LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 févr. 2017 On retrouve cette variable muette lorsque l'on veut calculer une somme à l'aide d'un algorithme. (boucle Pour).
Sommes produits
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
Sommes et produits
S'il vous reste un indice dans l'expression après le calcul de la somme c'est que vous vous êtes trompé2. Exemple. Chercher l'erreur : n. ? n=0.
Calcul Algébrique
Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances de 2 de 20 jusqu'à 2n vaut (2n+1 ? 1) (c'est un cas particulier d'une formule à
sommes.pdf
n'a pas d'autre existence en dehors de permettre le calcul de la somme). présentée avec le symbole sigma n. ? k=1 xk sous sa forme sans sigma.
Utilisation du symbole ?
symbole sigma. Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Calcul de sommes et de produits
1.1.1 Définition et premiers calculs. Définition 1. (Symbole "Sigma"). Soit p n ? N
Cours de mathématiques - Exo7
Pour un entier n fixé programmer le calcul de la somme Sn = 13 + 23 + 33 + ··· + n3. 2. Définir une fonction qui pour une valeur n renvoie la somme ?n = 1
Séries
Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel. Par contre si elle est convergente
[PDF] Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév 2017 · Soit I un sous-ensemble fini de N la somme de tous les termes ai i décrivant I sera notée C Exemples : Calculer la somme : Sn =
[PDF] LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
Plus géné- ralement exprimer à l'aide du symbole sigma la somme Sn des n premiers entiers se terminant par 7 puis calculer Sn On observera qu'un entier se
[PDF] Sommes et produits
Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p X k=2
[PDF] Sommes produits récurrence - Normale Sup
18 sept 2010 · Exemple 1 : Calcul de la somme des entiers • Nous allons démontrer par récurrence que la propriété Pn : i=n ?
[PDF] Calcul Algébrique
Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques constituées de variables formelles de réels ou de complexes
[PDF] Thème 13: Le symbole de sommation ?
Exercice 13 3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette somme lorsque c'est possible a) S1 = 1 i i=1 4 ?
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique — Soit (uk) une suite de nombres réels en progression arithmétique Soit(m n) ? N2 tel que m
Manipulation de sommes à laide du symbole ? - Math-OS
11 oct 2017 · La manipulation de sommes via le symbole \Sigma (sigma) repose sur un petit nombre de règles Cet article a pour objet de les énumérer et
[PDF] Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
Exemple 12 : Calculer la somme des nombres impairs de 1 à 99 en utilisant une suite arithmétique Soient (un)n?N une suite de réels ou de complexes et q ? K
Comment calculer la somme Sigma ?
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on fait varier de façon à englober tous les termes qui doivent être considérés dans la somme.Comment faire le Sigma ?
Typez 03c3 ou 03C3 et appuyez sur Alt+C pour insérer le symbole sigma : ?- On l'obtient simplement en additionnant l'ensemble des valeurs et en divisant cette somme par le nombre de valeurs. Ce calcul peut être fait à partir des données brutes ou d'un tableau de fréquences.
HKBL1/ 7symbole sigma
Utilisation du symbole?
Notation :Pour parler de la somme des termes successifs d"une suite, on peut ou bien utiliser les pointillés ou
bien utiliser le symbole " sigma » majuscule noté? Par exemple, la sommeSde tous les inverses des dix premiers entiers non nuls, peut s"écrire S=11+12+13+···+110ou bienS=10?
k=11k.On dit quekest l"indice de la somme; et on lit "Sest égale à la somme pourkvariant de1à10de1
k».En effet, si on prend l"expression
1 ket que l"on remplacekpar la valeur 1 alors on obtient11, si on remplacek par la valeur 2 alors on obtient 12, et ainsi de suite... si on remplacekpar la valeur 10 alors on obtient110qui
est le dernier terme de la somme. L"avantage du symbole?est qu"il est plus explicite que les pointillés+···+qui restent parfois flous. C"est aussi
une façon plus compacte d"écrire ces sommes. Cette écritureest, on le verra, très commode, voire indispensable
dans bien des domaines, notamment les probabilités et les statistiques (domaine où vous avez normalement déjà
dû croiser ce joli symbole pendant vos années de lycéen(ne)?!?). Autre exemple :T= 1×2 + 2×3 +···+ 105×106s"écrit plus simplementT=105? k=1k(k+ 1).On dit quekest l"indice de la somme; et on lit "Test égale à la somme pourkvariant de1à105dek(k+1)».
En effet, si on prend l"expressionk(k+ 1)et que l"on remplacekpar la valeur 1 alors on obtient1×2, si on
remplacekpar la valeur 2 alors on obtient2×3, et ainsi de suite... si on remplacekpar la valeur 105 alors on
obtient105×106, expression qui est le dernier terme de la somme. Exercice 1 :Traduire à l"aide du symbole?les sommes suivantes : S1= 12+ 22+ 32+···+ 132+ 142s"écrit aussiS1=?
S2= 32+ 42+ 52+···+ 1032+ 1042s"écrit aussiS2=?
S 3=12+23+34+···+101102+102103s"écrit aussiS3=?
S4= 12+ 32+ 52+···+ 132+ 152s"écrit aussiS4=?
S5= 1×3 + 2×4 + 3×5 + 4×6s"écrit aussiS5=?
S6= 1 + 8 + 27 + 64 + 125s"écrit aussiS6=?
