?? pour tous ??
[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse
Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux Proposition Soient E et F deux ensembles finis On a : Il existe une application injective de E dans
[PDF] Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux
Le second aspect est la structure cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici Definition 1 On dit que deux ensembles E et F ont
[PDF] ? 1) CARDINAL dun ensemble fini ( effectif ) ?2) PARTIES dun
Un ensemble ? contenant n éléments où n ? IN est dit « fini » On dit alors que « le cardinal de ? est n » on note card(?) = n ou encore ? = n
[PDF] Dénombrement
Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons
[PDF] 2 - Le calcul des probabilités - Renaud Bourles - Centrale Marseille
Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des probl`emes plus compliqués (loto foot tiercé jeux de carte)? Renaud Bourl`es - École Centrale
[PDF] Analyse combinatoire
6 mar 2008 · Calculer la probabilité que le 6 apparaisse au moins une fois Quelle valeur donner `a n pour que cette probabilité atteigne 1/2 ?
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Dénombrer c'est compter le nombre d'éléments que contient un ensemble fini c'est à dire en déterminer le cardinal Exemples : ? L'ensemble des joueurs d'
[PDF] Le Dénombrement — - Pascal Delahaye
21 jui 2018 · L'objectif de ce chapitre est de présenter les concepts et résultats fondamentaux permettant de calculer le cardinal
Quel est le cardinal de N ?
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.Comment calculer le produit cartésien ?
Le produit cartésien est aussi défini par : A ? B = {(x, y) x ? A ? y ? B}. Le produit cartésien A ? A est généralement noté A2 et est appelé le carré cartésien de A.Calcul du cardinal
1Si n = 0 alors E = ? donc E × F = ? donc la propriété est vérifiée.2Sinon, il existe une liste bijective ( x1 , … , x n ) sur E et on note pour tout i ? ?1 ; n ?, A i = { x i } × F .
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Chapitre 2
Le calcul des probabilitesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Equiprobabiliteet Distribution UniformeDeux evenementsAetBsont ditsequiprobablessiP(A) =P(B)Si il y a equiprobabilite sur
, cad si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. On parlera alors de distribution de probabilite uniformeDenitionOn appelledistribution uniformesur
la fonction de distribution qui assigne la m^eme valeur a tous les evenements elementaires. Si =f!1;!2;:::;!ng, la distribution de probabilite uniforme s'ecritp(!) =1n ,8!2Remarque :On a bien alorsX
!2 p(!) =n:1n = 1Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilitede LaplaceSi la distribution de probabilites sur est uniforme, la probabilite d'un evenementEest deni parP(E) =card(E)card(
ou card(E) represente le cardinal deEc'est a dire le nombre d'evenements elementaires contenus dansERemarque :On a bienP(
) = 1P(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=; (car alors card(A\B)=0)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisExemple
On lance deux des et on fait la somme des resultats. Soit E="le total est 7". Quelle est la probabilite deE?Si on choisit comme evt elementaires la somme : =f2;3;:::;12g, la distribution n'est pas uniforme(une seule maniere d'obtenir 2, plusieurs d'obtenir 7)Prenons comme univers les couples de resultats :
=f(i;j);1i6;1j6gAlors la distrib est uniforme et card(
) = 62= 36 (arbre)
E=f(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)g
)card(E) = 6 etP(E) =636 =16 Probleme : Comment calculer les cardinaux dans des problemes plus compliques (loto foot, tierce, jeux de carte)? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisDenombrementsOn considere une experience
a plusieurs etapes telle que le nb d'issuesma l'etapenne depend pas duresultat des etapes precedentesle nb d'issuesmpeut dierer selon les etapeson cherche le nb de manieres dont l'exp peut se derouler
Soit une t^ache qui se deroule enretapes. Siil y an1facons de realiser la premiere etape,pour chaque des cesn1facons, on an2possibilites... et ainsi de suite jusqu'anr
Alorsle nombre total de facons dont cette tache peut sederouler est donne par le produitN=n1:n2:n3:::nrRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisListes
Denition
SoitEun ensemble denelements. Unep-liste deEest une collectionordonneedepelements deE:x1;x2;:::;xp;xi2E8iRemarques
on tient compte de l'ordre un m^eme element peut revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage avec remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, avec remise apres chaque tirage. Le resultat est une 3-liste def1;2;:::;10gAutres exemples :une grille de loto-foot est une 16-liste def1;N;2gun code PIN a 4 chires est une 4-liste def1;2;:::;9gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisTheoreme 2.1
Il existenpp-listes de E (oun= card(E))(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecn1=n2=:::=np)Exemplesil y a 10
3= 10:000 tirages (de 10 boules avec remise)
