Séries numériques Somme dune série PDF

Séries

Cette série est-elle convergente ? Si c'est possible calculer la somme S et les restes Rn. 2. Mêmes questions avec ?k?0(?1)

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Calculer alors sa somme. Convergence ssi a = ?2 b =1; S = ?1. Exercice 3. Justifier l'égalité :.

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Pour que la fonction somme d'une série de fonctions soit continue sur un intervalle I, il suffit que la série converge uniformément sur tout compact de I. xn n est continue sur R, bien que l'on ne sache pas si elle converge uniformément sur R.
Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Pour calculer la somme d'une série ?nun ? n u n ,
1écrire la suite (un) sous une forme "télescopique", un=vn?vn?1 u n = v n ? v n ? 1 , les termes en (vn) se simplifient alors (voir cet exercice).2utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices…
Comment calculer la somme d'une série convergente ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .
Plus précisément, il faut ajouter le énième nombre impair pour passer de un à un+1. Dit autrement, la suite des carrés est la suite : de premier terme nul (02=0) ; définie par un+1=un+(2n+1) : chaque terme s'obtient en additionnant le énième nombre impair au terme précédent.

Universit´e Lille I 2008-2009

Math218Feuille n◦2

S´eries num´eriques

Somme d"une s´erie

Exercice 1

Calculer les sommes partielles des s´eriesPun. En d´eduire leur nature, et leur somme si elle existe : a)un=ein;b)un= (1/⎷ n)-(1/⎷ n+ 1), n>1 ;c)un= sinn; d)un=1 (n-1)(n+ 2), n>2 ;e)un= lnµ 1-1 n , n>2 ;f)un=2n-1 n

3-4n, n>3.

a) Divergence; b) 1; c) divergence; d) 11 18 ; e)-ln2; f)89 96

Exercice 2

D´eterminer les r´eelsaetbpour que la s´erieP n>0und´efinie par u n=⎷ n+a⎷ n+ 1 +b⎷ n+ 2 soit convergente. Calculer alors sa somme.

Convergence ssia=-2,b= 1;S=-1.

Exercice 3

Justifier l"´egalit´e :1

1 +x= 1-x+x2+···+ (-1)nxn+ (-1)n+1xn+1

x+ 1.

En d´eduire

ln2 =+∞X n=0(-1)n n+ 1.

Exercice 4

SoitP n>0unla s´erie de terme g´en´eralun=(-1)n

2n+ 1, n>0.

1. On d´esigne parsnla somme desnpremiers termes de la s´erie. A l"aide du d´eveloppement

limit´e de 1

1+x2, calculer

s n-Z 1 01

1 +x2dx.

2. En d´eduire la somme

+∞X n=0(-1)n

2n+ 1.

Faire comme dans l"exercice 3.S=π

4 1

´Etude de la nature d"une s´erie

Exercice 5

´Etudier la nature des s´eriesPun:

a)un=(n+ 1)(n+ 2) n!an, a >0 ;b)un= (1-thn)n;c)un=n! a n, a >0 ; d)un=an n

α, a >0, α?R;e)un=n!

n n;f)un=(-1)n thn g)un=(n!)2 (2n)!;h)un=1 +an n

3, a>0 ;i)un= lnn2+n+ 1

2+n-1;

j)un= sin1 n -lnµ 1 +1 n ;k)un=1 n

2-cos1

n ;l)un=µ cos1 n n m)un=nlnn (lnn)n;n)un=n1 n -1 ;o)un=n1 n 2-1 ; p)un=n1 n -n1 n+1. a) Convergence. b) Convergence. c) Divergence. d)a <1 : Convergence.a >1 : Divergence.a= 1 : Convergence ssiα >1. e) Convergence. f) Divergence. g) Convergence. h) Convergence ssia61. i) Convergence. j) Convergence. k) Divergence. l) Divergence m) Convergence. n) Divergence. o) Convergence. p) Convergence.

Exercice 6

´Etudier suivant les valeurs des param`etresa,b,cla nature des s´eriesPun: a)un= ln2n+ 1 n+ 3-asin1 n +bn

2n+ 3;b)un=e1

n -a-b n c)un=anlnµ 1 +1 n -bcos1 n +csin1 n ;d)un=3⎷ n

3+an-⎷

2+ 1 ;

e)un=ean2³ 1-a n n3 ;f)un=2 + sinn n a.

Convergence ssi

a)b=-2ln2,a=-5 2 +3 2 ln2; b)a=b= 1; c)a=betc=a 2 ; d)a=3 2 ; e)a?= 0; f)a >1.

Exercice 7

´Etudier la nature des s´eriesPun:

a)un= (-1)nlnn n

2;b)un=(-1)n+ 1

2;c)un= (-1)nlnn

n d)un= (-1)n(⎷ n

2+ 1-n) ;e)un=s

1 + (-1)n n -1 ;f)un= (-1)ne-(1+1 2 +···+1 n g)un=(-1)n p n+ (-1)n, n >1 ;h)un=1 n+ (-1)n⎷ n , n >1 ;i)un=(-1)n n 2 3 + (-1)nn1 3 j)un=(-1)n n-lnn;k)un=cosn n

2;l)un=e-ancosn.

a) Convergence. b) Convergence. c) Convergence. d) Convergence. e) Divergence. f) Conver- gence. g) Convergence. h) Divergence. i) Divergence. j) Convergence. k) Convergence. l) Diver- gence 2

Exercice 8

1. En utilisant la r`egle de Cauchy, ´etudier la nature de la s´eriePund´efinie par :

u 2n=1 2 n, u2n+1=1 2 n+2.

