[PDF] TD-COURS 5 REVISIONS DALG`EBRE 2 : MATRICES 2011-2012

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22-10- 2011J.F.C. Mat. p. 1TD-COURS 5 REVISIONS D"ALG

`EBRE 2 : MATRICES 2011-2012LES NOTIONS •G´en´eralit´es (d´efinition, matrices particuli`eres). •Op´erations sur les matrices. •Matrice d"une application lin´eaire. L"isomorphisme fondamental. •Matrice inversible. •Changement de base. Matrices semblables. •Transposition.SAVOIR FAIRE •Trouver la matrice d"une application est lin´eaire. •Associer une application lin´eaire `a une matrice. •D´efinir analytiquement une application lin´eaire. •Utiliser toutes les op´erations (et leurs propri´et´es) sur les matrices. •Calculer la puissancen`emed"une matrice. •Trouver le rang d"une matrice. •Montrer qu"une matrice est inversible. •Trouver l"inverse d"une matrice inversible. •Trouver la matrice de passage entre deux bases. •Utiliser les formules de changement de base.

•Montrer que deux matrices sont semblables.Sauf mention du contraireE,E?etE??sont dans la suite des espaces vectoriels surK.Exercice 1Ecrire la matrice d"une application lin´eaire.

Q1.B= (e1,e2,...,ep) est une base deE. (a1,a2,...,ap) est un ´el´ement deKpetfest la forme lin´eaire deEqui `a

tout ´el´ementu=p? k=1x kekdeEassociep? k=1a kxk. Ecrire une matrice def.

Q2. (x1,x2,...,xn) est un ´el´ement deKn.E=Kr[X].E?=Kn. On consid`ere l"application lin´eairefdeEdansE?

qui `a tout ´el´ement dePdeEassocie?P(x1),P(x2),...,P(xn)?. Ecrire une matrice def.

Q3.E=M2(R).A=?1a

a1? .?M?E, f(M) =AM-MA.fest clairement un endomorphisme deE. Ecrire une matrice deE.

Q4.E=R3[X].?P?E, f(P) =?

P(1),P(2),P(-1)?

fest clairement une application lin´eaire. Ecrire une matrice def. Trouver le noyau et l"image def.Exercice 2Pratique du produit matriciel 1.

(Ei)i?[[1,n]]est la base canonique deMn,1(K).A= (aij) est un ´el´ement deMn(K). ietjsont deux ´el´ements de [[1,n]]. Q1. Ecrire `a l"aide de produits matriciels laj`emecolonneCj(A) deA. Q2. Ecrire `a l"aide de produits matriciels lai`emeligneLi(A) deA. Q3. Ecrire `a l"aide de produits matriciels l"´el´ementaij.

J.F.C. Mat. p. 2

Ces r´esultats sont tr`es utiles pour "extraire" une ligne, ou un colonne ou un ´el´ement d"une matrice.

Il permettent aussi de montrer, de mani`ere ´el´egante, l"´egalit´e de deux matrices.?Contrˆole.

Reprendre le probl`eme avec une matriceAdeMn,p(K).Exercice 3??Pratique du produit matriciel 2. Q1.Aappartient `aMn,p(K) etBappartient `aMp,n(K). V´erifier que tr(AB) = tr(BA). Q2. Montrer que deux matrices semblables deMn(K) ont mˆeme trace.

Ce r´esultat permet de d´efinir la trace d"un endomorphisme d"un espace vectoriel de dimension finie et non nulle (comme

la trace de l"une de ses matrices).Exercice 4Pratique du produit matriciel 3. X=( ((x 1 x 2... x n) ))etY=( ((y 1 y 2... y n) ))sont deux ´el´ements deMn,1(K).

Q1. Que dire de

tXYet detY X?

