Espaces vectoriels
Exercice 32. Soit ?3(?) l'espace vectoriel des matrices à coefficients dans ? à 3 lignes et 3 colonnes. Soit 3
Espaces vectoriels
Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace vectoriel. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [006869]. Exercice 4.
Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1
Exercice 1 On rappelle que (E+
Leçon 09 – Correction des exercices
solutions en (? ?
Exercices Corrigés Premi`eres notions sur les espaces vectoriels
En déduire les coordonnées de e1 e2 et e3 dans la base B ? Exercice 3 – On considére le sous-espace vectoriel F de R4 formé des solutions du syst`eme suivant :.
MT23 - P2017 - Test 1 - Corrigé Exercice 1 Soit E un espace
Existe-t-il une famille de 2 vecteurs de E liée ? Une solution : OUI
Algébre Linéaire 1 - DS 2 - corrigé
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel réel. i) Donner la définition d'une famille finie libre de vecteurs de E. ii) Donner la définition du rang d'une
70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels
(i) H est un sous espace vectoriel de E de dimension n ? 1. (ii) H est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E. (iii) H est l'ensemble des solutions
On considére le sous-espace vectoriel F 1 de R4 formé des solutions
Préciser F1 F2 et F1 n F2 et une base de ces trois sous-espaces vectoriels de R4. Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et b = 1e1
Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid
Quelles sont les variables libres de ce syst`eme ? Soit F le sous-espace vectoriel de R4 constitué par les solutions du syst`eme (?). 2) Résoudre le syst
Exercices Corriges
Premieres notions sur les espaces vectoriels
Exercice 1{On considere le sous-espace vectorielFdeR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x1x2x3+ 2x4= 0 (E1)
x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E2):
1) En resolvant ce systeme suivant l'algorithme du cours, donner une base deF. Quelle est la
dimension deF?2) Soitu= (4;1;3;3) etv= (3;3;6;3). Montrer queuetvappartiennent a F. Quelles
sont les coordonnees deuetvdans la base determinee a la question 1. En deduire que (u;v) est une base deF. Exercice 2{SoitB= (e1;e2;e3) une base d'unR-espace vectorielE.1) Montrer en utilisant la denition queB0= (e1+e2+e3;e2+e3;e3) est une base deE.
Pourquoi aurait-il ete susant de montrer que la famille (e1+e2+e3;e2+e3;e3) etait libre ou generatrice ?2) Quelle est la matricePde passage de la baseBa la baseB0? CalculerP1.
En deduire les coordonnees dans la baseB0d'un vecteur de coordonnees (x1;x2;x3) dans la baseB. En deduire les coordonnees dee1,e2ete3dans la baseB0? Exercice 3{On considere le sous-espace vectorielFdeR4forme des solutions du systeme suivant : ()8 :x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)
x1x2x3+ 2x4= 0 (E2)
2x1+x2+ 3x4= 0 (E2):
Determiner une base deF.
Exercice 4{SoitEunRespace vectoriel de base (e1;e2). On poseu1=e1+e2etu2=e1e2.1) Montrer par deux methodes que la famille (u1;u2) est une base.
2) Exprimer par deux metodese1, puise2comme une combinaison lineaire deu1,u2.
3) Si un vecteurudeEa pour coordonnees (A;B) dans la base (u1;u2), quelles sont les coor-
donnees (a;b) deudans la base (e1;e2) et inversement ? Exercice 5{On considere le sous-espace vectorielF1deR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)
x2x3+ 2x4= 0 (E2):
et le sous-espace vectorielF2deR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)
x4= 0 (E02):
PreciserF1,F2etF1\F2et une base de ces trois sous-espaces vectoriels deR4. 1 Exercice 6{(extrait partiel novembre 2011) On considere le systeme d'equations lineaires a coecients reels : (E)8 :x1+ 4x23x4= 0 (E1)
2x1+ 4x2x33x4= 0 (E2)
3x1+ 4x22x33x4= 0 (E3):
On notePle sous-espace vectoriel deR4constitue des solutions de (E).1) Preciser en utilisant l'algorithme de resolution une baseBdeP.
2) Verier que les vecteursu= (1;1;1;1) etv= (0;3;0;4) appartiennent aP.
3) Determiner les coordonnees des vecteursuetvdans la baseBdeterminee dans 1).
4) Montrer que (u;v) est une base deP.
On considere le systeme d'equations lineaires a coecients reels : (E0)(x 3= 0 x 4= 0: On noteFle sous-espace vectoriel deR4constitue des solutions de (E0).5) Montrer quePTF=f0g.
6) Determiner une base deF.
7) Soitx= (x1;x2;x3;x4)2R4, montrer qu'il existex0= (x01;x02;x03;x04)2Petx00=
(x001;x002;x003;x004)2Ftel quex=x0+x00. On determinerax0etx00.Correction de l'exercice ?? :
1)Fest constitue des solutions d'un systeme homogene a coecients reels de deux equations a
quatre inconnues. C'est donc un sous-espace vectoriel deR4.Fest encore forme des solutions du systeme homogene : ()(x1x2x3+ 2x4= 0 (E1)
3x2+ 2x3x4= 0 (E2E1):
qui est un systeme triangule de variables libresx3etx4. On obtient : x 2=23 x3+13 x4:On obtient alors :
x1=x2+x32x4=13
x353 x4:Il en resulte :
F=f(13
x353 x4;23 x3+13 x4;x3;x4) tels quex3; x42R)g:F=fx3(13
;23 ;1;0) +x4(53 ;13 ;0;1) tels quex3; x42R)g: 2 Aini,Fest l'ensemble des combinaisons lineaires des vecteurse1= (13 ;23 ;1;0) ete2= (53 ;13 ;0;1). La famille (e1;e2) est donc une famille generatrice deF. C'est une famille li- bre. En eet : x 3(13 ;23 ;1;0) +x4(53 ;13 ;0;1) = (13 x353 x4;23 x3+13 x4;x3;x4) = 0 implique clairementx3=x4= 0. C'est donc une base deF. Cette base est formee de deux elements. Donc, dimRF= 2.
