Séries `a termes positifs
Soient deux séries `a termes positifs un et vn. Supposons que pour tout n on ait un ? vn. Si la série de terme général vn converge il en est de même pour la
Séries à termes positifs
?. alors ? converge. Page 2. COURS DE MATHEMATIQUES. Thierry ALBERTIN. Séries à termes dans http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/. 2 / 8. PREUVE 2. 2
( )2 ?? ? .(11) ?
202 Séries à termes positifs. Applications. Séries de Bertrand. Monier. Capes
Séries à termes positifs
Si un Ø 0 et q un diverge on a Sn æ +Œ : on écrit parfois qnØ0 un = +Œ. Théorème (Comparaison). Soient q un et q vn deux séries à termes positifs telles que
Sans titre
Savoir appliquer les critères de convergence dans le cas des séries à termes positifs. Et plus si affinités. Savoir réaliser un "test de Riemann".
TD no 2 : séries à termes positifs * Définitions à connaître par c÷ur
1 k(k2 ? 1). ) converge et donner sa somme. Exercice 2. * Convergence d'une série. Soit (un)n?N une suite de nombres positifs.
SERIES NUMERIQUES
Une série de terme général un réel positif ou nul est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles Sn est majorée. 2. Comparaison de deux
Leçon 206 : Séries `a termes réels positifs
Toute série de terme général extrait du terme général d'une série `a termes positifs convergente est convergente de somme inférieure `a la somme de la.
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
C'est une série à termes positifs (ou plus simplement positive) on va pouvoir utiliser le critère de comparaison. A l'infini
Séries numériques
Il s'agit d'une série à termes positifs supérieurs à qui est le terme général d'une série de Riemann divergente avec . La série diverge.
![Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques](https://pdfprof.com/Listes/16/22955-16chapitre8-04.pdf.pdf.jpg)
Séries numériques8-1Sommaire
1. Convergence des Séries Numériques1
1.1. Nature d"une série numérique
. . . . . . 11.2. Séries géométriques
. . . . . . . . . . . . 21.3. Condition élémentaire de convergence
. 21.4. Suite et série des différences. . . . . . . 2
2. Opérations sur les Séries Convergentes3
2.1. Somme de 2 séries
. . . . . . . . . . . . . 32.2. Produit par un scalaire
. . . . . . . . . . . 33. Séries à termes positifs3
3.1. Séries à termes positifs
. . . . . . . . . . 33.2. Critère de comparaison
. . . . . . . . . . 33.3. Critère d"équivalence
. . . . . . . . . . . 43.4. Comparaison à une intégrale impropre
. 43.5. Règle de Riemann
. . . . . . . . . . . . . 53.6. Règle de d"Alembert
. . . . . . . . . . . . 54. Séries Absolument Convergentes6
4.1. Convergence absolue
. . . . . . . . . . . 64.2. Conv. des séries absolument conv.. . . . 64.3. Une convergence absolue
. . . . . . . . . 65. Séries Numériques Réelles Alternées7
5.1. Séries alternées
. . . . . . . . . . . . . . 75.2. Critère spécial des séries alternées
. . . 76. Calcul Exact de Sommes de Séries8
6.1. Sommation en dominos
. . . . . . . . . . 86.2. Avec des séries entières ou de Fourier
. . 97. Calcul Approché9
7.1. Principe général
. . . . . . . . . . . . . . 97.2. Avec le critère spécial
. . . . . . . . . . . 97.3. Autres cas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. Compléments10
8.1. Colbert, lycée numérique
. . . . . . . . . 108.2. Les mathématiciens du chapitre
. . . . . 11L"objet de l"étude des séries numériques est de donner un sens à des sommes infinies de nombres réels
ou complexes et, éventuellement, de les calculer.1. Convergence des Séries Numériques
1.1. Nature d"une série numériqueDéfinition :Soit(un)n2une suite d"éléments de(=ou).
On appellesuite des sommes partiellesde(un)n2, la suite(sn)n2, avecsn=nP k=0uk.Définition : Sinon, on dit qu"ellediverge.Notation :Lasérie de terme généralunse noteX un.Définition :Dans le cas où la série de terme généralunconverge, la limite, notées, de la suite
sn)n2est appeléesommede la série et on note :s=1P n=0un.Le reste d"ordrende la série est alors notérnet il vaut :rn=ssn.Définition :Lanatured"une série est le fait qu"elle converge ou diverge.