Exercice 2 :Développer chacune des sommes écrites à l"aide du symbole?, en faisant disparaître ce symbole :
T 1=10? k=31 k2 T 2=10? k=11 2k+ 1 T 3=n? k=1(k+ 1)! kRappel: suites arithmétiques.
Une suite arithmétique(un)n?Nest une suite dont le terme général est de la formeun=an+boùaest la
raison de la suite.On sait (se démontre aisément par récurrence) que la somme des termes consécutifs d"une suite arithmétique
est donnée par la formule n k=0u k=Nombre de termes×premier terme+dernier terme 2Rappel: suites géométriques.
Une suite géométrique(vn)n?Nest une suite dont le terme général est de la formevn=α×qnoùqest la raison
de la suite.On sait (se démontre aisément par récurrence) que la somme des termes consécutifs d"une suite géométrique est
donnée par la formulen? k=0v k=premier terme×1-qnombre de termes 1-qHKBL2/ 7symbole sigma
Voici un exercice d"application :
Exercice 3 :Calculer chacune des sommes suivantes, ou en donner la meilleure expression possible :Somme des termes d"une suite arithmétique :
3 + 7 + 11 +···+ 43 + 47 =?
92k=10(3k+ 5) = n k=1k=n? k=0k=i? k=0k= n k=12 =n? k=i3 =i? k=07k=
Somme des termes d"une suite géométrique :
3 + 6 + 12 +···+ 768 =?92?
k=103k= n k=0xk=n? k=1xk=n? k=ixk= kPropriétés du symbole?:linéarité
•Si(un)n?Nest une suite, alors pour tout réelαon a :n? k=0(αuk) =αn? k=0u kpour tout entiern?N •Si(xn)n?Net(yn)n?Nsont deux suites, alors on an? k=0(xk+yk) =n? k=0x k+n? k=0y kpour tout entiern?N Ces deux propriétés sont équivalentes à cette seule propriété : ••Si(xn)n?Net(yn)n?Nsont deux suites et siαetβsont deux réels, on a n k=0(αxk+βyk) =αn? k=0x k+βn? k=0y kpour tout entiern?NExemple: Linéarité de la somme
Si on poseSn=n?
k=15k, alorsSn= 5n? k=1k= 5×n(n+ 1) 2.Si on poseTn=n?
k=13k+ 2, alorsTn= 3n? k=1k+n? k=12 = 5×n(n+ 1)2+ 2n.
Si on poseZn=n?
k=1k(k+ 1), alors on peut écrire :Zn=n? k=1k(k+ 1) =n? k=1(k2+k) =n? k=1k 2+n? k=1k mais on connaît (presque) par coeur que n? k=1k=n(n+ 1) 2etn? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6. Donc Z n=n? k=1k2+n? k=1k=n(n+ 1)(2n+ 1)6+n(n+ 1)2.
Exemple: Linéarité de la somme
Si on poseSnla somme des entiers pairs consécutifs de2à2nalorsSn= 2 + 4 +···+ 2n=n? k=12k.Et on a par linéaritéSn= 2n?
k=1k= 2×n(n+ 1)2=n(n+ 1).
Si on poseTnla somme des entiers impairs consécutifs de1à2n-1alorsTn= 1+3+···+2n-1 =n?
k=12k-1.On remarque queSn+Tn=2n?
k=1kc"est à dire la somme de tous les entiers consécutifs de1à2n. Donc S n+Tn=2n(2n+ 1)2=n(2n+ 1). De telle sorte queTn=n(2n+ 1)-Sn=n(2n+ 1)-n(n+ 1) =n2.
Autre méthode pour calculerTn:
T n= 1 + 3 +···+ 2n-1 =n? k=12k-1 = 2n? k=1k-n? k=11 = 2×n(n+ 1)2-n=n(n+ 1)-n=n2.
HKBL3/ 7symbole sigma
Propriétés du symbole?:ré-indexation d"une sommeCe que l"on désigne par ce terme barbare de " ré-indexation »,c"est effectuer un changement de variable (ou
plutôt d"indice) pour simplifier, calculer ou comparer deuxsommes. Il n"y a pas de définition formelle à retenir,
juste une méthode de calcul assez élémentaire... regardez ces quelques exemples :Exemple: Si on veut écrire la sommeSdes entiers impairs consécutifs de1à11on peut écrireS=6?
k=12k-1, mais on pourrait aussi écrireS=5? j=02j+ 1.Pour passer de la première écriture à la seconde, il suffit de poserj=k-1, ce qui équivaut à
k=j+ 1et donc pourkvariant de1à6, l"indicej, égal àk-1, varie de0à5. Et la formule2 k-1est remplacée par 2( j+ 1)-1 = 2j+ 1.Exemple: SiTn=n?
k=2(k-1)2, pour un entiern≥2, alors on peut poser le changement d"indice :i=k-1. On a alorsivarie de 1 à(n-1), etTn=n-1? i=1i2, somme que l"on sait calculer :Tn=(n-1)((n-1) + 1)(2(n-1) + 1)
6= (n-1)(n)(2n-1) 6Exercice 4 :À l"aide d"une ré-indexation, montrer la règle sur les sommes télescopiques :
S n=n? k=0(uk+1-uk) =un+1-u0 indication : dans la somme n? k=0u k+1, poser le changement de variablei=k+ 1.Exercice 5 :
À l"aide d"une ré-indexation, justifier que :n? k=0a k=n? i=0a n-iDe même, compléter :
n k=1a n-k=...? i=...a in-1? k=0a n-k=...? i=...a in k=1a n+k=...?quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] comment calculer la somme d'une série numérique
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