[PDF] Corrigé des exercices régimes transitoires

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Corrigé des exercices régimes transitoiresExercice 1

1.É

crire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés cidessous :Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est ferm

é à l'instant t = 0.

Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement ferm

é, est ouvert à l'instant t = 0.

L'inconnue est uc(t), U = 200 V, R = 10 W

D'apr

ès la loi des mailles :

U=RituCtLa loi d'Ohm pour la capacit

é s'écrit :

it=CduCt dt

Finalement U=RCduCt

dtuCtL'inconnue est uC(t), I = 10 A et R = 20 W D'apr ès la loi des noeuds : I=iCtiRtD'apr ès les lois d'Ohm pour la résistance et lacapacit

é :iRt=uCt

R et iCt=CduCt

dt

FinalementI=uCt

RCduCt

dt

L'inconnue est i(t), U = 150 V, R = 30 W

D'apr

ès la loi des mailles :

U=RituLt

La loi d'Ohm pour l'inductance s'

écrit :

uLt=Ldit dt

Finalement

U=RitLdit

dtL'inconnue est iL(t), I = 15 A, R = 30 W D'apr ès la loi des noeuds : I=iLtiRtD'apr ès les lois d'Ohm pour la résistance etl'inductance : iRt=uLt R et uLt=LdiLt dtFinalement

I=iL(t)+L

R diL(t) dt2.D

éduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit.La m

éthode consiste à " arranger » l'équation différentielle pour que le terme multipliant la fonction soit égalà

1 : le terme multipliant la dérivée est alors égal à la constante de temps.É

quation initiale : U=RCduC(t) dt+uC(t)La forme de cette

équation permet déjà ded

éterminer la constante de temps : τ=RCÉ

quation initiale : I=uC(t)

R+CduC(t)

dtToute l' équation doit être multipliée par R ce qui donne I=uCtRCduCt dt soit =RCÉ quation initiale : U=Ri(t)+Ldi(t) dtToute l' équation doit être divisée par R ce qui donneÉ quation initiale : I=iLtL

RdiLt

dt

La forme de cette

équation permet déjà deCorrig

é des exercices régimes transitoiresPage 1 sur 12TS2 ET 20142015 U

R=i(t)+L

Rdi(t)

dt soit =L

Rdéterminer la constante de temps : τ=L

R3.Pour chaque situation pr

écédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurspropos

ées.Cela revient

à prévoir le comportement de chaque montage en continu.Le condensateur se charge jusqu'

à U soit uc(t) égal à200 V en r

égime établi.La capacit

é en continu se comporte comme un circuitouvert. En r égime établi, tout le courant I passe dansla r ésistance R, la tension aux bornes de la capacitéest donc égale à 200 V.En continu, l'inductance se comporte comme un courtcircuit. Le courant en r

égime établi sera doncé

gal à 5 A (loi d'Ohm pour la résistance).L'inductance est un courtcircuit en continu, tout le courant I passera donc par L en r

égime établi ce quidonne iL(t) = 15 A.

Remarque : dans tous les cas

étudiés cidessus, la dérivée est nulle en régime établi (car la grandeur estconstante). Les

équations différentielles se simplifient en :

U=uC(t)I=uC(t)

R

U=Ri(t)

I=iL(t)Exercice 2

D éterminer graphiquement les constantes de tempsdes dispositifs dont les r

éponses indicielles sontrepr

ésentées cicontre et cidessous.Il y a deux m

éthodes :

•la tangente

à l'origine•63 % du r

égime établit = 30 ms

t = 250 mst = 50 s

Corrig

é des exercices régimes transitoiresPage 2 sur 12TS2 ET 20142015R

égime établi6,3Tangente à l'origine

63% du régime établi100% du régime

établi

Exercice 3

1.La constante de temps du circuit cicontre s'écrit :=R

C=C

R =RC=1

RC2.La constante de temps du circuit cicontre s'

écrit :

=R

L=L

R=RL=1

RL3.Pour le dispositif repr

ésenté cicontre, l'intensité en régimeé tabli est égale à :10 A100 A0 Aelle d épend de la valeur de l'inductanceL'inductance se comporte comme un courtcircuit en continu.

