Séries
Cette série est-elle convergente ? Si c'est possible calculer la somme S et les restes Rn. 2. Mêmes questions avec ?k?0(?1)
Séries numériques
Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme : Il est à peu près clair que tend vers c'est déjà cela
Séries numériques Somme dune série
Calculer alors sa somme. Convergence ssi a = ?2 b =1; S = ?1. Exercice 3. Justifier l'égalité :.
Les séries de Fourier
d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique. l'on a une décomposition de s(t) en somme de fonctions trigonométriques :.
SERIES NUMERIQUES
Exercice 2. Calculer le nombre 0297297 …
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Ecrire un code avec une boucle for qui calcule la somme des entiers entre 1 et 10: On va maintenant tracer un graphique qui montre comment cette série ...
Outils Mathématiques et utilisation de Matlab
D'une part une série voila comment Matlab calcule l'inverse d'une matrice : ... Exercice 2.3 : Effet la somme non-infinie sur les séries de Fourier.
Exercices corrigés sur les séries entières
Exercice 7 Calculer le développement en série entière en zéro des On note an les coe cients du développement précédent et g la somme de la série entière.
Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices)
6 janv. 2020 Ces formules permettent de comprendre comment calculer ... (2) Calculer pour chaque prévision effectuée la somme des carrés des erreurs ...
Séries
connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ?. [005698]. Exercice 12 ****.
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Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d'indice pour se ramener à
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Quand la série converge suffisament rapidement il suffit de calculer Sn = ? Appliquez ceci pour calculer la somme de la série harmonique alternée ??
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Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme : Il est à peu près clair que tend vers c'est déjà cela mais comment
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Séries numériques Somme d'une série Exercice 1 Calculer les sommes partielles des séries ? un En déduire leur nature et leur somme si elle existe :
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29 avr 2014 · Le fait de calculer la somme d'une série à partir de n = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d'indice
[PDF] I Calculs de sommes de séries convergentes II Nature dune série
Calculer les sommes partielles SN = N ? i=0 ai pour N ? N Nature de ?un et expression de la somme en cas de convergence Exercice 2 + « Série
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On dit que la série ? un converge si la suite (Sn) définie en (1) converge Dans ce cas la limite de la suite (Sn) est appelée somme de la série et notée S =
[PDF] Sommaire 1 Convergence des Séries Numériques
Définition : Dans le cas où la série de terme général un converge la limite notée s de la suite (sn)n?N est appelée somme de la série et on note : s =
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7 2 Fonctions définies par la somme d'une série de fonctions Il suffit de calculer la dérivée sur I de la fonction F donnée pour vérifier que
Comment calculer la somme d'une série de fonction ?
Pour que la fonction somme d'une série de fonctions soit continue sur un intervalle I, il suffit que la série converge uniformément sur tout compact de I. xn n est continue sur R, bien que l'on ne sache pas si elle converge uniformément sur R.Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Pour calculer la somme d'une série ?nun ? n u n ,
1écrire la suite (un) sous une forme "télescopique", un=vn?vn?1 u n = v n ? v n ? 1 , les termes en (vn) se simplifient alors (voir cet exercice).2utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices…Comment calculer la somme d'une série convergente ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .- Plus précisément, il faut ajouter le énième nombre impair pour passer de un à un+1. Dit autrement, la suite des carrés est la suite : de premier terme nul (02=0) ; définie par un+1=un+(2n+1) : chaque terme s'obtient en additionnant le énième nombre impair au terme précédent.
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1 UE7 - MA5 : Analyse
SERIES NUMERIQUES
réelles ou complexesI. Généralités
Définition 1
Etant donnée une suite (u
n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.Notation
On note généralement
n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.Définition 2 ,
de la convergenceOn dit que la série
u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.Dans ce cas, la limite de la suite (S
n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u nQuand la suite (S
n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.Remarque 1
Si on considère seulement (u
n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S nCette série est alors notée
n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u néquivaut à celle de
n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.Définition 3
Pour une série convergente,
n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u pExemple
Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.Exemple
Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.Théorème 1
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend
vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).Remarque 2
Le théorème précédent est utile sous la forme contraposée : si (u n ) ne tend pas vers 0, la série u n diverge. On dit alors que la série est grossièrement divergente. 3 Exemple de référence : séries géométriquesLa série
n 0 a n où a ' Â est convergente si et seulement si ...a... < 1 et sa somme est alors S = 1 1 - a n = 0& a n Attention : la somme change si la série ne commence pas à n = 0 ; par exemple si ...a... < 1 , n = 2& a n = a 2 1 - a Le résultat qui suit permet de munir l'ensemble des séries convergentes d'une structure d'espace vectoriel :Théorème 2
Soient
u n et v n deux séries convergentes.La série somme
(u n + v n ) est convergente et on a n = 0& (u n + v n n = 0& u n n = 0& v nSi ¬ est un scalaire, la série
(¬ u n ) est convergente et on a n = 0& (¬ u n n = 0& u nOn en déduit alors le résultat suivant :
Corollaire
Si u n converge et v n diverge, alors la série (u n + v n ) diverge. En utilisant le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selon lequel une suite (S n ) est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy, on obtient : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries)Pour que la série de terme général u
n soit convergente, il faut et il suffit que : ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧m n , ... k = nm u k ou encore ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧p 0 , ... k = nn + p u kRemarque 3
Ce résultat est important et il sera utilisé par la suite car il permet de démontrer la 4 convergence ou la divergence de certaines séries sans que l'on ait besoin de chercher, en même temps, leur somme.Exemple
La série harmonique
n 1 1 n diverge : il suffit de remarquer que S 2n - S n = 1 n + 1 ... + 1 2n est, pour tout n , minoré par 12(n termes supérieurs à 1
2n ) .
Le résultat suivant peut être utile pour étudier une série à terme général u n complexe :Proposition
u n converge si et seulement si les deux séries Re u n et Im u n convergent et on a : n = 0& u n n = 0& Re u n + i n = 0& Im u nExercice 1
1) Ecrire sous forme décimale illimitée le nombre 3/7.
2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q entiers le nombre 2,
%&%&%& ... où le bloc 136 est répété indéfiniment.Exercice 2
Calculer le nombre 0,297297 ...
| 3,3636 ...Exercice 3
Montrer que la série de terme général u
n converge et calculer sa somme dans les cas : (a)u n = n ((( ))) 1 - 1 n 2 2(b)u n = 1 n(n + 1)(n + 2) (c)u n = (n + 1) 1 n + 1 - n 1 n (d)u n = n n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n (e)u n = n 3 n ! en exprimant n 3 en fonction de n(n - 1)(n - 2), n(n - 1) et nExercice 4
Montrer que la série de terme général u
n est divergente dans les cas : 5 (a)u n = (-1) n (b)u n (c)u n = equotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] garam
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