[PDF] Dans tout ce problème n est un entier au moins égal à 1. On note M

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Dans tout ce problème,nest un entier au moins égal à 1. On noteMn,p(C)l"espace vectoriel des

matrices ànlignes etpcolonnes, à coefficients complexes. On identifiera une matrice colonneX(un élément deMn,1(C)) et le vecteur deCndont les composantes dans la base canonique deCnsont les coefficients de la matriceX. PourMdans M n,n(C), on note?Ml"endomorphisme canoniquement associé deCn:?Mest l"endomorphisme de C ndontMest la matrice dans la base canonique deCn. Par ailleurs,Eλ(?M)est l"espace propre associé à la valeur propreλde l"endomorphisme?M. diagonale supérieureDk(M)est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls. SiVetWsont deux espaces supplémentaires deCn, on notepVla projection surVparallèlement àW: pourx=xV+xWavecxV?VetxW?W,pV(x) =xV. Pour un endomorphismeudeCn, on noteuVsa restriction àV. De sorte que siiVreprésente l"injection canonique deVdansCn,uV(y) =u(iV(y))pour toutyde V.

PARTIE I - Algèbres de Lie

On appelle crochet de Lie de deux élémentsXetYdeMn,n(C)la matrice, notée[X,Y], définie par [X,Y] =XY-Y X . Définition 1SoitUun sous-espace vectoriel deMn,n(C). On note[U]l"espace vectoriel engendré par les crochets de Lie[X,Y]lorsqueXetYdécriventU. On dit queUest une algèbre de Lie lorsque [U]? U.

SoitUetVdeux algèbres de Lie qui vérifient

[U]? V ? U. On souhaite démontrer le théorème suivant. Théorème 1SiX?Mn,1(C)est une colonne propre pour toute matriceMdansVet siAest une matrice dansUalorsAXest soit la matrice nulle, soit une matrice colonne propre pour toute matriceMdansV. De plus, si pourM? V,MX=λXalorsM(AX) =λ(AX). SoitX?Mn,1(C)une matrice colonne propre pour toute matriceMdansV, et soitAune matrice deU. 1)

Établir l" existenced"une forme linéaire λsurV, à valeurs dansC, telle que pour toutM? V,

MX=λ(M)X.

2)

Mon trerque p ourtout M? V,[M,A]appartient àV.

On considère la suite de matrices colonnes(Xk)k≥0définie parX0=Xet ?k?NXk+1=AXk. PourMdansV, on considère la suite de nombres complexes(λk(M))k≥0définie parλ0(M) = λ(M)et, pour toutkdansN,λk+1(M) =λk([M,A]). 1

3)Démon trer,p ourtout en tieri≥0et pour toutMdansV, les identités suivantes :

MX i=i? j=0? i j? i-j(M)Xj(1) [M,A]Xi=i? j=0? i j? i-j+1(M)Xj.(2) 4) On iden tifiedoréna vantmatrices colonnes et v ecteursde Cn. Démontrer qu"il existe un plus grand entierqtel que la famille de vecteurs{X0,X1,X2,...,Xq}soit libre. On noteGl"espace vectoriel engendré par la famille{X0,X1,X2,...,Xq}. 5)

Mon trerque

?MG,?AGet^[M,A]Gsont des endomorphismes deG. 6)

Calculer la trace de

^[M,A]G. 7)

Quelle est la matrice de

^[M,A]Gdans la base{X0,X1,X2,...,Xq}? 8)

P ourMdansV, que vautλ([M,A])?

9)

Établir le théorè me1.

PARTIE II - Algèbres de Lie résolubles

Définition 2SoitUune algèbre de Lie etpun entier naturel non nul. On dit queUest une

algèbre de Lie résoluble de longueurplorsqu"il existe des algèbres de LieU0,U1, ...,Uptelles

que : {0}=Up? Up-1? ··· ? U1? U0=U(A) ?i? {0,...,p-1}[Ui]? Ui+1(B) On se propose de montrer le théorème suivant. Théorème 2Uest une algèbre de Lie résoluble si et seulement s"il existe une matriceP inversible telle que, pour toutM? U,P-1MPest triangulaire supérieure. SoitPune matrice inversible deMn,n(C)etTPl"ensemble des matricesMdansMn,n(C) telles queP-1MPsoit triangulaire supérieure. 10) T raduirela propriété " il existe une matrice Pinversible telle que, pour toutMdansU, P -1MPest triangulaire supérieure» en une propriété sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments deU. 11) Mon trerqu eTPest une algèbre de Lie résoluble de longueurn.

1 etn,Nkest l"ensemble des matricesMdansTPtelles que leskdiagonales supérieures

D

0(P-1MP),D1(P-1MP), ...,Dk-1(P-1MP)sont nulles.

Dans les questions 12 à 17, on suppose queUest une algèbre de Lie résoluble de longueur p= 1. 12)

Mon trerqu ep ourtout M,M?dansU, on aMM?=M?M.

13) Soit run entier non nul et une familleM1,M2,...,Mrd"éléments deU. Montrer qu"il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes ?M1,?M2,...,?Mr. 2

14)Mon trerqu"il existe au moins un v ecteurpropre comm unà tous les endomorphismes

?Mpour

MdansU.

