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MPSI du lyc´ee Rabelais

http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 11 septembre 2015

CALCULS ALG´EBRIQUES

Sommes et produits finis

Exercice 1 :Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies? 1. n? i=1(α+ai) =α+n? i=1a i 2. n? i=1(ai+bi) =n? i=1a i+n? i=1b i 3. n? i=1αa i=αn? i=1a i4. n? i=1(aibi) =n? i=1a i×n? i=1b i 5. n? i=1(aibi) =n? i=1? ain i=1b i? 6. n? i=1n j=1a i,j=n? j=1n i=1a i,j Exercice 2 :D´emontrez que pour tout entier natureln?N,

1.S1=n?

k=1k=n(n+ 1) 2

2.S2=n?

k=1k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)

6

3.S3=n?

k=1k

3=n2(n+ 1)2

4.

Exercice 3 :Soitn?N.

1.En utilisant l"´egalit´en+1?

k=1k

2=n+1?

k=1? (k-1) + 1?2, et en d´eveloppant le second membre, retrouvez la valeur de la sommeS1=n? k=0k.

2.Utilisez une m´ethode analogue pour retrouver les valeurs des sommes

S 2=n? k=1k

2etS3=n?

k=1k 3

Exercice 4 :Soitn?N?. Factorisez la somme 1.n+2.(n-1)+···+(n-1).2+n.1.Exercice 5 : Somme de termes en progression arithm´etique -.Soit (uk) une

suite de nombres r´eels en progression arithm´etique. Soit(m,n)?N2tel quem < n.

Montrez que

n? k=mu k=um+un

2×(n-m+ 1).

Exercice 6 :D´emontrez par r´ecurrence que pour tout entier natureln?N? n k=1? k×k!?= (n+ 1)!-1.

Changements d"indice et t´elescopages

Exercice 7 :Soitn?N?.

1.Simplifiez l"expression deUn=n?

k=11 k(k+ 1)

2.Simplifiez l"expression deVn=n?

k=1k(k+ 1)!.

3.Simplifiez l"expression deWn=n?

k=2? 1-1 k2?

Exercice 8 :

`A l"aide d"un changement d"indice, calculez les sommes suivantes.

1.Sn=n?

k=1k2k.On poseraj=k-1.

2.Tn=n?

k=0cos

2?kπ

2n? .En posantj=n-k, on donnera une autre expression de T n; puis on calculera la valeur de2Tn.

Sommes doubles

Exercice 9 :Utilisez les r´esultats de l"Exercice 2pour calculer 1 1.? 2. 4. j

Coefficients du binˆome

Exercice 10 :Au moyen de la formule du binˆome de Newton, d´eveloppezf(x) = (1 +x)n. En d´eduire n k=0? n k? ,n? k=0(-1)k?n k? ,n? k=0k?n k? ,n? k=0(-1)k+1k?n k?

1.D´emontrez que?n

k?? k p? =?n p?? n-p n-k?

2.En d´eduire

S 1=k? p=0? n p?? n-p n-k? ; etS2=n? k=p(-1)n-k?n k?? k p? 2

MPSI du lyc´ee Rabelais

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CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 1 .-1. F; 2. V; 3. V; 4. ARCHIFAUX; 5. F 6. V.? Exercice 2 .-Par r´ecurrence, montrons la troisi`eme assertion : •Initialisation :lorsquen= 0, la somme est index´ee par le vide, elle est nulle.

•H´er´edit´e :Soitn?Ntel quen?

k=1k

3=n2(n+ 1)2

4. Montrons quen+1 h´erite

de cette bonne propri´et´e : n+1? k=1k 3=n? k=1k

3+n+1?

k=n+1k 3=n? k=1k

3+ (n+ 1)3

n2(n+ 1)2

4+ (n+ 1)3where HR comes into play

(n+ 1)24? n

2+ 4n+ 4?

(n+ 1)2(n+ 2)2

4c"est l"identit´ekivabien

•Conclusion :ainsi, la formule est vraie pourn= 0, elle est h´er´editaire `a partir den= 0. Par r´ecurrence, elle est donc vraie pour tout entier naturel.?

Exercice 3 .-

n+1? k=1k

2=n+1?

k=1? (k-1) + 1?2=n+1? k=1(k-1)2+ 2n+1? k=1(k-1) +n+ 1 n? k=0k

2+ 2n?

k=0k+ (n+ 1).`a l"aide des chgts d"indice?=k-1 puisk=?

On reconnaitS1au second membre. Il s"ensuit que

S 1=12? n+1? k=1k 2-n? k=0k

2-(n+ 1)?

12? (n+ 1)2-0-(n+ 1)? =n(n+ 1) 2 Pour le calcul deS2etS3, on utilise la mˆeme astuce dans le calcul den+1? k=1k 3et n+1? k=1k

4.?Exercice 4 .-La difficult´e r´eside essentiellement dans l"´ecriture de cette somme

finie `a l"aide d"un?.

1.n+ 2.(n-1) +···+ (n-1).2 +n.1 =n?

k=1k(n+ 1-k) = (n+ 1)n? k=1k-n? k=1k 2 = (n+ 1)S1-S2=n(n+ 1)(n+ 2) 6

Exercice 6 .-

•Initialisation :pourn= 1, on a bien 1×1! = 2!-1.

•H´er´edit´e :Soitn?N?tel quen?

k=1k×k! = (n+1)!-1. Montrons quen+1 h´erit´e de cette bonne propri´et´e : n+1? k=1(k×k!) =n? k=1k×k! + (n+ 1)×(n+ 1)! = (n+ 1)!-1 + (n+ 1)×(n+ 1)! HR inside! = (n+ 1)!×?1 + (n+ 1)?-1 = (n+ 2)!-1 •Conclusion :par r´ecurrence, on a prouv´e que pour tout entiern?N?, n k=1k×k! = (n+ 1)!-1.

Exercice 7 .-

1.•il s"agit de faire apparaitre1

k(k+ 1)comme diff´erence de deux termes cons´ecutifs d"une mˆeme suite, pour pouvoir t´elescoper. Pour sefaire, on ´ecrit 1 sous la forme 1 = (k+ 1)-k. Puis ¸ca roule! 3

•Remarquez en ce cas que pour toutk?N?,

k (k+ 1)!=(k+ 1)-1 (k+ 1)!=1 k!-1 (k+ 1)! •On factorise puis on s´epare ce produit en deux, ce qui permet de faire apparaˆıtre deux produits t´elescopiques : P n=n? k=2? 1 +1 k?? 1-1 k? =n? k=2? 1 +1 k? n? k=2? 1-1 k? n? k=2k+ 1 kn k=2k-1 k=?3

2×4

3··· ×n+ 1

n?? 1

2×2

3× ··· ×n-1

n? n+ 1

2×1

n=n+ 1 2n. Exercice 8 .- 1.Le changement d"indicej=k-1 donne : S n=n-1? j=0(j+ 1)2j+1=n-1? j=0j2j+1+n-1? j=02 j+1= 2n-1? j=0j2j+ 2n-1? j=02 j. Dans la deuxi`eme somme, on reconnaˆıt une progression g´eom´etrique. Pour la premi`ere, on ´ecrit : n-1? j=0j2j=n-1? j=1j2j=( (n? j=1j2j) )-n2n=Sn-n2n.

Par cons´equent,

S n= 2(Sn-n2n) + 21-2n

1-2= 2Sn-n2n+1+ 2n+1-2.

On en d´eduit que :Sn= (n-1)2n+1+ 2.

2.Le changement d"indicej=n-kpermet d"´ecrire :

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