[PDF] Cours Aut106 3.5 Relations entre formes





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Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 3 Formes

Formes canoniques compagnes. Propriétés structurelles Nota : si la paire (A B) est commandable ... La forme compagne de commande : algorithme.



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3.2 Que faire si un syst`eme n'est pas observable et/ou commandable . 4.5 Transformation en la forme canonique d'observabilité .



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REPRESENTATION DETAT DES SYSTEMES 1. INTRODUCTION

Dans le traitement moderne de la théorie de la commande différentes formes pour le modèle d'état sont considérées : – La forme canonique commandable.



24 Obtention d’une forme canonique à partir d’une

2 4 1 Première forme canonique de commandabilité Pour obtenir la première forme canonique de commandabilité à partir d’une représentation d’état quelconque on calcule d’abord la matrice de commandabilité Mco Mco=[ B AB A n-1B] Si le système est commandable on calcule l’inverse de Mco Avec Mco-1= ? où q ? ?



24 Obtention d’une forme canonique à partir d’une représentation d

commandable et observable Dans ce cas on utilise la notation : LES FORMES CANONIQUES D’ETAT Le fait de disposer de diffrentes repré ésentations dtat pour un m’é ême système car levecteur d’état n’est pas unique est un avantage qui va permettre d’utiliser des formes particulières de la



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observable et commandable d’un syst`eme La repr´esentation d’´etat associ´ee `a une fonction de transfert o`u des simpli?cations pˆoles-z´eros interviennent est non commandable ou non observable suivant le choix des variables d’´etat Exemple : x1 x2 1 p+2 1 p+1 3 +1 ?3 y1 y2 y x3 ? ? ? + + u + + +

  • Exercice 1

    Enoncé

  • Exercice 2

    Enoncé

Comment obtenir les formes canoniques de commandabilité ?

Obtention des formes canoniques de commandabilité Pour obtenir les formes canoniques de commandabilité, il faut vérifier d’abord si le système est commandable. C.à.d., on calcule la matrice Mco puis la matrice W, si W est de rang plein alors le système est commandable.

Comment calculer la première forme canonique de commandabilité ?

Pour obtenir la première forme canonique de commandabilité à partir d’une représentation d’état quelconque, on calcule d’abord la matrice de commandabilité Mco. (8) 2.4.2 Première forme canonique d’observabilité

Qu'est-ce que la forme canonique ?

La forme canonique est une forme qui dans sa construction précède la factorisation si elle est possible. De cette forme, on peut tirer plusieurs informations, si le trinôme s'annule et combien de fois, graphiquement une idée de la courbe associée. La formule du discriminant et son utilisation découle de la forme canonique d'où son intérêt.

Quel est l’intérêt de la forme canonique?

INTÉRÊT DE LAFORME CANONIQUE : VARIATIONS DE LA FONCTION TRINÔME La forme canoniquepermet d’obtenir le tableau de variationsde la fonction polynôme du second degré.

Cours Aut106

Automatisme Industriel

Références:

Henri Bourlès, "Systèmes linéaires", Hermès-sciences, 2006 ou Henri Bourlès, "Linear Systems", ISTE-Wiley, 2010

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1 Introduction1.1 Contenu du cours

Formalisme d'état :

développé depuis lafin des années 1950 (Bellman, Kalman, Pontriaguine, ...)• Plus proche de la physique que les fonctions de transfert Plus général (systèmes multivariables, non linéaires, ...) Plusfiable pour les calculs (systèmes de grande dimension)

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Commande échantillonnée

(ou à temps discret) Développée depuis le début des années 1950 (Tsypkin, Jury, ...) Nécessaire pour la mise en oeuvre par calculateur Vision unitaire commande continue/commande discrète : Développée depuis le début des années 1990.

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1.2 Objectifs :

Maîtriser des méthodes de conception de régulateurs plus efficaces que le PID Avoir une meilleure compréhension de la structure des systèmes

Cerner le possible

Aborder la mise en oeuvre (par calculateur)

Gérer le compromis incertitudes de modèle/performance

Introduction à la robustesse

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2 Fonctions de transfert2.1 Transformée de Laplace

:R "petit voisinage" de [0+[

Transformée de Laplace de

:L()=ˆ:C:

ˆ()=Z

0 ={C:Re()} abscisse de convergence.

Propriétés:

L est C -linéaire.

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2.1.1 Transformées de Laplace usuelles

1 1 0 1 v 1() 1 w p h 1() +1 h sin()1() 2 2 h cos()1() 2 2 gx gw vˆ()(0 R() 1

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A conditions initiales nulles:

gw vˆ() R 0 1 Si :R alors

L()=ˆ:C

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Théorème d'échange

:R "petit voisinage" de [0+[ ()()=0 pour 0 ("signaux à support positif).

