Séries `a termes positifs
Soient deux séries `a termes positifs un et vn. Supposons que pour tout n on ait un ? vn. Si la série de terme général vn converge il en est de même pour la
Séries à termes positifs
?. alors ? converge. Page 2. COURS DE MATHEMATIQUES. Thierry ALBERTIN. Séries à termes dans http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/. 2 / 8. PREUVE 2. 2
( )2 ?? ? .(11) ?
202 Séries à termes positifs. Applications. Séries de Bertrand. Monier. Capes
Séries à termes positifs
Si un Ø 0 et q un diverge on a Sn æ +Œ : on écrit parfois qnØ0 un = +Œ. Théorème (Comparaison). Soient q un et q vn deux séries à termes positifs telles que
Sans titre
Savoir appliquer les critères de convergence dans le cas des séries à termes positifs. Et plus si affinités. Savoir réaliser un "test de Riemann".
TD no 2 : séries à termes positifs * Définitions à connaître par c÷ur
1 k(k2 ? 1). ) converge et donner sa somme. Exercice 2. * Convergence d'une série. Soit (un)n?N une suite de nombres positifs.
SERIES NUMERIQUES
Une série de terme général un réel positif ou nul est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles Sn est majorée. 2. Comparaison de deux
Leçon 206 : Séries `a termes réels positifs
Toute série de terme général extrait du terme général d'une série `a termes positifs convergente est convergente de somme inférieure `a la somme de la.
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
C'est une série à termes positifs (ou plus simplement positive) on va pouvoir utiliser le critère de comparaison. A l'infini
Séries numériques
Il s'agit d'une série à termes positifs supérieurs à qui est le terme général d'une série de Riemann divergente avec . La série diverge.
Le¸con 206 : S´eries `a termes r´eels positifs I) Propri´et´e fondamentale et applications
Soit (un)n?Nune suite `a valeurs dansR. On
consid`ere les sommes partielles d´efinies par?n?N, S n=u1+u2+u3+...+un. On appelle s´erie de terme g´en´eralunla suite (Sn) et on note cette s´erie?u n. On dit que cette s´erie converge si (Sn) converge. Sa limite est alors appel´ee somme de la s´erie et se note n=0u n. Toute s´erie de terme g´en´eral extrait du terme g´en´eral d"une s´erie `a termes positifs convergente est convergente, de somme inf´erieure `a la somme de la s´erie initiale. Toute s´erie d´eduite d"une s´erie convergente `a termes positifs par permutation (´eventuellement in- finie) des termes est une s´erie convergente de mˆeme somme.Propri´et´e1 (fondamentale).Pour qu"une s´erie ?u n`a termes r´eels positifs converge, il faut et il suffit que la suite de ses sommes partielles(Sn)soit major´ee. Dans ces conditions, on a n=0u n=sup n?NSnPropri´et´e2 (comparaison s´erie-int´egrale).Soit f une application de [a,+∞[ dansR( a?R+), conti- nue par morceaux, positive et d´ecroissante. •la s´erie de terme g´en´eralwn=? n n-1f(t)dt- f(n) (pourn?a+ 1)est convergente. •?f(n)et? a f(t)dtsont de mˆeme nature.Application 1 : s´eries de Riemannx?R,?1n
xconverge si et seulement six >1 Application 2 : constante d"EulerIl existe une constanteγtelle que : n? k=11k = lnn+γ+o(1)Application 3 : s´eries de Bertrand (α,β)?R2,?1nαln(n)βconverge si et seule-
ment siα >1 ou (α= 1 etβ >1) II) comparaison de s´erieset divers crit`eres de convergence1) comparaison directe
Propri´et´e3.Soit deux s´eries `a termes r´eels posi- tifs?u net?v ntelles que :?n?N,0?un?vn.Alors si?v
nconverge ,?u nconverge, et si?u n diverge ,?u ndiverge.Propri´et´e4.Soit(un)et(vn)2 suites `a termes strictement positifs. Alors siun+1u n´equivalentes.
Ex : formule de Stirling
2) crit`eres de convergencecrit`ere de Riemann
On utilise la comparaison `a une s´erie de RiemannSoit?u
nune s´erie `a termes r´eels positifs. •S"il existeα >1 tel queun=o(1nα) quand ntend vers+∞alors?u
nest convergente. •S"il existeα?1 tel que1nα=o(un) quand n
tend vers+∞alors?u nest divergente.Ex :?u
navecun=3?n3+an-?n
2+ 3 avec
a?R crit`ere de CauchyOn utilise la comparaison `a une s´erie g´eom´etriqueSoit?u
nune s´erie `a termes r´eels positifs et soitL= limn→+∞n⎷u
n •SiL <1 alors?u nest convergente. •SiL >1 alors?u nest divergente. Ex : ?u navecun= (an+bcn+d)n avec (a,b,c,d) ?R4eta >0,c >0 crit`ere de D"AlembertOn utilise la comparaison logarithmique `a une s´erie g´eom´etriqueSoit?u
nune s´erie `a termes r´eels positifs et soitL= limn→+∞u
n+1u n •SiL <1 alors?u nest convergente. •SiL >1 alors?u nest divergente. Ex : ?u navecun=1n!et?v navecvn=enn!n n crit`ere de Raabe-DuhamelOn utilise la comparaison logarithmique `a une s´erie de RiemannSoit?u
nune s´erie `a termes r´eels positifs non nuls `a partir d"un certain rang telle qu"il existe un r´eelβv´erifiantun+1u n= 1-βn +o(1n •Siβ >1 alors?u nest convergente. •Siβ <1 alors?u nest divergente. Ex : ?u navecun=1.3.5....(2n-1)2.4.6....2n1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] Les 7 règles d 'or de réussite d 'un projet - Kepner-Tregoe
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