Problème : Matrices de trace nulle et matrices nilpotentes Dans ce
— Hn désigne l'ensemble des matrices Mn de trace nulle. Préliminaires. On rappelle qu'une matrice M ? Mn est nilpotente s'il existe p ? N tel que Mp = On.
SUR LES MATRICES A TRACE NULLE ET APPLICATIONS
4 juin 2014 domaines que se soit en mathématiques tels que problèmes ... Mots clef : Matrices à trace nulle commutateurs
Ecole supérieure de plasturgie Math 1 problème 1 concours 2002
Math 1 problème 1 1. a) Le calcul du produit des deux matrices donnent J2 = (0) donc v2 = 0 ... Soit une matrice A 2 Mn (R) de trace nulle .
MPSI 2 : DL 07
On en déduit que ?D(M) est une matrice de trace nulle et donc que Im ?D ? D0 (ensemble des matrices de trace nulle). Réciproquement
Dans tout ce problème n est un entier au moins égal à 1. On note M
une matrice dans U alors AX est soit la matrice nulle soit une matrice colonne propre pour toute [M
EPREUVE DE MATHEMAnQUES
Pour faire les deux problèmes qui sont indépendants. 8" Montrer que si A E Mn(IW) est une matrice de trace nulle
Réduction
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. Correction ?. [005662]. Exercice 13 ****.
Exercices de Khôlles de Mathématiques troisième trimestre
Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle. 2. Montrer qu'il existe deux matrices X et Y de Mn(K) de trace nulle qui vérifient A = XY ? Y X
AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Devoir en Salle
(3) On se propose de montrer que toute matrice 2 × 2 de trace nulle est semblable votre livre d'exo favori (cette propriété est (comme dans ce problème).
Probl`eme I — commutateurs et endomorphismes de trace nulle
28 nov. 2019 On consid`ere de telles matrices U et V dans la suite. Question 8. Montrer l'existence de ? ? C tel que la matrice U ? ?In?1 soit inversible.
DM no18 - CNRS
On se propose de montrer que toute matrice de taille nde trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coe cients sont nuls On procède par récurrence le résultat étant clair en dimension 1 et ayant été montré en dimension 2 On considère donc n?N?tel que toute matrice de taille au plus nde trace nulle est semblable à une
Vecteurs et matrices
Exercice 21 4 Soit A une matrice de M n(K) de trace nulle 1 Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle 2 Montrer qu'il existe deux matrices X et Y de M n(K) de trace nulle qui véri ent A = XY ?YX Solution 22 Semaine 22 - Calculs de primitives calculs de rangs matrices Khôlleur: Mme Miquel Exercice 22 1 (Oral Ulm
SUR LES MATRICES A TRACE NULLE ET APPLICATIONS
La deuxième s'intéresse à l'application de ces matrices aux différents domaines que se soit en mathématiques tels que problèmes d'approximation par les matrices à trace nulle ou en physique telles que les équations de Pauli Dirac etc et le tenseur de Maxwell
Exo7 - Exercices de mathématiques
4 Trouver les valeurs propres d’une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme: toute permutation se décompose de manière unique à l’ordre près des facteurs en produit de cycles à supports disjoints) Correction H [005669] Exercice 20 *** Décomposition de DUNFORD
Problème I : Caractérisation des matrices de trace nulle
Problème I : Caractérisation des matrices de trace nulle Partie I : Matrices de diagonale nulle On admettra le résultat suivant : Un endomorphime u d’un K-ev tel que ?x ? E(xu(x)) est une famille liée est une homothétie vectorielle c’est-à-dire qu’il existe k ? K tel que u = kId E Soit n ? N? et A ? M n(K) telle
Qu'est-ce que la matrice nulle?
La matrice de taillen pdont tous les coef?cients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée 0n,pou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels, c’est l’élément neutre pour l’addition. 4.2. Produit de matrices Dé?nition(Produit de deux matrices).
Comment calculer la trace d'une matrice ?
Pour une matrice 2 × 2 , la trace est 2 cos ? , et pour une matrice 3 × 3 , elle est 1 + 2 cos ? . Dans le cas tridimensionnel, le sous-espace est constitué de tous les vecteurs perpendiculaires à l'axe de rotation (la direction invariante, de valeur propre 1).
Comment créer une matrice nulle ?
Si on peut créer une matrice nulle alors on peut en effet créer une matrice ne contenant que des « 1 ». Ceci est réalisable en utilisant la fonction ones (). De la même manière, on va créer un tableau de 3 lignes et 4 colonnes. Soit pour la fonction zeros () ou la fonction ones () remarquons qu’on utilise deux paires de parenthèses. 2.2.3.
Comment mettre à zéro une matrice d'identité ?
qui est une matrice d'identité. Ainsi, nous avons décomposé Q comme entrées inférieures à la diagonale à zéro. Nous pouvons les mettre à zéro en étendant la même idée de parcourir les colonnes avec une série de rotations dans une séquence fixe de plans.
Exo7 Réduction
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**SoitA=0
@1 2 2 2 1 22 2 11
A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. @3 0 0 8 4 05 0 11
A @3 1 0 41 04 821 A 1.
Vérifier que An"est pas diagonalisable.
2.Déterminer K er(AI)2.
3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.Calculer Anpournentier naturel donné.
Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il
diagonalisable ? etB=X4X.Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.
Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes
caractéristiques deABetBA. et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0. quefest nilpotent. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. 1.Montrer que (E;)est un groupe
2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2. A ACalculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si
Aest diagonalisable.
BBBB@0b:::b
a .........b a:::a01 C CCCA. 2Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour
calculercA, considérerf(x) =X+x b+x:::b+x
a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+x 1.Montrer que 1 est v aleurpropre de A.
