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Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forcément simples eux. Il existe plusieurs mani`eres de modéliser l'ensemble fonda- mental. Le choix du mod`ele est
Cardinalité des ensembles finis
Il existe application injective de F sur E mais pas d'application surjective. En fait
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Cardinal du cône nilpotent
2 Calcul du cardinal du cône nilpotent sur 1q. 1. Énoncer le théorème et la proposition que nous admettons. 2. Premier calcul via la première composante :
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Il suffit donc de calculer le cardinal de GLn(Fq). 2) Si M ∈ Mn(Fq) notons M1
Cours de probabilités et statistiques
Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles k(1 − p)k−1 = p/p2 = 1/p. Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice).
Partiel alg`ebre.
Soit P un 7-Sylow et N = NG(P). Calculer le cardinal de N. Prouver que P op`ere transitivement par conjugaison sur S − {P}. (I2) Montrer
Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1
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Chapitre VII - Courbes elliptiques
2) On essaye de calculer le cardinal de E(Z/NZ). 〈〈 comme si N était P = O. D'apr`es l'algorithme de pseudo-addition dans VnE
Le nombre et le calcul
L'estimation permet de produire rapidement des résultats approchés des approximations. • Le comptage : c'est obtenir le cardinal exact d'une collection. L'
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Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le ments tels que B. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forcément simples eux.
Quelques notions mathématiques de base
22 janv. 2017 ... les cardinaux : on pose A={tirages avec remise de 2 produits contenant au moins un produit défectueux}. On cherche à calculer Card(A).
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Le calcul des probabilités o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre ... Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des.
1) CARDINAL dun ensemble fini. ( effectif ) 2) PARTIES dun
Un ensemble ? contenant n éléments où n ? IN est dit « fini ». On dit alors que « le cardinal de ? est n » on note card(?) = n ou encore ? = n
Cardinalité des ensembles finis
Il existe application injective de F sur E mais pas d'application surjective. En fait
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Il suffit donc de calculer le cardinal de GLn(Fq). 2) Si M ? Mn(Fq) notons M1
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aspect est la structure cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici. Definition 1. On dit que deux ensembles E et F ont le même
Soit E un ensemble fini à n éléments. Calculer ? Card(X) Déjà il
Calculer. ?. X?E. Card(X). Déjà il faut bien comprendre que l'on somme sur tous les sous-ensembles de cardinal
COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
Le nombre d'éléments de est appelé le cardinal de l'ensemble et il est noté : ( ) ou
§3. Stabilisateur quotient et orbite* 9 3.5. Proposition. Soit G un
l'orbite et calculer le cardinal de son stabilisateur. Il est naturel de choisir un élément « aussi simple que possible » dans notre cas la matrice Im
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Cardinaux Définition 8 Soit A un ensemble fini Le cardinal de A noté A est le nombre d'éléments que contient A (exemple) Proposition 9 Additivité
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Tout ensemble infini est en bijection avec un unique cardinal défini comme un ordinal nant HCG on calcule explicitement ?? pour tous ??
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Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux Proposition Soient E et F deux ensembles finis On a : Il existe une application injective de E dans
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Le second aspect est la structure cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici Definition 1 On dit que deux ensembles E et F ont
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Un ensemble ? contenant n éléments où n ? IN est dit « fini » On dit alors que « le cardinal de ? est n » on note card(?) = n ou encore ? = n
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Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons
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21 jui 2018 · L'objectif de ce chapitre est de présenter les concepts et résultats fondamentaux permettant de calculer le cardinal
Quel est le cardinal de N ?
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.Comment calculer le produit cartésien ?
Le produit cartésien est aussi défini par : A ? B = {(x, y) x ? A ? y ? B}. Le produit cartésien A ? A est généralement noté A2 et est appelé le carré cartésien de A.Calcul du cardinal
1Si n = 0 alors E = ? donc E × F = ? donc la propriété est vérifiée.2Sinon, il existe une liste bijective ( x1 , … , x n ) sur E et on note pour tout i ? ?1 ; n ?, A i = { x i } × F .
Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frDénombrement dans un espace vectoriel fini
Dans ce document, on considère un espace vectorielEde dimension finien?N? sur un corps finiFq. CommeEest isomorphe àFnq, le cardinal deEestqn.1. Dénombrement des endomorphismes deE
On commence par dénombrer l"ensemble des endomorphismes deE.Proposition :Le cardinal deL(E)estqn2.
Démonstration:L"espace vectorielL(E)est de dimensionn2sur le corpsFq, donc il est iso- morphe àFn2 q, d"où le résultat.On peut également dénombrer les endomorphismes bijectifs.Proposition :Le cardinal du groupeGL(E)est
Card(GL
n(Fq)) =n-1? k=0(qn-qk). Démonstration:1)En fixant une base deE, on obtient une bijection deGL(E)surGLn(Fq).Il suffit donc de calculer le cardinal deGLn(Fq).