On note dorénavant :

?U=??M???M? U? SoitFetHdeux sous-espaces supplémentaires deCnetuetvdeux endomorphismes de C n. De plus, on suppose, d"une part, queFest stable paruetvet, d"autre part, queuetv commutent. 15)

Mon trerles relations suiv antes:

p

Hu=pHupHetpHv=pHvpH.

16) Mon trerqu epHupHetpHvpHcommutent puis quepHuHetpHvHcommutent. 17) En pro cédantpar récurrence sur n, établir le théorème 2 dans le casp= 1. Soit, maintenant,Uune algèbre de Lie résoluble de longueurp >1.

On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur inférieure strictement

àp, il existe un élémentPdansMn,n(C), inversible, tel que pour toute matriceMdans cette algèbre,P-1MPsoit triangulaire supérieure. 18) Mon trerqu"il existe au moins un v ecteurp roprecomm unà tous les endomorphismes ?M,

M? U1.

SoitXl"un de ces vecteurs propres. On noteEl"espace vectoriel engendré parXet les

éléments de la forme

?A1...?AkX oùkest un entier non nul,Aj? Upour toutj. 19) Mon trerque Eest un espace vectoriel stable par tous les éléments de?Uet que tous les éléments deEsont des vecteurs propres communs à tous les endomorphismes de?U1.

SoitMetM?dansU.

20)

Mon trerqu e

^[M,M?]Eest une homothétie de trace nulle. 21)

Que p eut-one ndéduire ?

Le théorème 2, dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonnement qu"aux questions

14 et 17.

3

Deuxième composition - Mines-Ponts 2007 - MPCorrigéDeuxième composition - Mines-Ponts 2007 - MP

PARTIE I - Algèbres de Lie

1) P arh ypothèsesur X, on dispose d"un scalaireλ(M)vérifiant, pour toutMdansV,MX=

λ(M)X. Par linéarité deM?→MX, l"applicationM?→λ(M)Xest linéaire et, puisqueX

est non-nul, on en déduit queλest une forme linéaire surV.2)Soit MdansV. PuisqueV ? U,[M,A]appartient donc à[U]et donc, par hypothèse surV,

[M,A]? V.3)Soit ?l"application linéaire deVdans lui-même donnée par?(M) = [M,A]. On a donc, pour

MdansV,MA=AM+?(M). Soit alors(Hk)le prédicat surNdonné par :?M? V, MA k=k? j=0? k j? A j?k-j(M). Pourk= 0, l"identité s"écritM=?0(M), ce qui traduit?0= Id. Et pourk= 1, l"identité résulte de la définition de?et donc(H0)et(H1)sont vrais. Soit maintenantkdansN?tel que(Hk)est vrai etMdansV. Il vient MA k+1= (AM+?(M))Ak=k? j=0? k j? A j+1?k-j(M) +k? j=0? k j? A j?k-j+1(M) et donc, en réindexant et en utilisant la relation du triangle de Pascal ?k j-1?+?k j?=?k+1 j?, on en déduit que(Hk+1)est vrai.

Soit alorsidansNetMdansV, il vient

MX i=MAiX=i? j=0? i j? A j?i-j(M)X=i? j=0? i j? A jλi-j(M)X et doncMXi=i? j=0? i j? i-j(M)Xj.De plus?(M)Xi=i? j=0? i j? A jλi-j+1(M)Xet donc [M,A]Xi=i? j=0? i j? i-j+1(M)Xj.4)L"ensem ble{i?N|rg(X0,X1,...,Xi) =i+ 1}contient 0 puisqueX0est non nul. Étant non vide et majoré parn, puisqu"on a affaire à des familles de vecteurs deCn, il admet dansG. En ce qui concerneMet[M,A], pourMdansV, cette propriété résulte de la question dispose, par définition deq, d"une relation de dépendance linéaireq+1? j=0α àG, i.e.AXq?G. Par conséquent?MG,?AGet^[M,A]Gsont des endomorphismes deG.1

Deuxième composition - Mines-Ponts 2007 - MPCorrigé6)Puisqu"on a affaire à des endomorphismes de G, on a^[M,A]G=?MG?AG-?AG?MGet donc,

par commutativité de la traceTr^[M,A]G= 0.7)D"après la question 3, la matrice de

En convenant

?p q?= 0sip < q, cette matrice est égale à??j-1 i-1? j-i+1(M)? que la trace de ^[M,A]Gvaut(q+1)λ1(M). Commeq+1est non nul, il résulte de la question

6, queλ1(M)est nul, i.e.λ([M,A]) = 0.9)P ardéfinition, on a (AM-MA)X= 0, i.e.MAX=AMX, d"oùM(AX) =A(λ(M)X) =

λ(M)(AX), ce qui est précisément le théorème 1.PARTIE II - Algèbres de Lie résolubles

10)

P ardéfinition, cette propriété signifie que les endomorphismes canoniquemen tasso ciésaux

éléments deUsont simultanément trigonalisables.11)P ourtout kcompris entre 0 etn, on noteEkle sous-espace deCnengendré par leskpremiers

