Exercices de mathématiques

Matrices semblables (5 exercices)

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] sont semblables et trouver toutes ... Montrer que la matrice B de f dans la base (?) est diagonale.

Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que A est semblable à une matrice de la forme Exercice 7 *** I. Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie.

Applications linéaires matrices

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf

Matrice dune application linéaire

Exercice 5. Soient AB deux matrices semblables (i.e. il existe P inversible telle que B = P?1AP). Montrer que si l'une est inversible

TD-COURS 5 REVISIONS DALG`EBRE 2 : MATRICES 2011-2012

22 oct. 2011 Montrer que deux matrices sont semblables. Sauf mention du contraire E E et E sont dans la suite des espaces vectoriels sur K. Exercice 1.

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

sur l'ensemble Mn(K). Exercice 15.— Montrer cette propriété. Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases dif- férentes.

Devoir Maison n°3 Exercice 1

Exercice 1. On rappelle que deux matrices A et B de M3(R) sont dites semblables lorsqu'il (7) Expliciter la matrice M et montrer que M est inversible.

Examen - durée 2h Exercice 1

7 janv. 2008 (1 pts) Deux matrice nilpotentes de M3(R) sont semblables si et ... (1 pt) Montrer que les matrices eJ(?) et J(e?) sont semblables.

Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1

Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est

Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que si A et B sont semblables dans Mn(C) elles le sont dans. Mn(R). Correction ?. [005627]. Exercice 31 **I Exponentielle d'une matrice nilpotente.

Feuille d'exercices o22 : Matrices et applications linéaires

Exercice 17[Rangs de matrices semblables] Soient AB?M n(K) deux matrices 1 Montrer que les matrice Aet Bsont semblables si et seulement si pour tout ??K les matrices (A+?I n) et (B+?I n) sont semblables 2 En déduire que si Aet Bsont semblables alors : pour tout ??K rg(A+?I n) = rg(B+?I n) Que dire de la réciproque?

Exercices - i2muniv-amufr

Exercice 26 1 Montrer que si deux matrices de M n(R) sont semblables alors elles ont m^eme d eterminant trace rang polyn^ome caract eristique et valeurs propres 2 Montrer que le polyn^ome minimal et le polyn^ome caract eristique forment un invariant global pour cette relation dans M 2(R) et dans M 3(R) 3

Exo7 - Exercices de mathématiques

Montrer que S 2S+ n (R) 2 Réciproquement montrer que pour toute matrice S symétrique positive il existe une matrice A carrée réelle de format n telle que S =tAA A-t-on l’unicité de A ? 3 Montrer que S est dé?nie positive si et seulement si A est inversible 4 Montrer que rg(A)=rg(S)

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1 Montrer que si A;B sont deux matrices carrées d’ordre n alors tr(AB)=tr(BA) 2 Montrer que si f est un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n M sa matrice par rapport à une base e M 0 sa matrice par rapport à une base e 0 alors trM = trM 0

Comment montrer qu'une matrice est semblable à une matrice?

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel sur un corps K K = R ou C de dimension 3 et f un endomorphisme de E . Prouver que •si f !0 et f2=0 alors la matrice de f (dans une base quelconque) est semblable à

Qu'est-ce que les matrices semblables?

Matrices semblables. Applications. Pierre Lissy April 23, 2010 1 Matrices équivalentes 1.1 Dénitions Lemme 1. Les matrices inversibles à ecientsoc dans un anneau intègre sont les matrices in- versibles dans le orpsc des fractions de etc anneau dont le déterminant est un inversible de A. Onconsidèrel'actionsuivante, dugroupeproduit GL p(A) GL

Pourquoi les matrices sont-elles semblables ?

Conclusion : et sont semblables, car elles représentent le même endomorphisme dans les bases et respectivement. On peut en effet parvenir à montrer que deux matrices sont semblables en déterminant les sous-espaces propres associés à l’endomorphisme matriciellement représenté.

Comment calculer la différence entre deux matrices ?

En fait deux matrices sont semblables si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Soit (e 1, e 2, e 3) la base canonique et soit u l'application linéaire définie par A par rapport à cette base. Alors u (e 1 )=u (e 2 )=0 et u (e 3 )=e 1 . Prenons pour nouvelle base (e 1 ,e 3 ,e 2 ).

Exo7

Réduction

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**SoitA=0

@1 2 2 2 1 2

2 2 11

A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. @3 0 0 8 4 0

5 0 11

A @3 1 0 41 0
4 821 A 1.

Vérifier que An"est pas diagonalisable.

Déterminer K er(AI)2.

3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.

Calculer Anpournentier naturel donné.

Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il

diagonalisable ? etB=X4X.

Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.

Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes

caractéristiques deABetBA. et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0. quefest nilpotent. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. 1.

Montrer que (E;)est un groupe

2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2. A A

Calculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si

Aest diagonalisable.