2)SiM?Mn(Fq), notonsM1,...,Mn?Fnqles colonnes deM. Une ma-
triceM?Mn(Fq)est inversible si et seulement si M1?= 0, M2?Fnq\Vect(M1), ..., Mn?Fnq\Vect(M1,...,Mn-1).
On dispose donc deqn-1possibilités pour la colonneM1, puisqn-qpossibilités pour la colonneM2,..., puisqn-qn-1possibilités pour la colonneMn, d"où le résultat.On en déduit le cardinal du groupeSL(E).Proposition :Le cardinal du groupeSL(E)est
Card(SL
n(Fq)) =1q-1·n-1? k=0(qn-qk). Démonstration:1)En fixant une base deE, on obtient une bijection deSL(E)surSLn(Fq)qui ont donc le même cardinal.2)Le morphisme de groupesdet : GL(E)→F?qest surjectif de noyauSL(E).
On a donc la relation
Card(GL(E)) = Card(SL(E))·Card(F?q),
d"où le résultat.Finalement, rappelons que les centres respectifs deGL(E)et deSL(E)ne contiennent que des homothéties. Proposition :Le centre deGL(E)est de cardinalq-1et le centre deSL(E) est de cardinaln?(q-1).Démonstration:1)Les homothéties dansGL(E)sont lesλ·IdEavecλ?F?q, d"où le résultat
pour le cardinal du centre deGL(E).2)Les homothéties dansSL(E)sont lesλ·IdEavecλ?F?qvérifiantλn= 1.
CommeF?qest un groupe d"ordreq-1, on aλq-1= 1pour toutλ?F?q. En notantd=n?(q-1), on en déduit queλn= 1si et seulement siλd= 1en utilisant l"identité de Bézout, doncZ(SL(E)) ={λ·IdE?GL(E)|λ?F?q, λd= 1}.
Finalement, commeddiviseq-1et queF?qest un groupe cyclique d"ordreq-1, il est classique que{λ?F?q|λd= 1}est l"unique sous-groupe d"ordreddeF?q, d"où le résultat.1/4Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr2. Nombres de sous-espaces vectoriels
Dans cette partie, on va compter le nombre de sous-espaces vectoriels deE d"une dimension donnée. Proposition :Soitd?J0,nK. Le nombre de sous-espace vectoriels deEde dimensiondest?n d? q =d-1? k=0(qn-qk)(qd-qk). Démonstration:SiFest sous-espace vectoriel deEde dimensiond, alors chaque base deFest une famille libre de cardinalddans l"espace vectorielE. Par le même argument utilisé pourCard(GL(E)), le nombre de telle famille libre est d=d-1? k=0(qn-qk). De plus, l"espace vectorielFadmetCard(GLd(Fq))bases distinctes. On conclut que le nombre cherché estαd/Card(GLd(Fq)), d"où le résultat.Remarques : a) En particulier, le nom brede droites v ectoriellesd ansEest(qn-1)/(q-1). b)Le nom bre?n
d? q est appelé un coefficientq-binomial. c) Comme un sous-espace v ectorielde Ede dimensiondcorrespond de manière unique à un sous-espace vectoriel de dimensionn-ddeE?par dualité, on en déduit la relation ?d?J0,nK,?n d? q =?n n-d? q .Proposition :Soit(n1,...,nr)?(N)ravecn1+···+nr=netr?N?. Le nombre de décompositions en somme directeE=F1? ··· ?FroùFiest un sous-espace vectoriel deEvérifiantdim(Fi) =nipour touti?J1,rKestCard(GL
n(Fq))Card(GL n1(Fq))···Card(GLnr(Fq)). Démonstration:NotonsDl"ensemble des(F1,...,Fr)vérifiant les conditions ci-dessus. Le groupeGL(E)agit transitivement surDpar u·(F1,...,Fr) = (u(F1),...,u(Fr)). De plus, le stabilisateur d"un élément(F1,...,Fr)?Dest isomorphe à GL(F1)× ··· ×GL(Fr)?GLn1(Fq)× ··· ×GLnr(Fq). On obtient donc le résultat avec la formule usuelle Card(Orb(F1,...,Fr)) =Card(GL(E))Card(Stab(F1,...,Fr)).3. Les endomorphismes diagonalisablesDans la suite, sin > q, on considèrera que?q
n?= 0. Nous allons déterminer le nombre d"endomorphismes deEdont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Proposition :Le nombre d"endomorphismes deEadmettant un polynôme ca- ractéristique scindé à racines simples est ?q n?·Card(GLn(Fq))(q-1)n.