Puisque le produit de deux matrices triangulaires est triangulaire, de diagonale donnée par le produit des éléments diagonaux, siAetBsont triangulaires,AB-BAest triangulaire de diagonale nulle et donc[N0]? N1. A(Ei-k)?Ei-2k?Ei-k-1. En particulierABetBAappartiennent àNk+1et donc[A,B] aussi puisqu"on a affaire à un espace vectoriel. Il en résulte que T

Pest une algèbre de Lie résoluble de longueurn.12)P arh ypothèse,on a [U]? {0}et donc, pourMetM?dansU,[M,M?] = 0, i.e.MM?=M?M.13)On démon trepar récurrence sur nle résultat(Hn)suivant : toute famille commutative d"en-

domorphismes d"un espace vectoriel de dimensionnsurCadmet un vecteur propre commun. Comme tout vecteur non nul d"un endomorphisme en dimension 1 est propre,(H1)est vrai. Supposons alors(Hn)vrai pourndansN. On se donne alors une famille commutative d"en- domorphismes d"un espace vectoriel de dimensionn+ 1surC. Si cette famille est composée d"homothéties, tout vecteur non nul est propre pour tous les endomorphismes de la famille. Sinon on dispose deudans cette famille admettant un espace propreEde dimension infé- rieure àn. Puisqu"on a affaire à une famille commutative, cet espace propre est stable par tous les endomorphismes de la famille et donc, par hypothèse de récurrence, les restrictions de ces endomorphismes ont un vecteur propre commun dansEet donc aussi dans l"espace de départ.

Le résultat en découle par le principe de récurrence et donc, en particulier, pour une famille

finie dansU, puisque ce dernier est de dimension finie, i.e. il existe un vecteur propre commun à ?M1,?M2, ...,?Mr.2

Deuxième composition - Mines-Ponts 2007 - MPCorrigé14)Cette propriété résulte du r ésultatdémon tréprécédemmen ten prenan tcomme famille tous

les vecteurs deU: il existe un vecteur propre commun à tous les endomorphismes deU.15)P arh ypothèseon a Id =pF+pH. CommeIm(upF)?F, on apHupF= 0, et de même

pourv,pHvpF= 0. Il en résultepHu=pHu(pF+pH) =pHupHet de même pourv: p

Hu=pHupHetpHv=pHvpH.16)On a p2H=pHdoncpHupHpHvpH=pHupHvpHet, en appliquant ce qui précède, on a

p HupHpHvpH=pHuvpH. Commeuv=vu, en remontant les identités précédentes en échan-

geant le rôle deuetv, on en déduit quepHupHetpHvpHcommutent.Puisque(upH)H=uHet(vpH)H=vH, il vient :pHuHetpHvHcommutent.17)On démon trepar récurrence sur nle résultat(Hn)suivant : pour toute famille commutative

d"un espace vectoriel complexe de dimensionnest simultanément trigonalisable. Puisque toute matrice de taille 1 est diagonale,(H1)est vrai. Soit maintenantndansNtel que(Hn)soit vrai etUune famille commutative d"un espace vectoriel complexe de dimension n+ 1. D"après 14, on dispose d"un vecteur propre commun à tous les éléments deUet donc aussi d"une droite propre commune. SoitHun supplémentaire de cette droite. D"après

16, la famille(pHuH)u?Uest commutative. Par hypothèse de récurrence, cette famille est

simultanément trigonalisable. La concaténation du vecteur propre commun et de la base de trigonalisation commune dansHfournit alors une base de trigonalisation des éléments deU. D"après le principe de récurrence,(Hn)est donc vrai pour tout entiern. En particulier comme une algèbre de Lie de longueur 1 est une famille commutative, il en résulte que

le théorème 2 est vrai lorsquep= 1.18)Puisque Uest résoluble de longueurp,U1est résoluble de longueurp-1. Les endomorphismes

deU1sont donc simultanément trigonalisables par hypothèse et donc le premier vecteur d"une base de trigonalisation commune est un

vecteur propre commun à tous les endomorphismes deU1.19)P ardéfin itionde E, on dispose d"une famille génératrice deEstable par tous les éléments de

Uet doncEest stable par tous les éléments de?U.Par une récurrence immédiate, en utilisant le théorème 1, la famille génératrice deEest formée

de vecteurs soit nuls, soit vecteurs propres communs à tous les éléments de ?U1. Par linéarité

il en résulte que les vecteurs non nuls deEsont propres pour tous les éléments de?U1.20)Soit udans?U1. La restriction deuEà toute droite deEest une homothétie. Il en résulte que

u Eest une homothétie. En particulier^[M,M?]Eest une homothétie.Comme ^[M,M?]E=??ME,?M?E? , par commutativité de la trace,^[M,M?]Eest trace nulle.21)Il en résulte ^[M,M?]E= 0puisqueEn"est pas de dimension nulle. Par conséquent les res-

trictions àEdes éléments deUforment une algèbre de lie résoluble de longueur 1 et donc

les endomorphismes(?ME)U?Usont simultanément trigonalisables.3quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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