U = 200 V et R = 20 W

4.Pour le dispositif repr

ésenté cicontre, l'intensité en régimeé tabli est égale à :1 A0 A30 AImpossible

à déterminerLa capacit

é se comporte comme un circuit ouvert en continu.U = 30 V et R = 1 W

5.L'interrupteur K est ferm

é à l'instant t = 0, parmi les graphes

cidessous et ceux de la page suivante, lequel peut correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de lar

ésistance ?U = 20 V, R = 10 W et L = 100 mH.

La constante de temps est

égale à =L

R=0,1

10=10 msEn r

égime établi, le courant sera égal à 2 A, la tension aux bornes de la résistance sera donc égale à 20 V.a.

Incompatible avec la constante de temps.b.

Incompatible avec le r

égime établi.Corrig

é des exercices régimes transitoiresPage 3 sur 12TS2 ET 20142015 c. Compatible avec la constante de temps et le régimeé tabli.d.

Incompatible avec le r

égime établi.Exercice 4

On consid

ère le montage cicontre.1.É

tablir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t), u(t), R et L. D'apr

ès la loi des mailles et les lois d'Ohm pour la résistance etl'inductance ut=RitLdit

dt

2.En d

éduire l'expression de la constante de temps en fonctionde R et L.

En divisant l'

équation par R, on obtient ut

R=itL

R dit dt donc =L

RLa tension u(t) est nulle pour t n

égatif et égale à 100 V si t est positif.

3.Quelle est la valeur de i(t) en r

égime établi ?Sur le graphe cidessous

à droite, le courant atteint 25 A en régime établi.4.La solution de l'

équation différentielle est de la forme

it=Ae -t Ba.Quelle est la valeur de B ? Lorsque t tend vers l'infini alors i(t) tend vers B qui correspond donc au r égime établi : B = 25 (en ampères)it=Ae-t 25 b.D éterminer la constante A à partir des conditionsinitiales.

Pour t = 0, i(0) = 0 d'apr

ès le graphique.D'apr

ès l'équation i0=Ae

-t 25=Ae -0 =A25donc

0=A25 soit A = 25.

5. Le graphe cicontre repr

ésente l'évolution de i(t).

D éterminer la constante de temps et en déduire la valeur de l'inductance L.

La constante de temps est

égale à 10 ms en prenant l'instant pour lequel la réponse atteint 63% du régimeé

tabli. Comme la tension aux bornes du circuit est égale à 100 V et que le courant en régime établi est égal àCorrig

é des exercices régimes transitoiresPage 4 sur 12TS2 ET 20142015100% 63%

25 A alors la résistance est égale à 4 W.

La relation

=L R donne L=R.=4.10.10-3=40 mHExercice 5 Variation du couple r ésistant sur l'arbre d'un moteur à courant continuUn moteur

à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale à

220 V. La charge mécanique accouplée sur l'arbre présente un couple résistant de moment noté Cr.

Caract

éristiques du moteur :

R

ésistance de l'induit : R = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l'inductance de l'induit est négligée.Le groupe tournant pr

ésente un moment d'inertie J = 0,28 kg.m².1.É

tablir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relationentre I (intensit

é du courant dans l'induit), KF , Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W. Relation fondamentale de la dynamique pour les syst dt

2.À

partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, KF et W.

Le sch

éma équivalent fait apparaître la fém E = KFW en série avec la résistance R, d'après la loi des mailles :

dt) avec Cr et les léments caractéristiques du moteur et de la charge.La deuxi dt

4.Calculer la vitesse de rotation en r

égime établi pour Cr = Cr1 = 6 N.m puis Cr = Cr2 = 10 N.m. En r dt=0, l'équation précédente devient :

RCr=0 d'o

K-RCr

K2 •pour Cr = Cr1 = 6 N.m :

1,6-4.6

1,62=128 rad/s•pour Cr = Cr2 = 10 N.m :

1,6-4.10

1,62=122 rad/sÀ B. 5.D éterminer la constante de temps t à partir de l'équation différentielle.On d dt ce qui donne

KU

dt.

Le terme ne d

épendant ni de W ni de sa dérivée est isolé : KU dtCorrig é des exercices régimes transitoiresPage 5 sur 12TS2 ET 20142015

En multipliant l'équation par R

K2, on obtient U

KRCr

K2 dt. Le terme qui multiplie W est

égal à 1, celui qui est devant la dérivée de W correspond à la constante de temps soit

=RJ K2. Application numérique : =4.0,28 1,62=0,437 ms6.Donner la valeur num

érique de B puis déterminer la constante A.