2/ 4Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frDémonstration:1)Dans le cas oùq < n, le cardinal cherché est nul, donc le résultat énoncé est
valable. Dans la suite, on suppose queq>n.2)En fixant une base, on se ramène à raisonner sur les matrices. On noteC
l"ensemble des matrices deMn(Fq)dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Le groupeGLn(Fq)agit par conjugaison surC. Deux matrices deCsont dans la même orbite pour cette action si et seulement si elles ont le même spectre. On en déduit qu"il y a?q n?orbites. De plus, tous les éléments de l"ensembleCsont diagonalisables et siD?Cest une matrice diagonale, on a par un calcul direct que Stab(D) ={Diag(λ1,...,λn)?GLn(Fq)|(λ1,...,λn)?(F?q)n}. On obtient donc le résultat avec la formule usuelleCard(Orb(D)) =Card(GLn(Fq))Card(Stab(D))=Card(GLn(Fq))(q-1)n.Exemple :En appliquant la formule à l"espace vectorielE=F22sur le
corpsF2, on trouve qu"il y a6matrices dansM2(F2)admettant deux valeurs propres distinctes. Par un calcul direct, on trouve que ce sont les matrices ?1 0 0 0? ,?0 0 0 1? ,?1 1 0 0? ,?0 0 1 1? ,?1 0 1 0? ,?0 1 0 1? On dispose aussi d"une formule pour le nombre de tous les endomorphismes diagonalisables deE. Proposition :Le nombre d"endomorphisme diagonalisable deEest (n1,...,nq)?ΩqCard(GL n(Fq))Card(GL n1(Fq))···Card(GLnq(Fq))avecΩq={(n1,...,nq)?Nq|n1+···+nq=n}.Démonstration:Un endomorphisme diagonalisableu?L(E)est caractérisé par la décomposi-
tion en somme directe E=?λ?FqF
λavecFλ= Ker(u-λ·IdE)
En distinguant selon leq-uplet des dimensions(dim(Fλ))λ?Fq, on obtient lerésultat avec la dernière proposition de la partie précédente.Exemple :En appliquant la formule à l"espace vectorielE=F22sur le
corpsF2, on trouve qu"il y a8 = 1+6+1matrices diagonalisables dansM2(F2). Par un calcul direct, on trouve que ce sont les matrices?0 0 0 0? ,?1 0 0 1? ,?1 0 0 0? ,?0 0 0 1? ,?1 1 0 0? ,?0 0 1 1? ,?1 0 1 0? ,?0 1 0 1?4. Dénombrement des endomorphismes nilpotents
En utilisant des méthodes analogues, nous allons montrer le résultat suivant. Proposition :On suppose quen= dim(E)>2. Le nombre d"endomorphismes nilpotents deEd"indicenestCard(GL
n(Fq))q n-1(qn-1)=n-2? k=0(qn-qk). Démonstration:1)On travaille matriciellement. Avec la réduction de Jordan, on a qu"une ma- triceM?Mn(Fq)est nilpotente d"indicensi et seulement si elle est conjuguéeà la matrice
J=( (((((0 (0) 1 (0) 1 0) 3/ 4Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr2)La matriceJest la matrice compagnon deXn, doncJest matrice d"un
endomorphisme cyclique. On en déduit que son commutant estFq[J]. De plus, siP?Fq[X]avecdeg(P)6n, on a par un calcul direct deP(J)queP(J)est inversible si et seulement siP(0)?= 0. On en déduit queCard(Com(J)∩GLn(Fq)) =qn-1(q-1).
3)Le groupeGLn(K)agit transitivement sur la classe de conjugaison deJpar
conjugaison. On en déduit avec le point 2 que Card(Orb(J)) =Card(GLn(Fq))Card(Stab(J))=Card(GLn(Fq))q n-1(q-1).Exemple :En appliquant la formule à l"espace vectorielE=F22sur le corpsF2, on trouve qu"il y a3matrices nilpotentes d"indice2dansM2(F2). Par un calcul direct, on trouve que ce sont les matrices?0 1 0 0? ,?0 0 1 0? ,?1 1 1 1? Pour terminer, nous allons déterminer le nombre d"endomorphismes nilpotents deE. Nous commençons par rappeler un résultat général d"algèbre linéaire. Décomposition de Fitting :Siu?L(E)est un endomorphisme, alors il existe un unique couple(F,G)de sous-espaces vectoriels stables parutel que (i)On a la somme dir ecteE=F?G.
(ii)L ar estrictionde uàFest nilpotente.
(iii)L ar estrictionde uàGest inversible.
Démonstration:On commence par remarquer que les conditions énoncées imposent nécessai- rement queFest la réunion desKer(uk)pourk?NetGest l"intersection desIm(uk)pourk?N. Réciproquement, c"est un exercice classique de montrerque ces deux sous-espaces vectoriels conviennent.Proposition :Le nombre d"endomorphismes nilpotents deEestqn2-n.
Démonstration:Pour toutk?N, on noteNkle nombre d"endomorphismes nilpotents deFkq etGkle nombre d"automorphismes deFkq. D"après la décomposition de Fitting, on en déduit une bijection deL(E)sur l"ensemble des quadruplets(F,G,f,g) vérifiantE=F?Get(f,g)?L(F)×GL(G)avecfnilpotent. On utilisant la formule déterminée précédemment pour le nombre de décomposition en somme directe deEavec deux sous-espaces vectoriels, on obtient donc la relation q n2=n? k=0N k·Gn-k·GnG k·Gn-k=n? k=0N k·GnGquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] formule cardinal probabilité
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