Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 3 Formes
Formes canoniques compagnes. Propriétés structurelles Nota : si la paire (A B) est commandable ... La forme compagne de commande : algorithme.
Liens entre fonction de transfert et représentations détat dun système
(formes canoniques de la représentation d'état) ?Forme canonique de commandabilité ... Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les.
Cours dAutomatique ELEC4 Table des mati`eres
1.3 Forme canonique commandable . 4 Décomposition canonique dans l'espace d'état ... 4.2 Décomposition d'un syst`eme non commandable .
Cours dAutomatique des systèmes Actionnés - Partie 2 : Analyse et
Relation entre représentation d'état et fonction de transfert. IX. Formes standard de représentation d'état. 1. Forme canonique commandable. 2. Forme modale.
CRONE CONTROL
Forme compagne (ou canonique) commandable La forme canonique est obtenue l'aide du changement de variable x = Tz où T.
Commande dans lespace détat
Cas des systèmes multivariables commandables ?Un système complètement commandable admet une forme canonique de commandabilité.
Cours Aut106
3.5 Relations entre formes canoniques. 3.5.1 Dualité. AoBo
Analyse et correction des Systèmes linéaires continus ou
3.2 Que faire si un syst`eme n'est pas observable et/ou commandable . 4.5 Transformation en la forme canonique d'observabilité .
Analyse et correction des Systèmes linéaires continus ou
3.2 Que faire si un syst`eme n'est pas observable et/ou commandable . 4.5 Transformation en la forme canonique d'observabilité .
REPRESENTATION DETAT DES SYSTEMES 1. INTRODUCTION
Dans le traitement moderne de la théorie de la commande différentes formes pour le modèle d'état sont considérées : – La forme canonique commandable.
24 Obtention d’une forme canonique à partir d’une
2 4 1 Première forme canonique de commandabilité Pour obtenir la première forme canonique de commandabilité à partir d’une représentation d’état quelconque on calcule d’abord la matrice de commandabilité Mco Mco=[ B AB A n-1B] Si le système est commandable on calcule l’inverse de Mco Avec Mco-1= ? où q ? ?
24 Obtention d’une forme canonique à partir d’une représentation d
commandable et observable Dans ce cas on utilise la notation : LES FORMES CANONIQUES D’ETAT Le fait de disposer de diffrentes repré ésentations dtat pour un m’é ême système car levecteur d’état n’est pas unique est un avantage qui va permettre d’utiliser des formes particulières de la
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observable et commandable d’un syst`eme La repr´esentation d’´etat associ´ee `a une fonction de transfert o`u des simpli?cations pˆoles-z´eros interviennent est non commandable ou non observable suivant le choix des variables d’´etat Exemple : x1 x2 1 p+2 1 p+1 3 +1 ?3 y1 y2 y x3 ? ? ? + + u + + +
Exercice 1
Enoncé
Exercice 2
Enoncé
Comment obtenir les formes canoniques de commandabilité ?
Obtention des formes canoniques de commandabilité Pour obtenir les formes canoniques de commandabilité, il faut vérifier d’abord si le système est commandable. C.à.d., on calcule la matrice Mco puis la matrice W, si W est de rang plein alors le système est commandable.
Comment calculer la première forme canonique de commandabilité ?
Pour obtenir la première forme canonique de commandabilité à partir d’une représentation d’état quelconque, on calcule d’abord la matrice de commandabilité Mco. (8) 2.4.2 Première forme canonique d’observabilité
Qu'est-ce que la forme canonique ?
La forme canonique est une forme qui dans sa construction précède la factorisation si elle est possible. De cette forme, on peut tirer plusieurs informations, si le trinôme s'annule et combien de fois, graphiquement une idée de la courbe associée. La formule du discriminant et son utilisation découle de la forme canonique d'où son intérêt.
Quel est l’intérêt de la forme canonique?
INTÉRÊT DE LAFORME CANONIQUE : VARIATIONS DE LA FONCTION TRINÔME La forme canoniquepermet d’obtenir le tableau de variationsde la fonction polynôme du second degré.