Valeur num

érique de B :

Lorsque t tend vers l'infini, l'

B indique que la vitesse tend vers B (c'est le régimeé

tabli). D'après la question 4, la vitesse est égale à 122 rad/s lorsque la couple est égal à 10 N.m ce qui donneB = 122 rad/s. On a donc

-t 122D

étermination de la constante A :

On utilise les conditions initiales : pour t = 0, la vitesse est

égale à 128 rad/s.Pour t = 0 :

-O 122=A122=128 donc A = 6.

La solution s'

122

7.Repr

ésenter l'évolution de W en fonction du temps.

Initialement la vitesse est

égale à 128 rad/s. Lorsque le régime établi est atteint, elle est égale à 122 rad/s.Au bout d'une constante de temps : W = 128 - 0,63.6 = 124,2 rad/s (63% du r

égime établi).Au bout de trois constantes de temps : W = 128 - 0,95.6 = 122,3 rad/s (95% du r égime établi).Au bout de cinq constantes de temps : W = 128 - 0,99.6 = 122,1 rad/s (99% du r

égime établi).Par ailleurs, la tangente

à l'origine atteint le régime établi au bout d'une constante de temps.Exercice 6 : Étude du courant dans la charge d'un hacheur sérieOn consid ère le dispositif représenté cicontre (les composants sont supposés parfaits) :

K est command

é à la fermeture de 0 à aT et à l'ouverture de aT à T.

1.Indiquer la valeur de u(t) entre 0 et aT puis entre aT et T (la

conduction est ininterrompue). Entre 0 et aT, u(t) = U et entre aT et T, u(t) = 0 (voir le cours sur le hacheur s

érie).2.É

tablir l'équation différentielle reliant u(t), i(t) et les éléments dumontage. D éterminer l'expression littérale de la constante detemps t. u(t) L U E R i(t)D'apr

ès la loi des mailles et les différentes lois d'Ohm : ut=RitLdit

dtE3.É tude entre 0 et aT

La solution de l'

équation différentielle est de la forme it=A1e-t B1 a.Repr ésenter le schéma équivalent du montage. Voir cicontre. b.Pour le sch éma représenté ci contre : exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En d

éduire la valeur de B1.

L'inductance se comporte comme un courtcircuit, on a donc it=U-E R u(t) L U E R i(t)Corrig é des exercices régimes transitoiresPage 6 sur 12TS2 ET 20142015

Cette expression correspond au régime établi au même titre que B1 qui est la valeur de i(t) lorsque t tend vers

l'infini : B1=U-E R c.Pour t = 0, i(0) = Imin. D

éterminer l'expression de A1.

l'instant initial, l'équation it=A1e-t B1 devient i0=A1e-0 B1=A1B1=Imin d'où la valeurde A1 : A1=Imin-B1=Imin-U-E R d.É crire la solution de l'équation différentielle sur cet intervalle de temps.D'apr ès ce qui précède : it=Imin-U-E

Re-t

U-E R

4.É

tude entre aT et T

La solution de l'

équation différentielle est de la forme it=A2e-t B2. a.Repr ésenter le schéma équivalent du montage.La diode courtcircuite l'association s

érie E, R et L.

b.Pour ce sch éma, exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En déduire la valeur de B2. L'inductance se comporte comme un courtcircuit en continu ce qui donne B2=-E R c.Pour t = aT, i(aT) = Imax. D

éterminer l'expression de A2.

l'instant t = aT, l'équation it=A2e-t B2 devient iT=A2e-T B2=Imax d'où la valeur de A2 :

A2=ImaxE

Re

T d.É crire la solution de l'équation différentielle sur cet intervalle de temps.D'apr ès ce qui précède : it=ImaxE

Re-t-T

-E R5.D

étermination de Imax

a.À

partir de l'équation trouvée à la question 3.d, trouver une relation entre Imin et Imax, les éléments dumontage et a et T.