BBB@0b:::b

a .........b a:::a01 C CCCA. 2

Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour

calculercA, considérerf(x) =

X+x b+x:::b+x

a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+x 1.

Montrer que 1 est v aleurpropre de A.

Soit lune valeur propre deA.

(a)

Montrer que jlj61.

(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ? B

BBB@0:::0 1

.........0 0

1 0:::01

C CCCA

Montrer queAest diagonalisable.

BBBBBB@0 1 0:::0

......0 0 ...1

1 0::: :::01

CCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.

En déduire la v aleurde

0a1:::an2an1

a n1a0a1an2............ a

2...a0a1

1a2:::an1a0

1.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.

2. (a)

Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.

(b) On pose G=fPs;s2Sng. Montrer que(G;)est un groupe isomorphe àSn. 3.

Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.

T rouverles v aleurspropres d"une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme

: toute permutation se décompose de manière unique à l"ordre près des facteurs en produit de cycles à

supports disjoints). caractéristique est scindé surK.

Montrer qu"il existe un couple d"endomorphismes(d;n)et un seul tel quedest diagonalisable,nest nilpotent

netf=d+n. a b:::b b a .........b b:::b a dansC.

8x2R,(j(f))(x) =1x

R x

0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).

Montrer que jest un endomorphisme deE.

2. Etudier l"injecti vitéet la surjecti vitéde j. 3.

Déterminer les éléments propres de j.

que pourk2 f1;2;3g,fk=lku+mkv. Montrer quefest diagonalisable. 4 Exercice 26**IRésoudre dansM3(C)l"équationX2=0 @0 1 0 0 0 1

0 0 01

A Montrer quefetgsont simultanément trigonalisables. communes si et seulement si la matricecA(B)est inversible. inversible si et seulement siPetcfsont premiers entre eux. B

B@1 1 0 0

0 1a0

0 0 1b

0 0 0 11

C CA. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices M

0;0,M0;1,M1;0etM1;1?

BBB@1 0:::0

2 n0:::01 C CCCA. B

BB@0:::0a1.........

0:::0an1

1:::an1an1

C CCAoùa1,...,ansontnnombres complexes (n>2).Aest-elle diagonalisable? parfdans chacun des cas suivants : 5 1.A=0 @1 11 1 1 1

1 1 11

A 2.A=0 @2 2 1 1 3 1

1 2 21

A 3.A=0 @66 5 41 10
76 41
A @1 37 2 614 1 371 A

Commutant de

0 @1 01 1 2 1

2 2 31

Estable parf. On suppose quefest diagonalisable. Montrer que la restriction defàFest un endomorphisme

diagonalisable deF. entier pair. Correction del"exer cice1 N1ère solution.A=2JI3oùJ=0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A . On aJ2=3Jet plus généralement8k2N,Jk=3k1J. Soitn2N. Puisque les matrices 2JetIcommutent, la formule du binôme de NEWTONpermet d"écrire A n= (2JI)n= (I)n+nå k=1 n k (2J)k(I)nk= (1)nI+ nå k=1 n k 2 k3k1(1)nk! J = (1)nI+13 nå k=1 n k 6 k(1)nk!

J= (1)nI+13

((61)n(1)n)J 13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A ce qui reste vrai quandn=0.

Soit de nouveaun2N.

((1)nI+13 (5n(1)n)J)((1)nI+13 (5n(1)n)J) =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+19 (1(5)n(5)n+1)J2 =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+39 (1(5)n(5)n+1)J=I; et donc A n=13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A

Finalement

8n2Z,An=13

0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Comment montrer qu'une matrice est semblable à une matrice?

Qu'est-ce que les matrices semblables?

Pourquoi les matrices sont-elles semblables ?

Comment calculer la différence entre deux matrices ?

Réduction

I : Incontournable

Exercice 1**SoitA=0

2 2 11

5 0 11

Vérifier que An"est pas diagonalisable.

Déterminer K er(AI)2.

Calculer Anpournentier naturel donné.

Montrer que (E;)est un groupe

Aest diagonalisable.

BBB@0b:::b

X+x b+x:::b+x

Montrer que 1 est v aleurpropre de A.

Soit lune valeur propre deA.

Montrer que jlj61.

BBB@0:::0 1

1 0:::01

Montrer queAest diagonalisable.

BBBBBB@0 1 0:::0

1 0::: :::01

CCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.

En déduire la v aleurde

0a1:::an2an1

2...a0a1

1a2:::an1a0

1.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.

Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.

Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.

8x2R,(j(f))(x) =1x

0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).

Montrer que jest un endomorphisme deE.

Déterminer les éléments propres de j.

0 0 01

B@1 1 0 0

0 0 1b

0 0 0 11

0;0,M0;1,M1;0etM1;1?

BBB@1 0:::0

BB@0:::0a1.........

0:::0an1

1:::an1an1

1 1 11

1 2 21

Commutant de

2 2 31

1 1 11

J= (1)nI+13

Soit de nouveaun2N.

Finalement

8n2Z,An=13