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Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles k(1 − p)k−1 = p/p2 = 1/p. Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice).
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Soit P un 7-Sylow et N = NG(P). Calculer le cardinal de N. Prouver que P op`ere transitivement par conjugaison sur S − {P}. (I2) Montrer
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Chapitre VII - Courbes elliptiques
2) On essaye de calculer le cardinal de E(Z/NZ). 〈〈 comme si N était P = O. D'apr`es l'algorithme de pseudo-addition dans VnE
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L'estimation permet de produire rapidement des résultats approchés des approximations. • Le comptage : c'est obtenir le cardinal exact d'une collection. L'
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Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le ments tels que B. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forcément simples eux.
Quelques notions mathématiques de base
22 janv. 2017 ... les cardinaux : on pose A={tirages avec remise de 2 produits contenant au moins un produit défectueux}. On cherche à calculer Card(A).
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Le calcul des probabilités o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre ... Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des.
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Un ensemble ? contenant n éléments où n ? IN est dit « fini ». On dit alors que « le cardinal de ? est n » on note card(?) = n ou encore ? = n
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Calculer. ?. X?E. Card(X). Déjà il faut bien comprendre que l'on somme sur tous les sous-ensembles de cardinal
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21 jui 2018 · L'objectif de ce chapitre est de présenter les concepts et résultats fondamentaux permettant de calculer le cardinal
Quel est le cardinal de N ?
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.Comment calculer le produit cartésien ?
Le produit cartésien est aussi défini par : A ? B = {(x, y) x ? A ? y ? B}. Le produit cartésien A ? A est généralement noté A2 et est appelé le carré cartésien de A.Calcul du cardinal
1Si n = 0 alors E = ? donc E × F = ? donc la propriété est vérifiée.2Sinon, il existe une liste bijective ( x1 , … , x n ) sur E et on note pour tout i ? ?1 ; n ?, A i = { x i } × F .
Université de Caen
Quelques notions math
´ematiques de baseChristophe Chesneau
http://www.math.unicaen.fr/ ~chesneau/Caen, le 21 Janvier 2017Table des matières
Table des matières
1 Notions sur les ensembles 5
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.3 Introduction au dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141.4 Application - fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202 Calcul de sommes et de produits 29
2.1 Fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292.2 Formules de sommes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322.3 Formules de sommes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342.4 Somme d"une famille de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
362.5 Somme double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383 Calcul intégral39
3.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.2 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.3 Intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423.4 Compléments sur l"intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463.5 Intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
483.6 Convergence des intégrales de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51Index53
Note L"objectif de ce document est de présenter de manière concise quelques notions mathéma- tiques fondamentales (utilisées souvent en probabilités entre autre).Contact :christophe.chesneau@gmail.com
Bonne lecture!C. Chesneau3
1 Notions sur les ensembles
1 Notions sur les ensembles
1.1 Définitions
Ensemble
Un ensemble est une collection d"objets appelés éléments. Les ensembles sont représentés en
lettres majuscules (A,B...) et les éléments, en lettres minuscules (x,y...). Il peut se représenter sous la forme accolade :A={...}, par : extension : liste de ses éléments séparés des ",",compréhension : brève description ou propriété caractéristique de ses éléments.La notationfx;:::gsignifie "ensemble des valeursxtelles que ...".
BLes éléments deA=f1;2gsont1et2.
BOn aA=fx;x2= 1g=f1;1g.
BOn peut écrireA={numéros affichables par un dé}=f1;2;3;4;5;6g.Appartenance
SoitAun ensemble. L"appartenance d"un élémentxàAs"écritx2A(prononcer "xappar- tient àA"). La non appartenance d"un élémentxàAs"écritx62A(prononcer "xn"appartient pas àA").Quandx2A, on dit aussi que "xest élément deA", "xest dansA" ou "Apossèdex".BSoitA=f1;2;3g. On a12Aet462A.
Égalité de deux ensembles
SoientAetBdeux ensembles. L"égalité deAetBse noteA=B(prononcer "AégalB"). Elle est caractérisée par l"équivalence :A=Bsi, et seulement si, pour toutx2A, on a x2Bet, pour toutx2B, on ax2A. La non égalité deAetBse noteA6=B(prononcer"Adifférent deB").Autrement dit, deux ensembles sont égaux si, et seulement si, ils ont exactement les mêmes éléments.