Étudier une série est donc simplement étudier une suite, la suite des sommes partielles de (un). Le butde ce chapitre est de développer des techniques particulières pour étudier des séries sans nécessaire-
ment étudier la suite des sommes partielles.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
8-2Séries numériquesDans certains cas, on reviendra à la définition en étudiant directement la convergence de la suite des
sommes partielles.La convergence d"une série ne dépend pas des premiers termes...1.2. Exemple fondamental : les séries géométriquesThéorème :La série de terme généralxnconverge,jxj<1.
De plus, la somme est :s=1P
n=0xn=11x.Démonstration : nP k=0xk=1xn+11xpourx,1.1xn+11xn"a de limite finie que sijxj<1, cette limite est alors11x.
D"autre part, pourx= 1,nP
k=0xk=n+ 1 diverge.La raison d"une suite géométrique est le coefficient par lequel il faut multiplier chaque terme
pour obtenir le suivant. La somme des termes d"une série géométrique convergente est donc : " le premier terme »1" la raison ». Ceci prolonge et généralise la somme des termes d"une suite géométrique qui est :" le premier terme »" le premier terme manquant »1" la raison »Quand la série converge, il n"y pas de termes manquants... La formule est la même.
1.3. Condition nécessaire élémentaire de convergenceThéorème :
Punconverge)limn!1un= 0.Démonstration :
Punconverge)(sn)converge verss)(sn+1)converge verss)limn!1sn+1sn= 0)limn!1un+1= 0)limn!1un= 0.Si une série converge, son terme général tend vers 0.
Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la sériediverge grossièrement.
1.4. Suite et série des différencesThéorème :La suite(vn)converge,la sérieP(vn+1vn)converge.Démonstration :On considèreP(vn+1vn), sa suite des sommes partielles est(sn)avec
s n=nP k=0(vk+1vk)=vn+1v0Les suites
(sn)et(vn+1)sont de même nature, il en est de même de(vn).Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Séries numériques8-32. Opérations sur les Séries Convergentes2.1. Somme de 2 séries
Théorème :
PunetPu0nconvergent et ont pour sommesets0
)P(un+u0n)converge et a pour somme(s+s0).Démonstration :On applique simplement le théorème équivalent sur les suites, appliqué bien sûr
aux suites des sommes partielles.2.2. Produit par un scalaireThéorème :
Punconverge et est de sommes;2)P(un)converge et est de sommes.Démonstration :On applique encore le théorème équivalent sur les suites à la suite des sommes
partielles.Il y a bien sûr une notion sous-jacente d"espace vectoriel des séries convergentes.3. Séries à termes positifs
3.1. Séries à termes positifs
Définition :On dit qu"une sériePunest une série à termes positifs, 8n2,un>0.Définition :On dit qu"une sériePunest une série à termes positifs à partir d"un certain rang
, 9N2;8n>N;un>03.2. Critère de comparaisonThéorème :
PunetPvndeux séries positives à partir d"un certain rang N, telles que8n>N; un6vn
SiPvnconverge, alorsPunconverge.
SiPundiverge, alorsPvndiverge.Démonstration :Seule la première assertion est à montrer, l"autre est équivalente.
On le montre pour les séries positives
(N = 0).On posesn=nP
k=0uk,s0n=nP k=0vkets0=1P n=0vn, on asn6s0n.Les suites
(sn)et(s0n)sont croissantes et la deuxième converge. On a doncs0n6s0. Ce qui prouve que sn)est croissante majorée et donc converge. Pour le cas de séries positives à partir du rang N, on considère les sommes partiellessn=nP k=Nuk...Exemple :Etudions la convergence de+1P n=1lnnn2n:C"est une série à termes positifs (ou plus simplement positive), on va pouvoir utiliser le critère de
comparaison.A l"infini,
lnnn tend vers 0 et donc lnnn est une suite bornée par A:On a donc8n2;06lnnn 6A ce qui donne8n2;06lnnn2n6A2 nqui est le terme général d"une série géométrique de raison12donc convergente.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
8-4Séries numériquesCeci prouve que
+1P n=1lnnn2nconverge.3.3. Critère d"équivalenceThéorème :
PunetPvndeux séries positives à partir d"un certain rang N, telles que :un+1vn alorsPunetPvnsont de même nature.Démonstration :A partir d"un certain rang N, on a 0612 un6vn62un.SiPunconverge,P2unconverge et doncPvnconverge.
SiPvnconverge,P12
unconverge et doncPunconverge.On peut remarquer que le critère d"équivalence est, par linéarité, applicable à des séries de
signe constant à partir d"un certain rang. En effet, la convergence dePunéquivaut à celle dePun.