Cela correspond au resultat du cours : l'algorithme de resolution d'un systeme d'equations lineaires homogenes a coecients dans un corpsKdepequations aninconnues fournit une base du sous-espace vectoriel deKnconstitue par ses solutions.2) Pour montrer queuetvsont dansF, on verie qu'ils satisfont aux equations. Pouru,
cela donne par exemple :4(1)3 + 23 =4 + 2(1) + 3 + 3 = 0:
Ainsi, il existex;y2Rtels que :
(4;1;3;3) =x(13 ;23 ;1;0) +y(53 ;13 ;0;1) = (13 x53 t;23 x+13 y;x;y): On en deduitx= 3 ety= 3. Les coordonnees deudans la base (e1;e2) sont donc (3;3). De meme, on montre que les coordonnees devdans la base (e1;e2) sont dontc (6;3). Soita;b2Rtels queau+bv= 0. Il en resulte que les coordonnees deau+bvdans la base (e1;e2) sont nulles. On obtient en ecrivant ces coordonnees en colonne : a 3 3! +b 6 3! = 3a+ 3b6a+ 3b!
= 0: Le couple (a;b) verie donc le systeme d'equations lineares homogenes : "3a+ 3b= 06a+ 3b= 0:
en resolvant ce systeme, on obtienta=b= 0. Ainsi, (u;v) est une famille libre. Or, la dimen- sion deFest 2, donc (u;v) est une base deF. Pour montrer que (u;v) est une base deF, on peut aussi considerer la matrice : M (e1;e2)(u;v) = 3 6 3 3! dont les colonnes sont les coordonnees des vecteursuetvdans la base (e1;e2) deF. Le determinant de cette matrice est non nul. Donc, (u;v) est une base deF. 3Correction de l'exercice ?? :
1) Montrons que la famille (e1+e2+e3;e2+e3;e3) est une famille libre deE. Soita;b;ctrois
reels tels que : a(e1+e2+e3) +b(e2+e3) +ce3= 0:On obtient :
ae1+ (a+b)e2+ (a+b+c)e3= 0:
CommeB= (e1;e2;e3) est une base deE, c'est une famille libre. On en deduit : a=a+b=a+b+c= 0 Il en resulte :a=b=c= 0. On a ainsi prouve que la familleB0= (e1+e2+e3;e2+e3;e3) est libre. Montrons que la familleB0= (e1+e2+e3;e2+e3;e3) est generatrice. Soituun vecteur deE. CommeB= (e1;e2;e3) est une base deE, si (x1;x2;x3) sont les coordonnees deudans la base B: u=x1e1+x2e2+x3e3:Cherchons (X1;X2;X3) trois reels, tels que :
u=x1e1+x2e2+x3e3=X1(e1+e2+e3) +X2(e2+e3) +X3e3:Il vient :
x1e1+x2e2+x3e3=X1e1+ (X1+X2)e2+ (X1+X2+X3)e3:
Il en resulte puisqueB= (e1;e2;e3) est une base deE(unicite de l'expression d'un vecteur dans une base) ; ()8 :X 1=x1 X1+X2=x2
X1+X2+X3=x3:
Ainsi, (X1;X2;X3) sont les solutions d'un systeme lineaire. Resolvons ce systeme. Il se trouve qu'il est triangule. On obtient : ()X1=x1; X2=x2X1=x2x1; X3=x3(X1+X2) =x3x2:On a donc :
u=x1e1+x2e2+x3e3=x1(e1+e2+e3) + (x2x1)(e2+e3) + (x3x2)e3: Le vecteuruest donc bien combinaison lineaire des vecteurs deB0. La familleB0est donc libre, generatrice deE. C'est donc une base deE. On notera que l'on obtient par la formuleles coordonnees (X1;X2;X3) dans la baseB0d'un vecteur dont on connait les coordonnees (x1;x2;x3) dans la baseB: 0 B @X 1 X 2 X 31C A=0 B @x 1 x1+x2 x2+x31 C A 4 En fait, comme la dimension deEest trois, on aurait pu faire plus court pour montrer queB0 est une base en rappelant que dans un espace vectoriel de dimension 3 une famille libre de 3 vecteurs deEest une base deE. Mais, a ce moment la, on perd la formule de changement de coordonnees. 2)
P=MB(e1+e2+e3;e2+e3;e3) =0
B @1 0 0 1 1 01 1 11
C A PuisquePest une matrice de passage, elle est inversible. Le calcul de sont determinant et de sa comatrice donne : P 1=0 B @1 0 0 1 1 0 01 11 C A Les coordonnees (X1;X2;X3) dans la baseB0d'un vecteur de coordonnees (x1;x2;x3) dans la baseBsont donnees par la formule : 0 B @X 1 X 2 X 31C A=P10 B @x 1 x 2 x 31
C A=0 B @1 0 0 1 1 0 01 11 C A0 B @x 1 x 2 xquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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