Cours Aut106
Automatisme Industriel
Références:
Henri Bourlès, "Systèmes linéaires", Hermès-sciences, 2006 ou Henri Bourlès, "Linear Systems", ISTE-Wiley, 2010AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
21 Introduction1.1 Contenu du cours
Formalisme d'état :
développé depuis lafin des années 1950 (Bellman, Kalman, Pontriaguine, ...)• Plus proche de la physique que les fonctions de transfert Plus général (systèmes multivariables, non linéaires, ...) Plusfiable pour les calculs (systèmes de grande dimension)AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
3Commande échantillonnée
(ou à temps discret) Développée depuis le début des années 1950 (Tsypkin, Jury, ...) Nécessaire pour la mise en oeuvre par calculateur Vision unitaire commande continue/commande discrète : Développée depuis le début des années 1990.AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
41.2 Objectifs :
Maîtriser des méthodes de conception de régulateurs plus efficaces que le PID Avoir une meilleure compréhension de la structure des systèmesCerner le possible
Aborder la mise en oeuvre (par calculateur)
Gérer le compromis incertitudes de modèle/performanceIntroduction à la robustesse
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52 Fonctions de transfert2.1 Transformée de Laplace
:R "petit voisinage" de [0+[Transformée de Laplace de
:L()=ˆ:C:ˆ()=Z
0 ={C:Re()} abscisse de convergence.Propriétés:
L est C -linéaire.AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
62.1.1 Transformées de Laplace usuelles
1 1 0 1 v 1() 1 w p h 1() +1 h sin()1() 2 2 h cos()1() 2 2 gx gw vˆ()(0 R() 1AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
7A conditions initiales nulles:
gw vˆ() R 0 1 Si :R alorsL()=ˆ:C
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8Théorème d'échange
:R "petit voisinage" de [0+[ ()()=0 pour 0 ("signaux à support positif).Produit de convolution de
et =:Z ()()=Z 0Alors:
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92.2 Transformée de Fourier:
:RRF:RC:F()=Z
si l'intégrale converge. Alors:F()=ˆ()
Tranformée inverse:
()=1 2ZEn abrégé:
F 1 =1 2 FAUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
102.3 Fonctions de transfert
Système
Entrée u
Sortie y
Entrée:
sortie: fonction de transfert du système.Ou encore:
Entrée:
:[0+[R +conditions initiales nulles sortie :[0+[R:AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
113 Formalisme de la représentation
d'état3.1 Système d'état linéaire stationnaire :Système
décrit par une équation différentielle (linéaire) ("équation d'état") "équation de sortie" (linéaire):état ;
commande ; sortie ; "ordre" du systèmeSystème monovariable si
==1Mono-entrée :
=1; mono-sortie : =1AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
12Schéma général :
Sorties
Entrées
Variables internes
Variables internes et externes
Entrées, sorties : variables internes.
Composantes de l'état : variables externes
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133.1.1 Changement de base dans l'espace d'état
Soit unematricecarréeinversiblededimension nombre de composantes deNouvel état :
tel que 1 1AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
143.2 Exemples
3.2.1 Chariot soumis à une force
y M A fChariot
gw= 2 gw 2AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
15Entrée du système :
Equation d'état :
gw =0010¸
1 0¸Etat :
Forme de l'équation d'état :
AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
16Equation de sortie :
+0De la forme :
Si pas de capteur de vitesse : la variable d'état estnon mesuréeAUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
173.2.2 Moteur à courant continu
Armature
V R Le i JChamp constant
Moteur à courant continu
Equation mécanique :
gw couple moteur ; couple résistant) "frottement visqueux" :Equation électrique :
gw courant rotorique)AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
18Interaction électro-mécanique :
Loi de Faraday :
gw =flux magnétique dans les enroulements du rotor. est constant par rapport au stator ; il varie proportionnellement à par rapport au rotor. D où : est la "constante du moteur"Puissance échangée :
(expression électrique) (expression mécanique) d'où :AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
19Bilan des relations obtenues
gw= M$+ Ml gl gw= Ol O$+1Etat :
Equation d'état :
01 0 0 MN M 0 O O 0 0 1Equation de sortie (si
position angulaire) : = système (linéaire) d'ordre 3AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
203.3 Forme à gauche et réalisation canonique observable
3.3.1 "Forme à gauche"
: opérateur de dérivation gwForme à gauche d'un système monovariable :
1 1 0 1 1 : sortie ; :entrée; : "ordre" de la forme à gaucheFonction de transfert :
variable de Laplace (C)Conditions intiales nulles
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213.3.2 Exemple : circuit RLC
B A R L C V i V R V L V CCircuit RLC
Loi des mailles :
gw 1 R 2 gw 2 Ogl gw 1 1 gw Avec et : "forme à gauche" du second ordre : 2 O C+ 1 1AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
223.3.3 Réalisation canonique observable (cas
0 =0=2 2 1 1 2 2 =0 1 1 1 1 2 2 2 1 b 2 b 2 a 1 a u 2 x 2 x 1 x 1 xyAUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
23Ecriture de la forme d'état : états = sorties des intégrateurs 1 1 1 2 1 2 2 1 +0+ 2 1 quelconque : 1
10···0
2 0 0 0 0100···0
1 "Forme canonique observable" "forme à gauche"AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
24Cas du circuit RLC :
1 O >d 2 1 1 1 2 =0 O 1 1 0¸ 1 0¸Etats :
1 2 pas de signification physiqueAUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
253.4 Forme à droite et réalisation canonique commandable
3.4.1 "Forme à droite"
= "état partiel" ou "pseudo-état" et : polynômes tels que précédemmentSauf cas particulier,
n'a pas de signification physique Fonction de transfert : à conditions initiales nullesAUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
263.4.2 Exemple : circuit RLC
B A R L C V i V R V L V CCircuit RLC
charge) gw 2 gw 2 1 où 1 2 O C+ 1 (même définition que dans le cas de la "forme à gauche")AUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
273.4.3 Réalisation canonique commandable
y u 1 a 2 x 1 x 2 a 1 b 2 bAUT 106 - Henri Bourlès - CNAM
28Réécriture de
=h 1 (1) iDéfinition de l'état :
(1) 1 210···00
01 0 00010 1 0 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] matrice de trace nulle probleme
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