Par ailleurs, on veillera à appliquer le critère d"équivalence auterme général:un, et non à la
série :Pun.Exemple :Etudions la convergence de+1P
n=111 + 2 n.C"est une série à termes positifs (ou plus simplement positive), on va pouvoir utiliser le critère d"équi-
valence.11 + 2 n+112 nqui est le terme général d"une série géométrique de raison12 ;donc convergente.Ceci prouve que
+1P n=111 + 2 nconverge.3.4. Comparaison à une intégrale impropreThéorème :Soitfune applicationpositive et décroissantesur[a;+1[,
alors la sériePf(n)etZ
+1 a f(t)dtsont de même nature.Et si elles convergent,
Z +1 n+1f(t) dt6+1P k=n+1f(k)6Z +1 n f(t) dtDémonstration :Remarquons d"abord que, commeZ x a f(t)dtest croissante, Z +1 a f(t)dtconverge,la suite Zp a f(t)dt! converge. On prendra pour la démonstrationa= 0. Commefdécroît sur[n;n+ 1],8x2[n;n+ 1]; f(n+ 1)6f(x)6f(n)
et en intégrant, comme on peut le voir sur la figure 1 , page ci-contre :f(n+ 1)6Z n+1 n f(t)dt6f(n). d"où en sommant pP n=1f(n)6Rp0f(t)dt6p1P
n=0f(n), ce qui assure le résultat.On a tout intérêt à mémoriser cette figure1 qui, associée à la rela tionde Chasles, f ournit
démarche et résultat!Exemple :Etudions la convergence de+1P
n=111 +n2:Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Séries numériques8-5y
x y= sin(x)n-1nn+1f(n-1) f(n) f(n+1)f(n)f(n+1)y=f(x) 01Figure 1 -Comparaison série-intégralefdéfinie parf(t)=11 +t2est positive, décroissante sur[0;+1[etZ
+1011 +t2dtconverge et est de
même nature que la série étudiée.Ceci prouve que
+1P n=111 +n2converge.3.5. Règle de RiemannThéorème :2;+1P
n=11n converge,>1.Ce sont les séries de Riemann.Démonstration :On compare cette série avecZ
+1 1 f(t)dtet le résultat est immédiat.Ceci nous donne la règle de Riemann.Théorème :2; un+1kn
, alors :Punconverge,>1.Démonstration :Il suffit d"utiliser le critère d"équivalence et le théorème précédent.3.6. Règle de d"Alembert
Théorème :
Punune série à termes positifs non nuls (à partir d"un certain rang) telle que : lim n!1u n+1u n=l si l >1,Pundiverge grossièrement, si l <1,Punconverge,et si l= 1, on ne peut pas conclure.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
8-6Séries numériquesCe théorème est séduisant à priori, mais on tombe très souvent sur le cas douteux. Il s"utilise
souvent dans le cadre des séries entières qu"on étudiera dans quelques chapitres. Avec les séries numériques, il s"utilise principalement quand on se trouve en présence de factorielles ou de termes de nature géométrique du type :an. Démonstration :Pourl >1, la suite positive(un)croit et ne tend donc pas vers 0. On a bien la divergence grossière.Pourl <1, à partir d"un certain rang Nun+1u
n61 +l2 et donc par récurrence très facile, pourn>N,un6 1 +l2 nN uN= 1 +l2
nuN 1 +l2 N.Cette dernière série est géométrique, le théorème de comparaison entre séries positives fournit le
résultat.Exemple :Étudions la convergence de+1P n=1n!n n:C"est une série à termesstrictementpositifs, on va pouvoir utiliser le critère de d"Alembert.
n+ 1)!( n+ 1)n+1n!n n=(n+ 1)nn( n+ 1)n+1=nn+ 1 n=1 1 +1n n!+11e <1Ceci prouve que
+1P n=1n!n nconverge.4. Séries Absolument Convergentes
4.1. Convergence absolue d"une série numérique
Définition :Une sériePunestabsolument convergente,Pjunjest convergente. Une série convergente mais non absolument convergente est ditesemi-convergente.4.2. Convergence des séries absolument convergentesThéorème :Toute série absolument convergente est convergente.Démonstration :CommejReunj6junjetjImunj6junj, il suffit par linéarité de le montrer pour les
séries à valeur réelle. Pour celles-ci, on poseu+n= max(un;0)etun= max(un;0). Les sériesPu+netPunsont positives etu+n6junj,un6junjprouvent par comparaison que ces séries convergent.Commeun=u+nun, on a bienPunconverge.Attention, ceci n"est pas une équivalence, on verra qu"il existe des séries semi-convergentes. L"exemple
le plus classique est +1P n=1( 1)nn4.3. Un moyen classique de montrer une convergence absolue de série
Ceci n"est pas un théorème mais un procédé usuel qu"il faut justifier à chaque fois. Si il existe>1 tel que limn!1nun= 0, alorsjunj=o1n , commeP1nconverge, par comparaison,Punconverge absolument.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Séries numériques8-75. Séries Numériques Réelles Alternées5.1. Séries alternéesDéfinition :La sériePunestalternée,P(1)nunest une série de signe constant.
