[PDF] Les séries de Fourier d'une fonction périodique

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Les series de Fourier

Daniel Perrin

La raison d'^etre de ce cours est la presence des series de Fourier au pro- gramme de nombreuses sections de BTS (electronique, optique, etc.) et, par- tant, au programme du CAPES. Le contenu de ces programmes comprend : La denition des coecients de Fourier pour une fonction continue par morceaux, de periodeT, a la fois sous les formes cosn!tet sinn!tetein!t. Le theoreme de convergence ponctuelle de Dirichlet pour les fonctions de classeC1par morceaux (admis).

La formule de Parseval (admise).

Il est aussi fait allusion al'utilisation du developpement en serie de Fourier d'une fonction periodique pour calculer la somme d'une serie numerique. Dans ce qui suit nous allons aborder tous ces themes, en allant nettement plus loin que les programmes de BTS.

1 Introduction, notations et rappels

1.1 Motivation

L'inter^et des series de Fourier

1appara^t notamment quand on cherche a

resoudre les equations dierentielles lineaires du second ordre associees aux circuits electriques. Considerons un circuit RLC comprenant un condensateur de capaciteC, une bobine d'inductanceLet une resistanceR. On envoie dans ce circuit un courant alternatif, dont la tension est une fonction periodique s(t), et on s'interesse a la chargeq(t) du condensateur. L'equation (E) qui regit ce circuit estLq00+Rq0+qC =s(t). On sait qu'on en trouve les solu- tions en ajoutant a la solution generale de l'equation homogene (E0) associee a (E) une solution particuliere de (E). Lorsque le signalsest sinusodal, par exemples(t) = sin!t, c'est facile car on cherche une solution de la forme2 acos!t+bsin!t. Mais, souvent, le signal fourni est plus complique, et pas forcement regulier (signal en creneau ou en dent de scie par exemple). Si l'on a une decomposition des(t) en somme de fonctions trigonometriques : s(t) =PN n=0(ancosn!t+bnsinn!t) le calcul est encore facile en traitant separement le cas de chaque terme (on parle d'harmoniques) et en les ajou-

tant (principe de superposition). En general on ne peut esperer avoir un tel1. Joseph Fourier (1768-1830) a introduit les series qui portent son nom a propos d'une

autre question de physique : l'equation de la chaleur.

2. Sauf dans le cas de resonance.

1 developpement avec une somme nie et c'est pourquoi on va essayer d'ecrire la fonction periodiquescomme somme d'uneserietrigonometrique. C'est toute la problematique des series de Fourier.

1.2 Le cadre

Rappelons quelques denitions indispensables.

1.1 Denition.Une fonctionf: [a;b]!Cest dite continue (resp. de classe

C p) par morceaux sur[a;b]s'il existe une subdivisiona=a0< a1<< a n=bet des fonctionsficontinues (resp. de classeCp) sur[ai;ai+1]telles quefsoit egale afisur l'intervalle ouvert]ai;ai+1[.

1.2Remarque.Une fonction continue par morceaux n'est pas necessairement

continue aux points de subdivision, mais elle admet en ces pointsxune limite a gauche (resp. a droite) noteef(x) (resp.f(x+)).

1.3 Denition.SoitTun nombre reel>0. Une fonctionfdenie surRest

direperiodiquede periodeTsi l'on a, pour toutx2R,f(x+T) =f(x).

Le nombre!=2T

est appele3pulsationassociee aT. On notera que sifest periodique de periodeTelle l'est aussi de periode

2T;3T;:::ouT;2T;:::Une fonction de periodeTest entierement donnee

par sa restriction a un intervalle de la forme [a;a+T]. Une fonction periodique sera dite de classeCppar morceaux si elle l'est sur un tel intervalle.

1.3 Deux formules

1.4 Proposition.Soitfune fonction periodique de periodeTcontinue par

morceaux surR. On a les formules :

1) Pour tousa;b2R,Z

b a f(t)dt=Z b+T a+Tf(u)du.

2) Pour touta2R,Z

T 0 f(t)dt=Z a+T a f(t)dt. Demonstration.Pour 1), on eectue le changement de variablesu=t+Tet on utilise la periodicite, pour 2) on utilise la relation de Chasles : Z a+T a =Z 0 a +Z T 0 +Z a+T T et le point 1).3. La fonction sin!test alors periodique de periodeT: sin!(t+T) = sin!tcar !T= 2. C'est ainsi qu'on peut retenir la formule donnant la pulsation. 2

1.4 Deux exemples

Les exemples suivants correspondent a des signaux classiques et on les trouve souvent, avec des variantes, dans les exercices de BTS : La fonctioncreneau, par exemple de periode 2, qui vaut 1 sur [0;] et 0 sur ];2[. 0 2π

1Figure1 { La fonction creneau

La fonction4dent de scief, paire, periodique de periode 2, denie sur [0;] parf(x) =x. 0

2πFigure2 { La fonction dent de scie

2 Les coecients de Fourier

2.1 Un peu de geometrie

Parmi les fonctions periodiques de periodeTon dispose de trois types de fonctions remarquables : cosn!t, sinn!tpourn2Netein!tpourn2Z.