2.Soit lune valeur propre deA.
(a)Montrer que jlj61.
(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ? BBBB@0:::0 1
.........0 01 0:::01
C CCCAMontrer queAest diagonalisable.
BBBBBBB@0 1 0:::0
......0 0 ...11 0::: :::01
CCCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.
2.En déduire la v aleurde
a0a1:::an2an1
a n1a0a1an2............ a2...a0a1
a1a2:::an1a0
31.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.
2. (a)Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.
(b) On pose G=fPs;s2Sng. Montrer que(G;)est un groupe isomorphe àSn. 3.Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.
4.T rouverles v aleurspropres d"une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme
: toute permutation se décompose de manière unique à l"ordre près des facteurs en produit de cycles à
supports disjoints). caractéristique est scindé surK.Montrer qu"il existe un couple d"endomorphismes(d;n)et un seul tel quedest diagonalisable,nest nilpotent
netf=d+n. a b:::b b a .........b b:::b a dansC.8x2R,(j(f))(x) =1x
R x0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).
1.Montrer que jest un endomorphisme deE.
2. Etudier l"injecti vitéet la surjecti vitéde j. 3.Déterminer les éléments propres de j.
que pourk2 f1;2;3g,fk=lku+mkv. Montrer quefest diagonalisable. 4 Exercice 26**IRésoudre dansM3(C)l"équationX2=0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A Montrer quefetgsont simultanément trigonalisables. communes si et seulement si la matricecA(B)est inversible. inversible si et seulement siPetcfsont premiers entre eux. BB@1 1 0 0
0 1a00 0 1b
0 0 0 11
C CA. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices M0;0,M0;1,M1;0etM1;1?
BBBB@1 0:::0
2 n0:::01 C CCCA. BBB@0:::0a1.........
0:::0an1
a1:::an1an1
C CCAoùa1,...,ansontnnombres complexes (n>2).Aest-elle diagonalisable? parfdans chacun des cas suivants : 5 1.A=0 @1 11 1 1 11 1 11
A 2.A=0 @2 2 1 1 3 11 2 21
A 3.A=0 @66 5 41 1076 41
A @1 37 2 614 1 371 A
Commutant de
0 @1 01 1 2 12 2 31
AEstable parf. On suppose quefest diagonalisable. Montrer que la restriction defàFest un endomorphisme
diagonalisable deF. entier pair. Correction del"exer cice1 N1ère solution.A=2JI3oùJ=0 @1 1 1 1 1 11 1 11
A . On aJ2=3Jet plus généralement8k2N,Jk=3k1J. Soitn2N. Puisque les matrices 2JetIcommutent, la formule du binôme de NEWTONpermet d"écrire A n= (2JI)n= (I)n+nå k=1 n k (2J)k(I)nk= (1)nI+ nå k=1 n k 2 k3k1(1)nk! J = (1)nI+13 nå k=1 n k 6 k(1)nk!J= (1)nI+13
((61)n(1)n)J 13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A ce qui reste vrai quandn=0.Soit de nouveaun2N.
((1)nI+13 (5n(1)n)J)((1)nI+13 (5n(1)n)J) =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+19 (1(5)n(5)n+1)J2 =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+39 (1(5)n(5)n+1)J=I; et donc A n=13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 AFinalement
8n2Z,An=13
0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A .2ème solution.Puisque rg(A+I) =1, dim(Ker(A+I)) =2 et1 est valeur propre deAd"ordre au moins2. La troisième valeur proprelest fournie par la trace :l11=3 et doncl=5. Par suite,cA=
(X+1)2(X5).De plus,0
@x y z1 A2E1,x+y+z=0 et doncE1=Vect(e1;e2)oùe1=0
@1 1 01 A ete2=0 @1 0 11 ADe même,
0 @x y z1 A2E1,x=y=zetE5=Vect(e3)oùe3=0
@1 1 11 AOn poseP=0
@1 1 1 1 0 1 01 11 A etD=diag(1;1;5)et on aA=PDP1.Calcul deP1. Soit(i;j;k)la base canonique deR3.
8 :e 1=ij e 2=ik e3=i+j+k,8
:j=ie1 k=ie2 e3=i+ie1+ie2,8
>:i=13 (e1+e2+e3) j=13 (2e1+e2+e3) k=13 (e12e2+e3) 7 et doncP1=13 0 @12 1 1 121 1 11
A . Soit alorsn2Z. A n=PDnP1=13 0 @1 1 1 1 0 1 01 11 A0 @(1)n0 00(1)n0
0 0 5 n1 A0 @12 1 1 121 1 11
A 13 0 @(1)n(1)n5n (1)n0 5n0(1)n5n1
A0 @12 1 1 121 1 11
A =13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 Aet on retrouve le résultat obtenu plus haut, le calcul ayant été mené directement avecnentier relatif.
3ème solution.Soitn2N. La division euclidienne deXnparcAfournit trois réelsan,bnetcnet un polynôme
Qtels queXn=cAQ+anX2+bnX+cn. En prenant les valeurs des membres en 5, puis la valeur des deux membres ainsi que de leurs dérivées en1 , on obtient 8 :25an+5bn+cn=5n a nbn+cn= (1)n2an+bn=n(1)n1,8
:b n=2ann(1)n35an+cn=5n(1)n+5n
an+cn=(n1)(1)n,8 >:a n=136 (5n+(6n1)(1)n) c n=136 (5n+(30n+35)(1)n) b n=136 (25n+(24n2)(1)n).Le théorème de CAYLEY-HAMILTONfournit alors
A n=136 1360 (5n+(6n1)(1)n)0 @9 8 8 8 9 8
8 8 91
A +2(5n(12n+1)(1)n)0 @1 2 2 2 1 2quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] anecdote sur anne frank
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