C. Chesneau5
1 Notions sur les ensembles
BSoientA=f1;2getB=f1;2;1;1;1;1;2g. On aA=B.
Inclusion
SoientAetBdeux ensembles. L"inclusion stricte deAetBse noteAB(prononcer "A inclus strictement dansB"). Elle est caractérisée par l"équivalence :ABsi, et seulement si, pour toutx2A, on ax2B, et il existe uny2Btel quey62A. La non inclusion stricte deAetBse noteA6B(prononcer "Anon inclus strictement dans B").L"inclusion stricte deAetBse note parfois "A(B".SiAetBsont deux ensembles tels queAB, alorsAest appelé partie deB.Une partie deAest parfois appelée "sous-ensemble deA".
L"inclusion (non stricte) deAetBse noteAB(prononcer "Ainclus dansB"). Elle est caractérisée par l"équivalence :ABsi, et seulement si, pour toutx2A, on ax2B, ouA=B.Autrement dit, on aAinclus dansBsi, et seulement si, tout élément deAest aussi élément deB.
SiABetBA, alors on aA=B.
Ensemble vide
L"ensemble vide est l"ensemble ne contenant aucun élément. Il est noté?.Pour tout ensembleAnon vide, on a toujours l"inclusion?A.
BOn aA=fx;x <0etx >0g=?.
Singleton
Un ensemble à un seul élément est appelé singleton.Ensemble des entiersL"ensemble des entiers est l"ensemble contenant les entiers0,1,2.... Il est notéN.On poseN=fentiers non nulsg.
Ensemble des entiers relatifs
L"ensemble des entiers relatifs est l"ensemble contenant les entiers0,1,2...ainsi que1,2.... Il est notéZ.C. Chesneau6
1 Notions sur les ensembles
Les entiers0,1,2...sont parfois appelés entiers relatifs positifs, et les valeurs1,2...sont appelées entiers relatifs négatifs.On poseZ=fentiers relatifs non nulsg.
Ensemble des réels
L"ensemble des nombres réels est l"ensemble contenant tous les nombres positifs, négatifs ou nuls, ayant une représentation décimale finie ou infinie. Il est notéR.On a?NZR. BOn a12;5;45
;11000 R.Intervalles
Soienta2Retb2Rtel quea < b. On appelle intervalle tous les ensembles suivants : [a;b] =fx2R;axbg. ]a;b[ =fx2R;a < x < bg. [a;b[ =fx2R;ax < bg. ]a;b] =fx2R;a < xbg. [a;1[ =fx2R;axg. ]a;1[ =fx2R;a < xg. ] 1;a] =fx2R;xag. ] 1;a[ =fx2R;x < ag.Les réelsaetbsont appelées extrémités de l"intervalle[a;b].BOn a[1;2]R+.
BOn a]1;2[[1;2].
BOn a[1;1[6[0;8].
On pose
R={nombres réels on nuls}.
R+={nombres réels positifs}= [0;1[.
R={nombres réels négatifs}=] 1;0].
R+={nombres réels positifs non nuls}=]0;1[.
R={nombres réels négatifs non nuls}=] 1;0[.C. Chesneau71 Notions sur les ensembles
1.2 Opérations sur les ensembles
Réunion
SoientAetBdeux ensembles. On appelle réunion deAetBl"ensemble des éléments quiappartiennent àAouB. Il est notéA[B(prononcer "AunionB").L"ensembleA[Best caractérisée par l"équivalence :x2A[Bsi, et seulement si,x2Aoux2B.
Le mot "ou" n"est pas exclusif;xpeut appartenir à la fois àAetB. Pour toutAB, on aA[B=B. En particulier, on aA[?=A. La partie colorée du diagramme suivant, appelé diagramme de Venn, représenteA[B:ABRéunion : généralisation
Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles. La réunion des(Ak)k2f1;:::;ngest l"ensemble des éléments qui appartiennent àA1, ouA2, ..., ouAn. Il se noteSn k=1Ak.L"ensemble Sn k=1Ak, est caractérisé par l"équivalence :x2Sn k=1Aksi, et seulement si, il existe au moins unk2 f1;:::;ngtel quex2Ak. Autrement écrit, n k=1A k=A1[A2[:::[An:BSoientA=f1;2g,B=f2;3;4;5getC=f1;2;6g. On a
A[B[C=f1;2g [ f2;3;4;5g [ f1;2;6g=f1;2;3;4;5;6g.