La r`egle de D"Alembert permet-elle de conclure?

2. Mˆeme question pour la s´erie

Pund´efinie parun=1

2 n+(-1)n.

1) Convergence. 2) Convergence.

Exercice 9

1. Montrer que la suite de terme g´en´eralxnet la s´erie de terme g´en´eralun=xn-xn-1sont

de mˆeme nature.

2.Application :Etudier la suite (xn) d´efinie pourn >0 par :xn= 1 +1

2 +···+1 n -lnn et en d´eduire que 1 + 1 2 +···+1 n est ´equivalent au voisinage de l"infini `a lnn.

Exercice 10

1. Soitβun nombre r´eel non nul, on consid`ere le produit :

x n=nY p=1µ

1-β

p D´eterminer, suivant le signe deβ, les limites des suites (lnxn) et (xn) lorsquentend vers l"infini.

2. En d´eduire, selon la valeur deα,α /?N, la nature de la s´erie de terme g´en´eral

y n=α(α-1)...(α-n+ 1) n!,

Exercices donn´es en examen

Exercice 11 extrait du partiel du 26 mars 2005

1. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

u n= sin³ nπ 3 ;un=µ2 +i 3 n ;un= (-1)nln(lnn).

2. Soit la s´erie de terme g´en´eral

u n= lnµ2n+ 1 , n>1. (a) D´eterminer la nature de la s´erie en cherchant un ´equivalent deun. (b) SoitNun entier naturel quelconque. Calculer la somme partiellePN n=1un. Retrouver ainsi la nature de la s´erie. 3

Exercice 12 extrait de l"examen du 17 mai 2005

Etudier la nature des s´eries de terme g´en´eral : u n=(-1)n n +1 n

2;un=⎷

n+ 1-⎷ n;un=2n+ 1000 3 n+ 1;un=e-⎷ n

Exercice 13 extrait de l"examen du 20 juin 2005

Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral : u n=1 n -lnµ 1 +1 n , n>1 ?

Exercice 14 extrait du partiel du 1er avril 2006

1. Les implications suivantes pour une s´erie de terme g´en´eralunsont-elles vraies ou fausses?

- lim n→∞un= 0?la s´erie converge.

- la s´erie de terme g´en´eralunconverge?la s´erie de terme g´en´eral|un|converge´egalement.

- la s´erie de terme g´en´eralun>0 converge?la s´erie de terme g´en´eralu2nconverge

´egalement.

On demande une preuve lorsque l"implication est vraie, un contre-exemple dans le cas contraire.

2. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

u n= sinµn n ;un=µi 2 n ;un=(-1)n n+ lnn;un=e-⎷ n

Exercice 15 extrait du partiel du 31 mars 2007

D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral u n= tanµn2 n ;un=µ1 + 3i 4 n ;un= (-1)nln(n2) n+ 1. 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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Comment calculer la somme d'une série de fonction ?

Comment calculer la somme d'une série numérique ?

Pour calculer la somme d'une série ?nun ? n u n ,

Comment calculer la somme d'une série convergente ?

Universit´e Lille I 2008-2009

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S´eries num´eriques

Somme d"une s´erie

Exercice 1

3-4n, n>3.

Exercice 2

Convergence ssia=-2,b= 1;S=-1.

Exercice 3

Justifier l"´egalit´e :1

1 +x= 1-x+x2+···+ (-1)nxn+ (-1)n+1xn+1

En d´eduire

Exercice 4

2n+ 1, n>0.

1. On d´esigne parsnla somme desnpremiers termes de la s´erie. A l"aide du d´eveloppement

1+x2, calculer

1 +x2dx.

2. En d´eduire la somme

2n+ 1.

Faire comme dans l"exercice 3.S=π

´Etude de la nature d"une s´erie

Exercice 5

´Etudier la nature des s´eriesPun:

α, a >0, α?R;e)un=n!

3, a>0 ;i)un= lnn2+n+ 1

2+n-1;

2-cos1

Exercice 6

2n+ 3;b)un=e1

3+an-⎷

2+ 1 ;

Convergence ssi

Exercice 7

´Etudier la nature des s´eriesPun:

2;b)un=(-1)n+ 1

2;c)un= (-1)nlnn

2+ 1-n) ;e)un=s

2;l)un=e-ancosn.

Exercice 8

1. En utilisant la r`egle de Cauchy, ´etudier la nature de la s´eriePund´efinie par :

La r`egle de D"Alembert permet-elle de conclure?

2. Mˆeme question pour la s´erie

Pund´efinie parun=1

1) Convergence. 2) Convergence.

Exercice 9

1. Montrer que la suite de terme g´en´eralxnet la s´erie de terme g´en´eralun=xn-xn-1sont

2.Application :Etudier la suite (xn) d´efinie pourn >0 par :xn= 1 +1

Exercice 10

1. Soitβun nombre r´eel non nul, on consid`ere le produit :

1-β

2. En d´eduire, selon la valeur deα,α /?N, la nature de la s´erie de terme g´en´eral

Exercices donn´es en examen

Exercice 11 extrait du partiel du 26 mars 2005

1. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

2. Soit la s´erie de terme g´en´eral

Exercice 12 extrait de l"examen du 17 mai 2005

2;un=⎷

Exercice 13 extrait de l"examen du 20 juin 2005

Exercice 14 extrait du partiel du 1er avril 2006

1. Les implications suivantes pour une s´erie de terme g´en´eralunsont-elles vraies ou fausses?

´egalement.

2. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

Exercice 15 extrait du partiel du 31 mars 2007