Analyse et correction des Systèmes linéaires continus ou PDF

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REPRESENTATION DETAT DES SYSTEMES 1. INTRODUCTION

Dans le traitement moderne de la théorie de la commande différentes formes pour le modèle d'état sont considérées : – La forme canonique commandable.

24 Obtention d’une forme canonique à partir d’une

2 4 1 Première forme canonique de commandabilité Pour obtenir la première forme canonique de commandabilité à partir d’une représentation d’état quelconque on calcule d’abord la matrice de commandabilité Mco Mco=[ B AB A n-1B] Si le système est commandable on calcule l’inverse de Mco Avec Mco-1= ? où q ? ?

24 Obtention d’une forme canonique à partir d’une représentation d

commandable et observable Dans ce cas on utilise la notation : LES FORMES CANONIQUES D’ETAT Le fait de disposer de diffrentes repré ésentations dtat pour un m’é ême système car levecteur d’état n’est pas unique est un avantage qui va permettre d’utiliser des formes particulières de la

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Exercice 1
Enoncé
Exercice 2
Enoncé

Comment obtenir les formes canoniques de commandabilité ?

Obtention des formes canoniques de commandabilité Pour obtenir les formes canoniques de commandabilité, il faut vérifier d’abord si le système est commandable. C.à.d., on calcule la matrice Mco puis la matrice W, si W est de rang plein alors le système est commandable.

Comment calculer la première forme canonique de commandabilité ?

Pour obtenir la première forme canonique de commandabilité à partir d’une représentation d’état quelconque, on calcule d’abord la matrice de commandabilité Mco. (8) 2.4.2 Première forme canonique d’observabilité

Qu'est-ce que la forme canonique ?

La forme canonique est une forme qui dans sa construction précède la factorisation si elle est possible. De cette forme, on peut tirer plusieurs informations, si le trinôme s'annule et combien de fois, graphiquement une idée de la courbe associée. La formule du discriminant et son utilisation découle de la forme canonique d'où son intérêt.

Quel est l’intérêt de la forme canonique?

INTÉRÊT DE LAFORME CANONIQUE : VARIATIONS DE LA FONCTION TRINÔME La forme canoniquepermet d’obtenir le tableau de variationsde la fonction polynôme du second degré.

Analyse et correction des

Systèmes linéaires continus ou

échantillonnés à l"aide des

variables d"état

Gonzalo Cabodevila

gonzalo.cabodevila@femto-st.fr

2ème année

Semestre vert

Automatique avancée

filière EAOI

École Nationale Supérieure de

Mécanique et des Microtechniques

26, chemin de l'Épitaphe

25030 Besançon cedex - FRANCE

http://intranet-tice.ens2m.fr

Table des matieres

1 Exemple introductif : l rouge 7

1.1 Dierentes representations d'un systeme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4 Representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Proprietes de la representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Non unicite de la representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Inter^et de cette representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Resolution des equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3 Generalisation aux systemes variants dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 Simulation sur calculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Obtention des equations d'etat 17

2.1 Methode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 A partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Forme 1 : forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Forme 2 : forme canonique d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Representation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Forme canonique de Jordan (forme diagonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Commandabilite et observabilite des systemes 25

3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Que faire si un systeme n'est pas observable et/ou commandable . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Reduction de modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Transformation en l'une des formes canoniques 29

4.1 Diagonalisation de la matriceA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4.2 Consequences pour la commandabilite et l'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Cas des valeurs propres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1 Diagonalisation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2 Transformation modiee :Tm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.4 Transformation en la forme canonique d'asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Transformation en la forme canonique d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
3

4TABLE DES MATIERES

5 Stabilite des systemes dynamiques lineaires 35

5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Etude de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Interpretation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Applications aux systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Fil rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Commande des systemes 39

6.1 Placement de p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Calcul du regulateurL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

6.1.2 Calcul de la matrice de preltreS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

6.2 Cas d'une representation quelconque du systeme a asservir . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Transformation en la forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . .

6.2.2 Theoreme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Commande Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Methode de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Choix des p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 P^oles complexes conjugues dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2 Maximalement plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.3 P^oles a partie reelle identique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.4 Polyn^omes de Naslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 Stabilite de la commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.3 Choix des matriceRetQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

6.5.4 Exemple : l rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Synthese d'observateurs d'etat 51

7.1 Introduction au probleme de la reconstruction d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.1 Par calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.2 Par simulation du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.3 Par simulation du processus et asservissement sur les parties connues du vecteur

d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2 Observateurs de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Observateurs d'ordre reduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Observateur generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5 Equation d'etat d'un systeme asservi avec observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.1 Theoreme de separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Filtrage de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Representation d'etat des systemes lineaires echantillonnes 59

8.1 Systeme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 Resolution des equations dans le domaine du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Application de la transformee enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

8.4 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5 Obtention d'un modele d'etat a partir de la fonction de transfert enz. . . . . . . . .61

8.6 Resolution de l'equation d'etat dans le domaine dez. . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

8.7 Commandabilite et observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI

ERES5

8.7.1 Commandabilite d'un systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.7.2 Observabilite d'un systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.8 Stabilite des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.9 Commandes des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.9.1 Calcul de la matrice de preltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.9.2 Commande optimale dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Annales d'examens 65

Devoir personnel Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Examen nal Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Examen nal Juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Travaux diriges75

I Annexes89

A Quelques publications originales 91

6TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Exemple introductif : l rouge

1.1 Dierentes representations d'un systeme physique

Soit un moteur a courant continu commande par l'inducteur.I= cteJ;fi u Figure1.1 { Moteur a courant continu commande par l'inducteur commande : u sortie : ! Le systeme est monovariable, lineaire invariant dans le temps, il peut donc ^etre represente par une equation dierentielle a coecients constants.

1.1.1 Equations dierentielles

Le systeme represente en gure 1.1 est decrit par les equations suivantes : u=Ri+Ldidt (1.1) J d!dt +f!= (1.2) =ki(1.3) J d2!dt

2+fd!dt

=kdidt =kL (uRi) =kL uRk d!dt +f! (1.4) J d2!dt 2+ f+RJL d!dt +RfL !=kL u(1.5) d 2!dt 2+fJ +RL d!dt +RfLJ !=kLJ u(1.6) d 2!dt

2+a1d!dt

+a0!=b0u(1.7) Des lors!(t) est connu si u(t) et les deux conditions initiales (!(0) etd!(0)dt ) sont connues. 7

8CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE

1.1.2 Fonction de transfert

En utilisant la transformation de Laplace :

L[e(t)] =Z

1 0 epte(t)dt;(1.8) L de(t)dt =pE(p)e(0);(1.9) nous obtenons la transformee de (1.7) : p 2 (p)p (0)_ (0) +a1(p (p) (0) +a0 (p) =b0U(p) (1.10) d'ou : (p) =b0p

2+a1p+a0U(p) +

(0)(a1+p) +_ (0)p

2+a1p+a0(1.11)

Si les conditions initiales sont nulles :

(p) =b0p

2+a1p+a0U(p) (1.12)

(p)U(p)=b0p

2+a1p+a0=H(p) (1.13)

H(p) est la fonction de transfert du systeme.

1.1.3 Reponse impulsionnelle