BSoientA= [1;2[,B= [2;5[etC= [3;6[. On aA[B[C= [1;2[[[2;5[[[3;6[= [1;6[.C. Chesneau81 Notions sur les ensembles
Intersection
SoientAetBdeux ensembles. L"intersection deAetBest l"ensemble des éléments communsàAet àB. Il est notéA\B(prononcer "AinterB").L"ensembleA\Best caractérisé par l"équivalence :x2A\Bsi, et seulement si,x2Aetx2B.
Pour toutAB, on aA\B=A. En particulier, on aA\?=?. BSoientA=f1;2getB= [2;3[. On aA\B=f1;2g \[2;3[=f2g. La partie colorée du diagramme suivant représenteA\B:ABEnsembles disjoints
Deux ensemblesAetBsont dit disjoints si, et seulement si, on aA\B=?.BSoientA=f1;2getB=f3g. On aA\B=f1;2g \ f3g=?. Par conséquent,AetBsont
disjoints.Intersection : généralisation
Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles. La réunion des(Ak)k2f1;:::;ngest l"ensemble des éléments communs àA1, etA2, ..., etAn. Il se noteTn k=1Ak.L"ensemble Tn k=1Akest caractérisé par l"équivalence :x2Tn k=1Aksi, et seulement si, pour tout k2 f1;:::;ng, on ax2Ak. Autrement écrit, n k=1A k=A1\A2\:::\An: BSoientA=f1;2g,B=f2;3;4;5getC= [2;3[. On aA\B\C=f1;2g\f2;3;4;5g\[2;3[=f2g. BSoientA=fnombres impairsg,B=fnombres multiples de3getC= [1;20]. On aA\B\C=f3;9;15g.C. Chesneau9
1 Notions sur les ensembles
Ensembles disjoints deux à deux
Les ensembles(Ak)k2f1;:::;ngsont dit disjoints deux à deux si, et seulement si, pour tout k2 f1;:::;nget toutl2 f1;:::;ngtel quek6=l, on aAk\Al=?.Règles de calculSoientA,BetCtrois ensembles. On a
(A[B)\C= (A\C)[(B\C). (A\B)[C= (A[C)\(B[C). La partie colorée du diagramme suivant représente à la fois(A[B)\Cet(A\C)[(B\C), illustrant ainsi l"égalité du premier point :A BCRègles de calcul : généralisation
Soientn2N,(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles etBun ensemble. On a (Sn k=1Ak)\B=Sn k=1(Ak\B). (Tn k=1Ak)[B=Tn k=1(Ak[B).Ensemble des parties
SoitEun ensemble. L"ensemble des parties deEest notéP(E)(prononcer "P deE"). Il est défini par P(E) =fA;AEg:L"ensemble des parties deEest parfois notéP(E)ouP(E). BOn aP(f1;2;3g) =f?;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f1;3g;f2;3g;f1;2;3gg.C. Chesneau101 Notions sur les ensembles
Partition
SoitEun ensemble. Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille de parties non vides deE. On dit que(Ak)k2f1;:::;ngforme une partition deEsi, et seulement si, pour toutk2 f1;:::;nget toutl2 f1;:::;ngtel quek6=l, on aAk\Al=?. on aSn k=1Ak=E.BSoientA=f1;2g,B=f3;4;5getC=f6;7g. CommeA\B=?,A\C=?etB\C=?, avecA[B[C=f1;2g[f3;4;5g[f6;7g=f1;2;3;4;5;6;7g, la famille(A;B;C)forme une partition deE=f1;2;3;4;5;6;7g. BSoientA=f1;2getB=f2;3g. La famille(A;B)ne forme pas une partition deE=f1;2;3g carA\B=f2g 6=?. Un exemple graphique de partition est donné ci-dessous :A 1A 4A 2A 3Equotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] formule cardinal probabilité
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