On parle aussi de série alternée à partir d"un certain rang.Il s"agit donc de séries à valeur réelle.
Exemple :
P(1)nn
est une série alternée, mais pasPcosn.5.2. Critère spécial des séries alternéesThéorème:
Punune série alternée telle que la suite(junj)est décroissante tendant vers 0 à l"infini.
Al ors,Punest convergente de sommesets2[sn;sn+1](ou[sn+1;sn]). De pl us,a vecrn=ssn, on ajrnj6jun+1j, etrnest du signe deun+1.On dit que la somme de la série est encadrée par 2 termes consécutifs et que le reste de la série est,
en valeur absolue, majorée par son premier terme.Ce théorème est illustré par la figure2 , ci-dessous.
s2n+1s2n+2s s2nj
u2n+1j j r2njFigure 2 -Convergence d"une série répondant au critère spécialDémonstration :On va faire la démonstration quandunest du signe de(1)n.
s2n+2s2n=u2n+2+u2n+1=ju2n+2jju2n+1j60
d"où (s2n)est décroissante. s2n+3s2n+1=u2n+3+u2n+2=ju2n+3j+ju2n+2j>0
d"où (s2n+1)est croissante. D"autre part,s2n+16s2n6s0=u0.(s2n+1)est croissante majorée, donc convergente. De même,s2n>s2n+1>s1.(s2n)est décroissante minorée, donc convergente. Commes2n+1s2n=u2n+1tend vers 0, ces deux suites sont adjacentes et convergent vers la même limites. D"où, par monotonies2n+16s6s2nets2n+16s6s2n+2. C"est à dire :jrnj6jun+1jquensoit pair ou impair.Exemple :P(1)nn
est une série alternée clairement convergente par application du critère spécial des séries alternés.Il faut bien vérifier qu"on appliquescrupuleusementle critère spécial.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
8-8Séries numériquesLe critère spécial des séries alternéesne s"applique pasà des équivalents.
On écrit parfoisun=vn+wnavecPvnalternée répondant au critère spécial des séries alternées etPwnabsolument convergente.Exemple :
+1P n=1(1)npn(1)nest une série alternée telle que :(1)npn(1)n+1(
1)npn avec+1P n=1( 1)npn qui converge par application simple du critère spécial des séries alternées.Cependant,
+1P n=1(1)npn(1)ndiverge.
En effet,
1)npn(1)n=(1)npn
11(1)npn
(1)npn1 +(1)npn
+o 1pn =(1)npn |{z} t.g. série convergente+ 1n +o1n | {z } t.g. série divergente | {z } terme général d"une série divergenteOn a bien montré sur un exemple que le critère d"équivalence ne s"applique pas aux séries alternées...
6. Calcul Exact de Sommes de Séries
Pour l"instant, on ne connaît que la somme exacte des séries géométriques.6.1. Sommation en dominos
On travaillera exclusivement sur un exemple.
Soit la série :
+1P n=11n (n+ 1).On montre facilement la convergence car
1n (n+ 1)+11n2qui est le terme général d"une série conver-
gente par le critère de Riemann.Pour le calcul de la somme, on revient en fait à la définition en calculant effectivement la somme
partielle.On a :1n
(n+ 1)=1n 1n+ 1 d"où :sn=nP k=11k (k+ 1)=nP k=1 1k 1k+ 1 = 11n+ 1!1 quandn!+1.En effet, on peut procéder en dominos :
u 1=11 12 u 2=12 13 u 3=13 14 u n=1n 1n+ 1 Et en sommant, les termes se simplifient en dominos, et on obtient :sn=111n+ 1.
On aurait aussi pu réindexer la somme, on reprend le même calcul : s n=nP k=1 1k 1k+ 1 =nP k=11k nP k=11k+ 1=nP k=11k n+1P k=21k= 11n+ 1.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Séries numériques8-96.2. Utilisation de séries entières ou de séries de FourierOn se reportera à ces chapitres que nous allons bientôt étudier pour calculer des sommes exactes de
séries numériques.7. Calcul Approché de Sommes de Séries
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