Problème I : Caractérisation des matrices de trace nulle PDF

— Hn désigne l'ensemble des matrices Mn de trace nulle. Préliminaires. On rappelle qu'une matrice M ? Mn est nilpotente s'il existe p ? N tel que Mp = On.

SUR LES MATRICES A TRACE NULLE ET APPLICATIONS

4 juin 2014 domaines que se soit en mathématiques tels que problèmes ... Mots clef : Matrices à trace nulle commutateurs

Ecole supérieure de plasturgie Math 1 problème 1 concours 2002

Math 1 problème 1 1. a) Le calcul du produit des deux matrices donnent J2 = (0) donc v2 = 0 ... Soit une matrice A 2 Mn (R) de trace nulle .

MPSI 2 : DL 07

On en déduit que ?D(M) est une matrice de trace nulle et donc que Im ?D ? D0 (ensemble des matrices de trace nulle). Réciproquement

Dans tout ce problème n est un entier au moins égal à 1. On note M

une matrice dans U alors AX est soit la matrice nulle soit une matrice colonne propre pour toute [M

EPREUVE DE MATHEMAnQUES

Pour faire les deux problèmes qui sont indépendants. 8" Montrer que si A E Mn(IW) est une matrice de trace nulle

Réduction

Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. Correction ?. [005662]. Exercice 13 ****.

Exercices de Khôlles de Mathématiques troisième trimestre

Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle. 2. Montrer qu'il existe deux matrices X et Y de Mn(K) de trace nulle qui vérifient A = XY ? Y X

AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Devoir en Salle

(3) On se propose de montrer que toute matrice 2 × 2 de trace nulle est semblable votre livre d'exo favori (cette propriété est (comme dans ce problème).

Probl`eme I — commutateurs et endomorphismes de trace nulle

28 nov. 2019 On consid`ere de telles matrices U et V dans la suite. Question 8. Montrer l'existence de ? ? C tel que la matrice U ? ?In?1 soit inversible.

On se propose de montrer que toute matrice de taille nde trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coe cients sont nuls On procède par récurrence le résultat étant clair en dimension 1 et ayant été montré en dimension 2 On considère donc n?N?tel que toute matrice de taille au plus nde trace nulle est semblable à une

Vecteurs et matrices

Exercice 21 4 Soit A une matrice de M n(K) de trace nulle 1 Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle 2 Montrer qu'il existe deux matrices X et Y de M n(K) de trace nulle qui véri ent A = XY ?YX Solution 22 Semaine 22 - Calculs de primitives calculs de rangs matrices Khôlleur: Mme Miquel Exercice 22 1 (Oral Ulm

SUR LES MATRICES A TRACE NULLE ET APPLICATIONS

La deuxième s'intéresse à l'application de ces matrices aux différents domaines que se soit en mathématiques tels que problèmes d'approximation par les matrices à trace nulle ou en physique telles que les équations de Pauli Dirac etc et le tenseur de Maxwell

Exo7 - Exercices de mathématiques

4 Trouver les valeurs propres d’une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme: toute permutation se décompose de manière unique à l’ordre près des facteurs en produit de cycles à supports disjoints) Correction H [005669] Exercice 20 *** Décomposition de DUNFORD

Problème I : Caractérisation des matrices de trace nulle

Problème I : Caractérisation des matrices de trace nulle Partie I : Matrices de diagonale nulle On admettra le résultat suivant : Un endomorphime u d’un K-ev tel que ?x ? E(xu(x)) est une famille liée est une homothétie vectorielle c’est-à-dire qu’il existe k ? K tel que u = kId E Soit n ? N? et A ? M n(K) telle

Qu'est-ce que la matrice nulle?

La matrice de taillen pdont tous les coef?cients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée 0n,pou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels, c’est l’élément neutre pour l’addition. 4.2. Produit de matrices Dé?nition(Produit de deux matrices).

Comment calculer la trace d'une matrice ?

Pour une matrice 2 × 2 , la trace est 2 cos ? , et pour une matrice 3 × 3 , elle est 1 + 2 cos ? . Dans le cas tridimensionnel, le sous-espace est constitué de tous les vecteurs perpendiculaires à l'axe de rotation (la direction invariante, de valeur propre 1).

Comment créer une matrice nulle ?

Si on peut créer une matrice nulle alors on peut en effet créer une matrice ne contenant que des « 1 ». Ceci est réalisable en utilisant la fonction ones (). De la même manière, on va créer un tableau de 3 lignes et 4 colonnes. Soit pour la fonction zeros () ou la fonction ones () remarquons qu’on utilise deux paires de parenthèses. 2.2.3.

Comment mettre à zéro une matrice d'identité ?

qui est une matrice d'identité. Ainsi, nous avons décomposé Q comme entrées inférieures à la diagonale à zéro. Nous pouvons les mettre à zéro en étendant la même idée de parcourir les colonnes avec une série de rotations dans une séquence fixe de plans.

Devoir Surveillén◦2

PSI

MATHEMATIQUES

(Samedi 24 Septembre 2022) (durée : 2 heures) Problème I : Caractérisation des matrices de trace nulle.

Partie I: Matrices de diagonale nulle

On admettra le résultat suivant : Un endomorphimeud"unK-ev tel que?x?E,(x,u(x)) est une famille liée, est une homothétie vectorielle, c"est-à-dire qu"il existek?Ktel que u=kIdE.