possibles (cf. arbre)il y a 316= 43:046:721 grilles de loto foot possiblesil y a 9
4= 6:561 codes PIN a 4 chires possiblesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisArrangements
Denition
SoitEun ensemble denelements. Unp-arrangement deE
est une collectionordonneedepelementsdistinctsdeE (pn):x1;x2;:::;xp;xi2E xi6=xjsii6=jRemarques on tient compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage sans remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, sans remettre les boules tirees. Le resultat est une 3-arrangement de f1;2;:::;10g Autres exemples :Le tierce gagnant dans une course a 18chevaux est un 3-arrangement def1;2;:::;18gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisTheoreme 2.2
Il existeApn=n!(np)!p-arrangements de E(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecni+1=ni1 )ni=ni+ 1)Denition Soitkun entier positif. La factorielle dek(ou factoriellek), notek! est deni park!k(k1)(k2):::1 =kY i=1i.Par convention 0! = 1Exemples :1! = 1 ; 2! = 2x1 = 2 ; 3! = 3x2x1 = 6
Propriete :p:(p1)! =p!Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisAinsi,
Apn=n!(np)!=n(n1):::(np+1)(np)!(np)!=n(n1):::(np+ 1)Cas particulier:sip=n(classement complet dans l'ordre),
A pn=n! et on parle depermutationdeE(une permutation est donc unn-arrangement) ExemplesIl y aA310= 10x9x8 = 720 tirages (de 10 boules sans remise) possibles (cf. arbre)Il y aA318= 18x17x16 = 4896 tierces dans l'ordre possibles Application :Si equiprobabiliteproba de toucher le tierce dans l'ordre= 14896= 0;02%proba de toucher le tierce dans le desordre= 54896
= 0;10% ((acb);(bac);(bca);(cab);(cba)) Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris
Combinaisons
Denition
SoitEun ensemble denelements. Unep-combinaison est une collectionnon ordonneedepelementsdistinctsdeE (pn)Remarques on ne tient pas compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage du loto. C'est une 6-combinaison de f1;2;:::;49g Autres exemples :Un tierce, dans le desordre, d'une course a 18 chevaux est une 3-combinaison def1;2;:::;18gune "main"au poker (tirage de 5 cartes) est une5-combinaison de l'ensemble des 32 cartes
Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisTheoreme 2.3
Il existeCpn=n!(np)!p!p-combinaisons de ERemarque
C pnest aussi appele "coecient binomial"et est parfois note n pC pn=Apnp!="arrangements de p elements""permutation des p elements" (Cnn= 1)Exemples:il y aC649=49!43!6!
= 13:983:816 tirages possibles du lotoil y aC318=18!15!3! =18x17x163x2x1= 816 tierces possibles dans le desordreil y aC532= 201:376 mains possibles dans un jeu de 32 cartes Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisProprietes des combinaisonsPropriete 1 (symetrie)
C pn=CnpnInterpretation C pn=nb de facons d'extrairepelmts d'un ens denelmtsC npn=nb de facons de laisserpelmts dans ens denelmtsPropriete 2 (Triangle de Pascal) C p1 n1+Cp n1=CpnExemple C649tirages possibles du LotoC
648tirages possibles ne contenant pas la boule 1C
548tirages possibles contenant la boule 1
)necessairementC548+C648=C649Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisEnsemble des parties:P(E)Denition
SoitEun ensemble denelements. L'ensemble des parties deE est alors deni parP(E) =fA=AEgExemples
E=;, cardE= 0,P(E) =f;g, cardP(E) = 1E=fag, cardE= 1,P(E) =f;;fagg, cardP(E) = 2E=fa;bg, cardE= 2,P(E) =f;;fag;fbg;fa;bgg,
cardP(E) = 4 = 22Theoreme 2.4 cardP(E) = 2n= 2cardE"Demonstration"P(E) =C0n+C1n+C2n+:::+Cnn+ Bin^ome de Newton: (a+b)n=Conanb0+:::+Cknankbk+:::+Cnna0bnRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Permutations d'objets partiellement indiscernablesSoitnobjets que l'on decompose enpgroupes:
n=n1+n2+:::+np. A l'interieur de chaque groupes les objets sont indiscernables.Le nombre de permutations de ces objets est
n!n1!n2!:::np!
ExemplesDe combien de facon peut-on aligner 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues?10!5!3!2!
= 2520Combien de "mots"de 6 lettres peut-on former avec les lettre S, R, R, E, E, E?6!3!2!1!
= 60Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilites Subjectives : Les ParisProbl^eme :Les distributions de probabilites ne sont pas toujours uniformes et on ne peut pas toujours denir des probabilites objectives! ExemplesProbabilite que le TeFeCe batte l'OM ou qu'un actif soit en hausse. On peut toutefois conna^tre les probabilites subjectives que chaque individu attache a ces evenements a l'aide des paris! Si je suis pr^et a payer 2 euros si Toulouse gagne pour recevoir1 euro quand Marseille gagne, cela signie que je pense que la
probabilite que Marseille gagne est 2=3Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisPlus generalement,
paris arcontre 1 que l'evenementEse realise. ,Earfois + de chance de survenir que de ne pas survenir, cadP(E) =rP(E))P(E) =rr+1(carP(E) +P(E) = 1)Cas general d'une c^ote arcontres:P(E) =r=sr=s+1=rr+sSi on connait la probaP(E) =p, on ar=s=p1pRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] formule cardinal probabilité
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