LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 févr. 2017 On retrouve cette variable muette lorsque l'on veut calculer une somme à l'aide d'un algorithme. (boucle Pour).
Sommes produits
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
Sommes et produits
S'il vous reste un indice dans l'expression après le calcul de la somme c'est que vous vous êtes trompé2. Exemple. Chercher l'erreur : n. ? n=0.
Calcul Algébrique
Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances de 2 de 20 jusqu'à 2n vaut (2n+1 ? 1) (c'est un cas particulier d'une formule à
sommes.pdf
n'a pas d'autre existence en dehors de permettre le calcul de la somme). présentée avec le symbole sigma n. ? k=1 xk sous sa forme sans sigma.
Utilisation du symbole ?
symbole sigma. Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Calcul de sommes et de produits
1.1.1 Définition et premiers calculs. Définition 1. (Symbole "Sigma"). Soit p n ? N
Cours de mathématiques - Exo7
Pour un entier n fixé programmer le calcul de la somme Sn = 13 + 23 + 33 + ··· + n3. 2. Définir une fonction qui pour une valeur n renvoie la somme ?n = 1
Séries
Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel. Par contre si elle est convergente
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27 fév 2017 · Soit I un sous-ensemble fini de N la somme de tous les termes ai i décrivant I sera notée C Exemples : Calculer la somme : Sn =
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Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
Plus géné- ralement exprimer à l'aide du symbole sigma la somme Sn des n premiers entiers se terminant par 7 puis calculer Sn On observera qu'un entier se
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Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p X k=2
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[PDF] Calcul Algébrique
Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques constituées de variables formelles de réels ou de complexes
[PDF] Thème 13: Le symbole de sommation ?
Exercice 13 3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette somme lorsque c'est possible a) S1 = 1 i i=1 4 ?
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique — Soit (uk) une suite de nombres réels en progression arithmétique Soit(m n) ? N2 tel que m
Manipulation de sommes à laide du symbole ? - Math-OS
11 oct 2017 · La manipulation de sommes via le symbole \Sigma (sigma) repose sur un petit nombre de règles Cet article a pour objet de les énumérer et
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Exemple 12 : Calculer la somme des nombres impairs de 1 à 99 en utilisant une suite arithmétique Soient (un)n?N une suite de réels ou de complexes et q ? K
Comment calculer la somme Sigma ?
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on fait varier de façon à englober tous les termes qui doivent être considérés dans la somme.Comment faire le Sigma ?
Typez 03c3 ou 03C3 et appuyez sur Alt+C pour insérer le symbole sigma : ?- On l'obtient simplement en additionnant l'ensemble des valeurs et en divisant cette somme par le nombre de valeurs. Ce calcul peut être fait à partir des données brutes ou d'un tableau de fréquences.
Chapitre 5
Calcul de sommes et de produits
Table des matières
1 Sommes3
1.1 Définition et sommes de référence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Définition et premiers calculs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Sommes de référence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2.1 Sommes constantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2.2 Sommes des entiers et somme des carrés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2.3 Sommes géométriques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Propriétés du symbole?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.2.1 Linéarité et relation de Chasles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Changement d"indice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Sommes télescopiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Produits8
3 Formule du binôme de Newton
93.1 Intervalles d"entiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Factorielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Coefficients binomiaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Propriétés des coefficients binomiaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2.1 Symétrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2.2 Formule de Pascal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2.3 Formule du comité-président
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Formule du binôme de Newton
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Complément : Somme et produit d"inégalités
132Calcul de sommes et de produitsECS1 - Mathématiques
Calcul de sommes et de produits31 Sommes
1.1 Définition et sommes de référence
1.1.1 Définition et premiers calculsDéfinition 1. (Symbole "Sigma")
La sommeup+up+1+...+uns"écritn?
k=pu kExemple 1. La somme1 + 3 + 32+ 33+...+ 314peut s"écrire14?k=03kRemarque.L"indicekest une variable muette, il n"a aucun sens en dehors de la somme! À la place dekon
peut très bien mettrej,?oubob: n k=pu k=n? j=pu j=n? ?=pu ?=n? bob=pu bobRemarque.Si p>n, la somme est vide et vaut alors0: 2 k=3u k= 0(car 3>2).ECS1 - Mathématiques4Calcul de sommes et de produits1.1.2 Sommes de référence
1.1.2.1
Sommes constantes Proposition 1. (Sommes de uns, sommes constantes) n k=p1 =n-p+ 1etn? k=pa=a(n-p+ 1)Exemple 2. 10 k=11 = 9,2020? k=199512 = 12×26 = 312,n? k=23 = 3(n-2+1) = 3(n-1),n? k=0n=n(n+1) = 3(n-1)Attention !Dans la sommen? k=pu k, il y an-p+ 1termes et pasn-p!1.1.2.2
Sommes des entiers et somme des ca rrésProposition 2. (Sommes des entiers et somme des carrés)Pour toutn?N:n?
k=0k=n? k=1k=n(n+ 1)2Pour toutn?N:n?
k=0k2=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 .Exemple 3.Calculons les sommes suivantes :1.S=20?
k=1k2.s=20?
k=0k23.A=20? k=5k4.a=20?
k=5k25.B=n+1? k=1k6.b=n+1?
k=1k2ECS1 - Mathématiques Calcul de sommes et de produits51.1.2.3Sommes géométriquesProposition 3. (sommes géométriques)
Siqest un complexedifférent de1, on a, pourn≥0: n k=0qk=1-qn+11-q=qn+1-1q-1Remarque.Siq= 1, on est ramené à une somme de1.Attention ! n? k=1qk?=n? k=pqkcomme suit : n k=pqk=n? k=0qk-p-1? k=0qk=1-qn+1-(1-qp)1-q=qp-qn+11-qExemple 4.Calculons les sommes suivantes : 1. 20? k=02 k2.20? k=103 k3.n-1? k=04 k4.2n? k=05 k5.n? k=06 -k6.n? k=072k7.n?
k=018 kCorollaire 4. (Factorisation dexnetan-bn)Soitn?N. Pour tout réelx?= 1:
x n-1 = (x-1)n-1?xk= (x-1)?1 +x+x2+···+xn-1?
