Matrices semblables (5 exercices)
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] sont semblables et trouver toutes ... Montrer que la matrice B de f dans la base (?) est diagonale.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que A est semblable à une matrice de la forme Exercice 7 *** I. Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie.
Applications linéaires matrices
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf
Matrice dune application linéaire
Exercice 5. Soient AB deux matrices semblables (i.e. il existe P inversible telle que B = P?1AP). Montrer que si l'une est inversible
TD-COURS 5 REVISIONS DALG`EBRE 2 : MATRICES 2011-2012
22 oct. 2011 Montrer que deux matrices sont semblables. Sauf mention du contraire E E et E sont dans la suite des espaces vectoriels sur K. Exercice 1.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
sur l'ensemble Mn(K). Exercice 15.— Montrer cette propriété. Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases dif- férentes.
Devoir Maison n°3 Exercice 1
Exercice 1. On rappelle que deux matrices A et B de M3(R) sont dites semblables lorsqu'il (7) Expliciter la matrice M et montrer que M est inversible.
Examen - durée 2h Exercice 1
7 janv. 2008 (1 pts) Deux matrice nilpotentes de M3(R) sont semblables si et ... (1 pt) Montrer que les matrices eJ(?) et J(e?) sont semblables.
Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que si A et B sont semblables dans Mn(C) elles le sont dans. Mn(R). Correction ?. [005627]. Exercice 31 **I Exponentielle d'une matrice nilpotente.
Feuille d'exercices o22 : Matrices et applications linéaires
Exercice 17[Rangs de matrices semblables] Soient AB?M n(K) deux matrices 1 Montrer que les matrice Aet Bsont semblables si et seulement si pour tout ??K les matrices (A+?I n) et (B+?I n) sont semblables 2 En déduire que si Aet Bsont semblables alors : pour tout ??K rg(A+?I n) = rg(B+?I n) Que dire de la réciproque?
Exercices - i2muniv-amufr
Exercice 26 1 Montrer que si deux matrices de M n(R) sont semblables alors elles ont m^eme d eterminant trace rang polyn^ome caract eristique et valeurs propres 2 Montrer que le polyn^ome minimal et le polyn^ome caract eristique forment un invariant global pour cette relation dans M 2(R) et dans M 3(R) 3
Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que S 2S+ n (R) 2 Réciproquement montrer que pour toute matrice S symétrique positive il existe une matrice A carrée réelle de format n telle que S =tAA A-t-on l’unicité de A ? 3 Montrer que S est dé?nie positive si et seulement si A est inversible 4 Montrer que rg(A)=rg(S)
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1 Montrer que si A;B sont deux matrices carrées d’ordre n alors tr(AB)=tr(BA) 2 Montrer que si f est un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n M sa matrice par rapport à une base e M 0 sa matrice par rapport à une base e 0 alors trM = trM 0
Comment montrer qu'une matrice est semblable à une matrice?
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel sur un corps K K = R ou C de dimension 3 et f un endomorphisme de E . Prouver que •si f !0 et f2=0 alors la matrice de f (dans une base quelconque) est semblable à
Qu'est-ce que les matrices semblables?
Matrices semblables. Applications. Pierre Lissy April 23, 2010 1 Matrices équivalentes 1.1 Dé nitions Lemme 1. Les matrices inversibles à e cientsoc dans un anneau intègre sont les matrices in- versibles dans le orpsc des fractions de etc anneau dont le déterminant est un inversible de A. Onconsidèrel'actionsuivante, dugroupeproduit GL p(A) GL
Pourquoi les matrices sont-elles semblables ?
Conclusion : et sont semblables, car elles représentent le même endomorphisme dans les bases et respectivement. On peut en effet parvenir à montrer que deux matrices sont semblables en déterminant les sous-espaces propres associés à l’endomorphisme matriciellement représenté.
Comment calculer la différence entre deux matrices ?
En fait deux matrices sont semblables si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Soit (e 1, e 2, e 3) la base canonique et soit u l'application linéaire définie par A par rapport à cette base. Alors u (e 1 )=u (e 2 )=0 et u (e 3 )=e 1 . Prenons pour nouvelle base (e 1 ,e 3 ,e 2 ).
Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice ?? :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C
A; DC=0
B @123 2 0 21 0 11
CA; AE= 12 3
12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.Correction de l'exercice ?? :
On trouve :
AB= 22 0
22 0!AC= 0 0
2 0!CA= 3 3
33!Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.
Correction de l'exercice ?? :
1)AB= 2 0 2
02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.AC= 2 0
02! =2Id2:CA= 2 0
02! =2Id2:CB= 22157
10 7 3!
BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.
2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :
A(12C) = (12
C)A= Id2:
Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12C= 232
1124
De m^eme :
(12A)C=C(12
A) = Id2:
Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 3212!
Correction de l'exercice ?? :
AB= 7 311
2 13!La matriceBAn'a pas de sens.
A2=AA= 139
32!La matriceB2n'a pas de sens.
A+ 2Id2= 4 3
1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!Correction de l'exercice ?? :
AB= 02
4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24108 61
CA; CA= 24 2
10 24!
BC=0 B @2 1 3 3 271C
A; C2= 03
3 3!Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.
Correction de l'exercice ?? :
T2;1(12
) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T1;2(2)T2;1(12
) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!Correction de l'exercice ?? :
1.1) 5 D2(2) =D2(2)I3=D2(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 02 00 0 11
C A: T3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 0 1 00 3 11
C A: T2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A: 1.2)A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0
B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A:A=T3;2(3)0
B @1 0 0 42 00 0 11
C A: A=0 B @1 0 0 42 0126 11
C A: 1.3) 6 A1= (T3;2(3)D2(2)T2;1(2))1
=T2;1(2)1D2(2)1T3;2(3)1 =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3) =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3)0 B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A =T2;1(2)D2((1=2))0 B @1 0 0 0 1 0 03 11 C A =T2;1(2)0 B @1 0 00(1=2) 0
03 11 C A 0 B @1 0 02(1=2) 0
03 11 C A:Correction de l'exercice ?? :
a) Les deux lignes deMsont d'ordre 1. Donc,Mest ordonnee.quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15[PDF] vidéo anne frank
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