Dans tous les cas!=2T

est la pulsation associee aT. Notre objectif est

d'ecrire les autres fonctions comme combinaisons lineaires de celles la.4. Il y a d'autres dents de scie possibles, par exemple la fonction discontinue, de periode

, denie parf(x) =xsur [0;[. 3 Il y a un cadre ou l'on sait calculer les coecients de telles decompositions, c'est celui de l'espace euclidien, avec un produit scalaire, note (xjy), et une base orthonormeee1;:::;en. En eet, si l'on ax=nX i=1x iei, avecxi2R, un calcul immediat montre que lesxisont donnes parxi= (xjei). C'est exactement la m^eme chose dans le cas complexe, mais avec un produit sca- laire hermitien. Or, ici, sur l'espace des fonctions continues par morceaux de periodeTa valeurs reelles (resp. complexes), on dispose d'un produit scalaire

5euclidien (resp. hermitien) donne par la formule :

(fjg) =1T Z T 0 f(t)g(t)dt; auquel on associe comme d'habitude une normekfk2par la formule : kfk22= (fjf) =1T Z T 0 jf(t)j2dt:

La remarque essentielle est alors la suivante :

2.1 Proposition.1) Les fonctionsen(t) :=ein!tpourn2Zforment une

famille orthonormale pour le produit scalaire ci-dessus.

2) Les fonctions

n(t) := cosn!tpourn2Netn(t) := sinn!tforment une famille orthogonale pour le produit scalaire ci-dessus.

Demonstration.1) On calcule (epjeq) =1T

R T

0eip!teiq!tdt=1T

R T

0ei(pq)!tdt

et cette integrale est nulle sauf pourp=qou elle vaut61.

2) Le calcul est analogue pour les cosinus et sinus. Il faut conna^tre

quelques formules de trigonometrie ou passer par les exponentielles. On no- tera les formules ( 0j

0) = 1 et, pourn1, (

nj n) = (njn) =12 Cette proposition permet de faire de la geometrie. En voici un premier exemple :

2.2 Corollaire.1) Sifest un polyn^ome trigonometrique en exponentielles :

f(t) =n=NX n=Nc nein!ton a la formule :cn= (fjen) =1T Z T 0 f(t)ein!tdt.5. Ce n'est pas tout a fait un produit scalaire car (fjf) peut ^etre nul m^eme sifne l'est pas, par exemple sifest nulle sauf en un nombre ni de points, mais c'est sans importance.

6. On voit que le coecient 1=Ta pour but de normer les fonctions.

4

2) Sifest un polyn^ome trigonometrique en cosinus et sinus :

f(t) =NX n=0a ncosn!t+NX n=1b nsinn!t on a les formulesa0=1T Z T 0 f(t)dtet, pourn1: a n=2T Z T 0 f(t)cosn!tdtetbn=2T Z T 0 f(t)sinn!tdt:

2.2 Denition des coecients de Fourier

Lorsquefest periodique mais pas necessairement un polyn^ome trigo- nometrique, on denit encore ses coecients de Fourier par les formules ci- dessus :

2.3 Proposition-Denition.Soitf:R!Cune fonction periodique de

periodeT, continue par morceaux. On denit lescoecients de Fourier defpar les formules suivantes :cn=1T Z T 0 f(t)ein!tdtpourn2Z,a0= 1T Z T 0 f(t)dtet, pourn1: a n=2T Z T 0 f(t)cosn!tdtetbn=2T Z T 0 f(t)sinn!tdt:

On a les relations

7:a0=c0, et, pourn1,cn=12

(anibn),cn= 12 (an+ibn),an=cn+cn,bn=i(cncn).

On a l'egalite

NX n=Nc nen(t) =NX n=Nc nein!t=NX n=0a ncosn!t+NX n=1b nsinn!t. Cette quantite est noteeSNf(t)et laserie de Fourierdefest la serie dont les sommes partielles sont lesSNf, autrement dit la serieP n2Zcnein!tou sa variante reelleX n0a ncosn!t+X n>0b nsinn!t:

2.4Remarques.1) Nous verrons ci-dessous que, pour la theorie, la variante

exponentielle est souvent plus commode. En revanche, les exercices de BTS

utilisent plut^ot les variantes en cosinus et sinus.7. Certains auteurs denissenta0avec 2=Tcomme lesan. Cela oblige a commencer la

serie de Fourier para0=2. 5

2) Il est souvent utile de noter que si la fonctionfest paire (resp. impaire)

ses coecients de Fourierbn(resp.an) sont nuls.