Pour tout réelsaetbtels quea?=b:
a n-bn= (a-b)? = (a-b)n-1?akbn-1-k= (a-b)n-1?an-1-kbkExemple 5. x3-1 = (x-1)(1 +x+x2
x4-1 = (x-1)(1 +x+x2+x3
x5-1 = (x-1)(1 +x+x2+x3+x4a
3-b3= (a-b)(a2+ab+b2
a5-b5= (a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4ECS1 - Mathématiques
6Calcul de sommes et de produits1.2 Propriétés du symbole
1.2.1 Linéarité et relation de Chasles
On retrouver ici des propriétés similaires à celles vues pour les intégrales.Proposition 5. (Linéarité)
Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites de complexes etλun complexe. On a : n k=pλu k=λn? k=pu ketn? k=pu k+vk=n? k=pu k+n? k=pv k.Exemple 6.Soitn?N. Calculons les sommes suivantes : S n=n? k=0(1 +k+k2+ 2k), Tn=n? k=0(4k+ 1), Un=n-1? k=1(4·3k+ 5k-2), Vn=2n? k=013 k+ 1Proposition 6. (Découpage d"une somme (relation de Chasles)) k=pu k=m? k=pu k+n? k=m+1u k.1.2.2 Changement d"indiceExemple 7.
On poseS=a4+a5+a6+···+a20. Compléter les trous : A=? k=a k=? k=0a=? k=a k+2=? k=a k-2=? k=a20-k.Exemple 8.
Réécrivons les sommes ci-dessous en effectuant les changements d"indice proposés. 1. n? k=2k+ 2k-1uk-2; poserj=k-2. 2. n-1? k=0(k+ 1)nuk; poseri=k+ 1. 3. n+2? k=3(-1)kuk-3; poser?=k-3.4. n? k=0(-1)kk+ 1; poser?=k+ 1. 5. n? k=1k·2k; poserj=k-1. 6. 3n? k=0k2; poserj=k+ 1.ECS1 - MathématiquesCalcul de sommes et de produits7Exemple 9.
Réécrivons les sommes ci-dessous en effectuant les changements d"indice proposés. 1. n? k=0(n-k)uk; poserk?=n-k. 2. n? k=1k(k+ 1)un+1-k; poserk?=n+ 1-k. 3. n? k=0? n k? ; poser"k=n-k"(changementd"indice "direct"). 4. n? i=11i -1n+ 1-i; poserj=n+ 1-i. 5. 2n-1? k=n+1ln? sin?kπ2n?? ; poserk?= 2n-k.1.2.3 Sommes télescopiquesProposition 7. (Sommes télescopiques)
On a les égalités suivantes :
n? k=pu k+1-uk=un+1-up n? k=pu k-uk+1=up-un+1 n? k=pu k-uk-1=un-up-1 n? k=pu k-1-uk=up-1-unRemarque.On peut retenir les deux principes suivants :On a une somme télescopique quand on a une somme "d"une expression moins la même expression au rang
k+ 1ouk-1".La valeur d"une somme télescopique se trouve en "remplaçantkpar la petite borne dans le petit indice par
la grande borne dans le grand indice".Exemple 10. 1. Déterminer (a,b)?Rtels que?x?R\ {0;-1},1k(k+ 1)=ak +bk+ 1. 2.En déduire, p ourtout n?N?la sommeSn=n?
k=11k(k+ 1).ECS1 - Mathématiques8Calcul de sommes et de produits2 Produits
On présente ici simplement le symbolePiqui est utilisé pour calculer des produits. Nous n"écrirons pas de pro-
position sur le sujet car dès qu"on doit le manipuler, le mieux est de le "développer".Définition 2. (Symbole "Pi")
Le produitupup+1...uns"écritn?
k=pu kRemarque.Si p>n, le produit est vide et vaut alors1: 2 k=3u k= 1(car 3>2).Exemple 11.Développons et simplifions si possible les produits suivants 1. n? k=03 2. n? k=1(2k)3. n? k=0(2k+ 1) 4. n? k=0qk5. n? k=0q2k 6. n? k=2? 1 +1k ?7. n? k=13k+ 23k+ 5 8. p-1? k=0? 1-1k2?ECS1 - Mathématiques
Calcul de sommes et de produits93 Formule du binôme de Newton3.1 Intervalles d"entiersDéfinition 3. (Intervalle d"entiers)
J1,4K= (1,2,3,4).
J0,7K= (0,1,2,3,4,5,6,7).Attention !Ne pas confondre!!!Jp,nK?= [p,n].3.2 FactorielleDéfinition 4. (Factorielle d"un entier)
Soitn?N?on appellefactorielle denl"entier :
n! = 1×2×3× ··· ×n=n? k=1k n!se lit " factorielle den» ou " factoriellen» ou "nfactorielle ».quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] comment calculer la somme d'une série numérique
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