Soitn?N?etA?Mn(K)telle quetr(A) = 0.

On cherche à établir par récurrence surnqu"il existeP?GLn(K)etNune matrice

à diagonale nulle telles queA=P-1NP.

1) Montrer la relation au rangn= 1.

2) Supposons la relation vraie au rangn. ConsidéronsA?Mn+1(K)de trace nulle.

a) Justifier que, si?λ?K,A=λIn+1, alors la relation de récurrence au rang n+1 est vérifiée. b) SoitA /?vect(In+1)et on notefl"endomorphisme deKn+1associé àAdans la base canonique deKn+1. (i) Justifier qu"il existex?Kn+1/{0}tel que(x,f(x))soit une famille libre et qu"on peut la compléter une baseB= (x,f(x),v3,···,vn+1)deKn+1. (ii) Montrer que la matriceA?defdans la baseBest de la forme (((((0L 1 0M ...0) avecM?Mn(K)telle quetr(M) = 0etL?M1,n(K). (iii) Justifier qu"il existeP?GLn(K)etM?une matrice à diagonale nulle telles que

M=P-1M?P.

(iv) On pose Q=( (((((10···00 0P ...0) Q (((((10···00 0P -1 ...0)

Montrer queQ?=Q-1.

CalculerQA?Q-1.

Terminer la récurrence.

3) Déduire de ce qui précède, que pourA?Mn(K),tr(A) = 0si et seulement si il

existeP?Gln(K)etNmatrice deMn(K)à diagonale nulle telles queA=P-1NP.

Partie II: Commutateurs.

Soitn?N?.

Si(A,B)?Mn(K)×Mn(K), on appelle commutateur de(A,B)et on note[A,B]la matrice AB-BA. On noteCl"ensemble des commutateurs et On noteNl"ensemble des matrices de M n(K)à diagonale nulle. On noteDla matrice deMn(K)diagonale dont la diagonale est(1,2,···,n)c"est-à- dire

D= (dij)1?i?n,1?j?navecdij= 0sii?=jetdii=i.

1. Montrer que, Si(A,B)?Mn(K)×Mn(K),tr(AB) =tr(BA).

2. Montrer queNest un sous espace vectoriel deMn(K).

3. Montrer que?M?N,[D,M]?N.

4. Montrer queΦ :N→Ndéfinie parΦ(M) = [D,M]est un automorphisme deN

5. Montrer que, siCest un commutateur etP?Gln(K), alorsP-1CPest encore un

commutateur.

6. En déduire que{A?Mn(K)/tr(A) = 0}=C.

7. Justifier queCest un sous espace vectoriel deMn(K). Quelle est sa dimension?

Problème II

1 Questions de cours

1. Comment note-t-on :

(a) La série de terme généralan? (b) Lap-ième somme partielle de la série de terme généralan? (c) La suite de terme généralande premier termea1? (d) La somme de la série de terme généralan?

2. Quelle est la définition d"une série de terme généralanconvergente?

3. Quelle est la nature de?

n?1znoùz?CI? En cas de convergence donner sa somme. 2

2 Etude de séries dont le terme général est le reste

d"une série convergente.

Soitn0un entier naturel fixé. Soit?

n?n0a nune série convergente. On définit pourn entier naturel supérieur ou égal àn0,rnson reste de rangn:rn=+∞? k=n+1a k. Le but de l"exercice est d"étudier la convergence de la série n?n0r ndans quatre exemples différents.

1.Exemple 1: On pose pourn?1,an=1n(n+ 1).

Montrer quern=1n+ 1et en déduire la nature de?

n?0r n.

2.Exemple 2: On pose pourn?0,an=12

Calculerrnpuis montrer que?

n?0r nconverge et calculer sa somme.

3.Exemple 3: On pose pourn?1,an=1n

Nous allons chercher un équivalent dern.

Soitkun entier supérieur ou égal à1.

(a) Montrer que?t?[k,k+ 1],1(k+ 1)2?1t 2?1k 2. (b) En déduire que pour tout entier naturel non nulnet pour tout entierN supérieur à2et àn+ 1, on a :N? k=n+11(k+ 1)2?? N+1 n+1dtt 2?N? k=n+11k 2. (c) En déduire que pour tout entier naturel non nuln, on a :1n+ 1?rn?1n+ 1+1(n+ 1)2. (d) Donner alors un équivalent dernlorsquenest au voisinage de+∞. Que peut-on en conclure sur la nature de la série? n?1r n?

4.Exemple 4:

On pose pourn?1,an=(-1)nn

Expression intégrale dern:Soitnun entier naturel non nul ,

On définit la suite(In)n?1parIn= (-1)n?

1 0x n1 +xdx. (a) Montrer quelimn→+∞In= 0. (b) Calculer n-1? k=0(-x)kpourx?[0,1]et en déduire queIn= ln2 +n? k=1(-1)kk 3 (c) En déduire la nature de la série n?1a net sa somme, puis exprimerrnen fonction deIn.

5. Conclusion

(a) En utilisant une intégration par parties, montrer que l"on a : I n=(-1)na(n+ 1)+O?1n oùa?Retα >1sont à déterminer. (b) En déduire la nature de la série n?1r n. 4quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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