3) Lorsqu'on veut preciser la fonction on note le coecientcn(f) voire

bf(n).

4) Si une serie trigonometriqueP

n2Zcnein!tconverge (disons uniformement) versf(t), on montre, comme dans le cas des polyn^omes, que lescnsont les coecients de Fourier def.

2.3 Problematique

Quelles sont les questions qui se posent maintenant (et que l'on trouvera dans les exercices de BTS)? D'abord, il y a le calcul explicite des coecients de Fourier pour une fonctionfdonnee (par exemple en creneau ou en dent de scie). C'est en general un calcul sans malice (souvent par integration par parties), mais non sans risque d'erreur (attention a la valeur de la periode, aux reports de constantes, etc.). Il y a ensuite deux questions mathematiques diciles. La premiere est celle de la convergence de la serie de Fourier def vers la fonctionf(convergence simple, convergence uniforme, etc.). C'est l'objet du theoreme de Dirichlet. Elle permettra d'obtenir des formules de sommes de series en appliquant cette convergence en des points particuliers. La seconde est le calcul de la norme def. C'est l'objet de la formule de Parseval, generalisation du theoreme de Pythagore. Cette formule aura deux types d'applications, des calculs de serie (comme Dirichlet), mais aussi des applications physiques (car la norme defcorrespond a la valeur ecace du signal et elle est liee a l'energie du systeme).

3 Une premiere approche de la formule de

Parseval

3.1 L'enonce

Le theoreme en vue est le suivant :

3.1 Theoreme. (Formule de Parseval

8)Soitf:R!Cune fonction

continue par morceaux, de periodeT, etan;bn;cnses coecients de Fourier.

On a les formules :

kfk22=1T Z T 0 jf(t)j2dt=X n2Zjcnj2;8. Marc-Antoine Parseval des Ch^enes, 1755-1836. 6 kfk22=ja0j2+12 +1X n=1janj2+12 +1X n=1jbnj2:

Nous ne demontrerons pas entierement ce theoreme

9, mais nous allons

prouver l'inegalite de Bessel qui en est une composante essentielle et nous etablirons Parseval dans le cas particulier oufest de classeC1(voir Annexe

2) . Notons deja qu'il sut de traiter le cas des coecientscn, l'autre s'en

deduisant au moyen des formules de 2.3. Dans ce qui suit, les notations sont celles de 3.1.

3.2 Le cas d'un polyn^ome trigonometrique

La formule de Parseval est facile lorsquefest un polyn^ome trigonometrique : f(t) =n=NX n=Nc nein!t. C'est un simple calcul euclidien : on af=PN n=Ncnen, d'ou, en calculant le produit scalaire (fjf) =P p;q(cpepjcqeq) =P p;qcpc q(epjeq) =P p;qcpc qp;q=P pjcpj2. (On a utilise la symetrie hermitienne et le fait que la familleenest orthonormale, qui donne (epjeq) =p;q, symbole de Kronecker.)

3.3 L'inegalite de Bessel

La propriete suivante est aussi une application des techniques euclidiennes :

3.2 Proposition.Rappelons qu'on poseSNf=NX

n=Nc nenavecen(t) =ein!t.

On a les formules suivantes :

1)kSNfk22=NX

Njcnj2,

2)(fSNfjSNf) = 0,

3)kfk22=kfSNfk22+kSNfk22.

Demonstration.Le point 1) a deja ete vu : c'est la formule de Parseval pour un polyn^ome trigonometrique. Le point 2) vient de 1) et de la \linearite" du produit scalaire : (fjSNf) = (fjn=NX n=Nc nen) =n=NX n=Nc n(fjen) =n=NX n=Nc ncn= (SNfjSNf):9. Pour une preuve complete, voir par exemple le polycopie d'integration sur ma page web :http://www.math.u-psud.fr/ perrin/Enseignement.html. 7 Le point 3) n'est autre le theoreme de Pythagore : on calcule le carre scalaire defen ecrivantf= (fSNf) +SNf. On a donckfk22=kfSNfk22+ kSNfk22+ (SNfjfSNf) + (fSNfjSNf):Mais, en vertu de 2),fSNf etSNfsont orthogonaux, d'ou le resultat. Le corollaire suivant donne un c^ote de Parseval :

3.3 Corollaire. (Inegalite de Bessel)La serieP+1

1jcnj2converge et on

aP+1

1jcnj2 kfk22.

Demonstration.En eet, les sommes partielles de cette serie, qui sont les kSNk22sont bien majorees parkfk22. Une consequence tres importante de Bessel est la convergence de la suitequotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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