Produit de convolution de

et =:Z ()()=Z 0

Alors:

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2.2 Transformée de Fourier:

:RR

F:RC:F()=Z

si l'intégrale converge. Alors:

F()=ˆ()

Tranformée inverse:

()=1 2Z

En abrégé:

F 1 =1 2 F

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2.3 Fonctions de transfert

Système

Entrée u

Sortie y

Entrée:

sortie: fonction de transfert du système.

Ou encore:

Entrée:

:[0+[R +conditions initiales nulles sortie :[0+[R:

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3 Formalisme de la représentation

d'état3.1 Système d'état linéaire stationnaire :

Système

décrit par une équation différentielle (linéaire) ("équation d'état") "équation de sortie" (linéaire):

état ;

commande ; sortie ; "ordre" du système

Système monovariable si

==1

Mono-entrée :

=1; mono-sortie : =1

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Schéma général :

Sorties

Entrées

Variables internes

Variables internes et externes

Entrées, sorties : variables internes.

Composantes de l'état : variables externes

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3.1.1 Changement de base dans l'espace d'état

Soit unematricecarréeinversiblededimension nombre de composantes de

Nouvel état :

tel que 1 1

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3.2 Exemples

3.2.1 Chariot soumis à une force

y M A f

Chariot

gw= 2 gw 2

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Entrée du système :

Equation d'état :

gw =00

10¸

1 0¸

Etat :

Forme de l'équation d'état :

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Equation de sortie :

+0

De la forme :

Si pas de capteur de vitesse : la variable d'état estnon mesurée

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3.2.2 Moteur à courant continu

Armature

V R Le i J

Champ constant

Moteur à courant continu

Equation mécanique :

gw couple moteur ; couple résistant) "frottement visqueux" :

Equation électrique :

gw courant rotorique)

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Interaction électro-mécanique :

Loi de Faraday :

gw =flux magnétique dans les enroulements du rotor. est constant par rapport au stator ; il varie proportionnellement à par rapport au rotor. D où : est la "constante du moteur"

Puissance échangée :

(expression électrique) (expression mécanique) d'où :

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Bilan des relations obtenues

gw= M$+ Ml gl gw= Ol O$+1

Etat :

Equation d'état :

01 0 0 MN M 0 O O 0 0 1

Equation de sortie (si

position angulaire) : = système (linéaire) d'ordre 3

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3.3 Forme à gauche et réalisation canonique observable

3.3.1 "Forme à gauche"

: opérateur de dérivation gw

Forme à gauche d'un système monovariable :

1 1 0 1 1 : sortie ; :entrée; : "ordre" de la forme à gauche

Fonction de transfert :

variable de Laplace (C)

Conditions intiales nulles

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3.3.2 Exemple : circuit RLC

B A R L C V i V R V L V C

Circuit RLC

Loi des mailles :

gw 1 R 2 gw 2 Ogl gw 1 1 gw Avec et : "forme à gauche" du second ordre : 2 O C+ 1 1

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3.3.3 Réalisation canonique observable (cas

0 =0=2 2 1 1 2 2 =0 1 1 1 1 2 2 2 1 b 2 b 2 a 1 a u 2 x 2 x 1 x 1 xy

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Ecriture de la forme d'état : états = sorties des intégrateurs 1 1 1 2 1 2 2 1 +0+ 2 1 quelconque : 1

10···0

2 0 0 0 01

00···0

1 "Forme canonique observable" "forme à gauche"

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Cas du circuit RLC :

1 O >d 2 1 1 1 2 =0 O 1 1 0¸ 1 0¸

Etats :

1 2 pas de signification physique

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3.4 Forme à droite et réalisation canonique commandable

3.4.1 "Forme à droite"

= "état partiel" ou "pseudo-état" et : polynômes tels que précédemment

Sauf cas particulier,

n'a pas de signification physique Fonction de transfert : à conditions initiales nulles

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3.4.2 Exemple : circuit RLC

B A R L C V i V R V L V C

Circuit RLC

charge) gw 2 gw 2 1 où 1 2 O C+ 1 (même définition que dans le cas de la "forme à gauche")

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3.4.3 Réalisation canonique commandable

y u 1 a 2 x 1 x 2 a 1 b 2 b

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Réécriture de

=h 1 (1) i

Définition de l'état :

(1) 1 2

10···00

01 0 00010 1 0 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
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