[PDF] Algébre Linéaire 1 - DS 2 - corrigé





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Espaces vectoriels

Exercice 32. Soit ?3(?) l'espace vectoriel des matrices à coefficients dans ? à 3 lignes et 3 colonnes. Soit 3 



Espaces vectoriels

Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace vectoriel. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [006869]. Exercice 4.



Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1

Exercice 1 On rappelle que (E+





Exercices Corrigés Premi`eres notions sur les espaces vectoriels

En déduire les coordonnées de e1 e2 et e3 dans la base B ? Exercice 3 – On considére le sous-espace vectoriel F de R4 formé des solutions du syst`eme suivant :.



MT23 - P2017 - Test 1 - Corrigé Exercice 1 Soit E un espace

Existe-t-il une famille de 2 vecteurs de E liée ? Une solution : OUI



Algébre Linéaire 1 - DS 2 - corrigé

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel réel. i) Donner la définition d'une famille finie libre de vecteurs de E. ii) Donner la définition du rang d'une 



70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels

(i) H est un sous espace vectoriel de E de dimension n ? 1. (ii) H est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E. (iii) H est l'ensemble des solutions 



On considére le sous-espace vectoriel F 1 de R4 formé des solutions

Préciser F1 F2 et F1 n F2 et une base de ces trois sous-espaces vectoriels de R4. Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et b = 1e1



Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid

Quelles sont les variables libres de ce syst`eme ? Soit F le sous-espace vectoriel de R4 constitué par les solutions du syst`eme (?). 2) Résoudre le syst 

1u1+2u2+:::+kuk= 0;

rangfu1;u2;:::;ukg= dim(Vect(u1;u2;:::;uk)):

00 +1u1+2u2+:::+kuk= 0??

1u1+2u2+3u3= 0

1u1+2u2+3u3+ 0u4= 0

F=8 :0 @x y z t1 A

2R4:x+y+z= 0??x+ 2zt= 09

u 1=0 B B@1 2 1 11 C

CA; u2=0

B B@1 4 1 51
C

CA; u3=0

B B@2 2 2 01 C

CA; u4=0

B B@1 0 1 11 C CA: ??? ?????? ??? ???? ??Vect(u1;u2;u3;u4)? ?? ??????FVect(u1;u2;u3;u4) =R4? ??F???? ???? ??? ????? ?? ???? ????w;v2F?? ???? ?????w+v2F? ?? ???? ????w2F??2R?? ???? ?????w2F? ???? ???w1+w2+w3= 0 w

1+ 2w3w4= 0??v1+v2+v3= 0

v

1+ 2v3v4= 0:??

???? ?? ???????w+v= (w1+v1;w2+v2;w3+v3;w4+v4)???? ????? (w1+v1) + (w2+v2) + (w3+v3) = (w1+w2+w3) + (v1+v2+v3)()== 0 + 0 = 0 (w1+v1) + 2(w3+v3)(w4+v4) = (w1+ 2w3w4) + (v1+ 2v3v4)()== 0 + 0 = 0: ?? ? ?????? ???w+v2F? ???? ?? ???????w= (w1;w2;w3;w4)???? ????? ???? w

1+w2+w3=(w1+w2+w3)()==0 = 0

w

1+ 2w3w4=(w1+ 2w3w4)()==0 = 0:

???? ????? ?????? ???w2F? x+y+z= 0 y+zt= 0: 0 B B@x y z t1 C B B@x y z t1 C CA=0 B

B@2z+t

zt z t1 C CA=z0 B B@2 1 1 01 C CA+t0 B B@1 1 0 11 C CA; B=0 B B@0 B B@2 1 1 01 C CA;0 B B@1 1 0 11 C CA1 C CA a 0 B B@2 1 1 01 C CA+b0 B B@1 1 0 11 C CA=0 B B@0 0 0 01 C

CA?????8

>:2a+b= 0 ab= 0 a= 0 b= 0????a=b= 0:

????? ???? ?????? ??????? ?? ????? ??? ?? ???? ?? ?? ???????fu1;u2;u3;u4g??? ???? ?? ???? ?? ?? ???????

rangfu1;u2;u3;u4g= rang0 B

B@11 21

2 4 2 0

1 12 1

1 5 0 11

C CA: 0 B

B@11 21

2 4 2 0

1 12 1

1 5 0 11

C CA0 B

B@11 21

0 62 2

0 0 0 0

0 62 21

C CA0 B

B@11 21

0 62 2

0 0 0 0

0 0 0 01

C CA ?? ?????? ??? ?? ???? ?? ????? ??????? ????2???? rangfu1;u2;u3;u4g= 2: B

0= (u1;u2) =0

B B@0 B B@1 2 1 11 C CA;0 B B@1 4 1 51
C CA1 C CA ??? ??? ???? ??Vect(u1;u2;u3;u4)? ??? ???? ??????? ??FVect(u1;u2;u3;u4) =R4? ?? ???? ?? ??????? ?? ?? ??????? ????? ???? ??F???? F=0 B B@0 B B@2 1 1 01 C CA;0 B B@1 1 0 11 C CA;0 B B@1 2 1 11 C CA;0 B B@1 4 1 51
C CA1 C CA: a 0 B B@2 1 1 01 C CA+b0 B B@1 1 0 11 C CA+c0 B B@1 2 1 11 C CA+d0 B B@1 4 1 51
C CA=0 B B@0 0 0 01 C >:2a+b+cd= 0 ab+ 2c+ 4d= 0 ac+d= 0 b+c+ 5d= 0: 8>>< >:2a+b+cd= 0 b+ 5c+ 7d= 0

4c+ 8d= 0

0 = 0:

P

0=X22; P1= (X1)(X+ 1); P2= (X2)(X+ 1); P3= (X1)(X+ 2):

???? ??????? ??? ?? ???????(P1;P2;P3)??? ?????? ?????? ??? ???? ??R2[X]? P

0=X22; P2= (X2)(X+ 1) =X2X2; P3= (X1)(X+ 2) =X2+X2:

P

2+P3=X2X2 +X2 +X2 = 2X24 = 2P0;????P0=12

P2+12 P3: X

22 =a(X2X2) +b(X2+X2) = (a+b)X2+ (ba)X2a2b:

8< :a+b= 1 a+b= 0

2a2b=2?? ??? ?????a=b=12

aP

1+bP2+cP3= 0

a(X21) +b(X2X2) +c(X2+X2) = 0; (a+b+c)X2+ (b+c)Xa2b2c= 0: ????? ?? ???????(1;X;X2)??? ?????? ?? ??????? ?? ??????? ??????? 8< :a+b+c= 0 b+c= 0 a2b2c= 0?? ??? ?????a=b=c= 0: ??? ???? ?? ???????M=0 @1 12 21 1

1 0 21

A ????B??E? f

1=e1+ 2e2e3; f2=e1e2; f3=2e1+e2+ 2e3:

??????? ???B2= (f1;f2;f3)??? ????? ??? ???? ??E? (u)B1=0 @1 1 11 A ??(v)B2=0 @2 1 21
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