Pour t = aT, i(t) = Imax, l'

équation it=Imin-U-E

Re-t

U-E

R trouvée à la question 3.d devient

Imax=Imin-U-E

Re-T

U-E

R soit Imax=Imine-T

U-E

R1-e-T

b.À

partir de l'équation trouvée à la question 4.d, trouver une autre relation entre Imin et Imax, les élémentsdu montage et a et T.

Pour t = T, i(t) = Imin, l'

équation it=ImaxE

Re-t-T

-E R trouvée à la question 4.d devientImin=ImaxE

Re-T-T

-E

R soit Imin=Imaxe-T-T

E

Re-T-T

-1

Corrig

é des exercices régimes transitoiresPage 7 sur 12TS2 ET 20142015 c.Déduire de ce qui précède une relation entre Imax, E, R, a, et T.

Exercice 7

On consid

ère le circuit RLC cicontre.1.É

tablir l'équation différentielle reliant uc(t) et ses dérivéespremi

ère et seconde, R, L, C et u(t).

partir de la loi des mailles et des différentes lois d'Ohm, onobtient : u(t)=LCd2uC(t) dt2+RCduC(t) dt+uC(t)

L = 150 mH, C = 470 nF

2.Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des

éléments du circuit.En identifiant l'

équation trouvée à la question précédente avec l'équation " canonique » (soit

u(t)=1

ω02d2uC(t)

dt2+2mω0duC(t) dt+uC(t)), on obtient : 1 ω0

2=LC qui donne ω0

2=1

LCet 2mω0=RC ce qui donne

m=1

2RCω0 soit m=1

L

3.Pour quelle valeur Rc de R obtienton le r

égime critique ? Quelle est l'allure de la réponse à un échelon siR = 3000 W ?

Le r

égime critique correspond à m = 1 soit 1 2Rc

L=1 ce qui donne

Rc=2

470.10-9=1130 Ω

Si R = 3000 W alors le coefficient d'amortissement est sup érieur à 1 et la réponse est apériodique.4.On rel

ève l'évolution de uc(t) lorsque u(t) est un échelon de 0 à 10 V pour R = 500 W et R = 1000 W.

Parmi les trois graphes suivants :

•Lequel (ou lesquels) ne correspond pas

à cetteé

volution ?•Lequel (ou lesquels) correspond au r

égimepseudop

ériodique ?•Lequel (ou lesquels) correspond au r

égimeap

ériodique ?•Lequel correspond

à 500 W ? à 1000 W ?

Ne correspond pas car dans le syst

ème étudié, ler

égime permanent atteint 10 V lorsque le courantest nul.

Corrig

é des exercices régimes transitoiresPage 8 sur 12TS2 ET 20142015 Le régime permanent correspond à celui du systèmeé tudié.Le r égime permanent correspond à celui dusyst

ème étudié.Aucun des relev

és ne correspond au régime apériodique car les résistances sont inférieures à Rc. Plus le

coefficient d'amortissement m est petit, plus il y a de pseudo oscillations, le relev é de gauche correspond à500 W et celui de droite

à 1000 W.

Remarque : on devine un l

éger dépassement du régime permanent sur le graphe de droite.Exercice 8

On consid

ère le circuit RLC cicontre.1.É

tablir l'équation différentielle reliant iL(t) et ses dérivéespremi

ère et seconde, R, L, C et i(t).

La loi des noeuds et les diff

érentes lois d'Ohm permettent d'écrire :

i(t)=u(t)

R+iC(t)+iL(t) avec u(t) la tension aux bornes du

dip ôle orienté avec la convention récepteur.L = 0,15 H, C = 470 nF

Puisque

u(t)=LdiL(t) dt et iC(t)=Cdu(t) dt alors i(t)=

LdiL(t)

dt

R+Cdu(t)

dt+iL(t) soit finalement i(t)=L

RdiL(t)

dt+LCd2iL(t) dt2+iL(t)

2.Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des

éléments du circuit.En identifiant l'

équation trouvée à la question précédente avec l'équation " canonique » (soit

i(t)=1

ω02d2iL(t)

dt2+2mω0diL(t) dt+iL(t)), on obtient : 1

ω02=LC qui donne

ω0 2=1

LCet 2mω0=L

R ce qui donne m=1

2L

Rω0 soit m=1

2L R1 21
C

3.Pour quelle valeur Rc de R obtienton le r

égime critique ?Le r

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