Q2. Que dire deA=XtY? CalculerApen fonction deA,α=tY X=tXYet dep, pour tout ´el´ementpdeN?.?Q3. a) (Ei)i?[[1,n]]est la base canonique deMn,1(K). Pr´eciserEptEqettEpEqpourpetqdans [[1,n]].

b) (Eij)(i,j)?[[1,n]]2est la base canonique deMn(K). Soientp,q,retsquatre ´el´ements de [[1,n]].

Montrer que siq?=ralorsEpqErs= 0Mn(K)et siq=r:EpqErs=Eps.?Contrˆole.Interpr´etation matricielle des op´erations ´el´ementaires dans la m´ethode du pivot.

(Eij)(i,j)?[[1,n]]2est la base canonique deMn(K).

Q1.ietjsont deux ´el´ements distincts de [[1,n]] etλest un ´el´ements deK. On note?l"application deMn(K) dans

lui mˆeme qui a une matriceAdeMn(K) associe la matrice d´eduite deApar l"op´erationLi←Li+λLj.

Clairement?(In) =In+λEij.

a) Montrer que?A? Mn(K), ?(A) =?(In)A. b) Montrer queIn+λEijest inversible et d"inverseIn-λEij. ?Contrˆole du contrˆole.

Q2.ietjsont deux ´el´ements distincts de [[1,n]]. On noteψl"application deMn(K) dans lui mˆeme qui a une matrice

AdeMn(K) associe la matrice d´eduite deApar l"op´erationLi↔Lj. a) Montrer queψ(In) =In-Eii-Ejj+Eij+Eji. b) Montrer que?A? Mn(K), ψ(A) =ψ(In)A. c) Montrer queψ(In) est inversible et d"inverse elle mˆeme. Q4. Traiter l"op´erationLi←λLi(λ?= 0).

J.F.C. Mat. p. 3

Exercice 5?Pratique du produit matriciel 4.

Q1. Montrer que le produit de deux matrices triangulaires sup´erieures deMn(K) est une matrice triangulaire

sup´erieure.

Q2.Dest une matrices diagonale deMn(K) dont les ´el´ements de la diagonale sont deux `a deux distincts.

a) Trouver toutes les matrices deMn(K) qui commutent avecD. b) IciK=C. Trouver le nombre de matricesRdeMn(C) telles queR2=D. ?Contrˆole 1.

(Eij)(i,j)?[[1,n]]2est la base canonique deMn(K).Cest l"ensemble des ´el´ements deMn(K) qui commutent avec tousles ´el´ements deMn(K).

Q1. Montrer queCcontient la droite vectorielle engendr´ee parIn.

Q2. SoitA= (aij) un ´el´ement deC. Soientpetqdeux ´el´ements distincts de [[1,n]].Epq= (eij).

EvaluerAEpqetEpqA. Qu"en d´eduire?

Q3. DonnerC.

?Contrˆole 2.

E=Mn(K). On noteSl"ensemble des ´el´ementsA= (aij) deEtels qu"il existe un ´el´ementλAdeKv´erifiant:

n k=1a ik=n? k=1a kj=λApour tout (i,j) dans [[1,n]]2.

Q1. Montrer que siAetBsont deux ´el´ements deS,A+B,αA(α?K) etABsont encore des ´el´ements deS.

Q2.Jest la matrice deEdont tous les coefficients sont ´egaux `a 1. Montrer queSest l"ensemble des ´el´ements deE

qui commutent avecJ.Exercice 6D´efinition analytique d"une application lin´eaire.

B= (e1,e2,...,ep) est une base deEetB?= (e?1,e?2,...,e?n) est une base deE?.fest une application lin´eaire de

EdansE?etA=M(f,B,B?).

uest un ´el´ement deEde matriceXdansB. Montrer que la matrice des coordonn´ees def(u) dans la baseB?estAX.Exercice 7?Base duale. Transpos´ee.

B= (e1,e2,...,en) est une base deE.E?est l"espace vectoriel des formes lin´eaires surE. Pour toutidans [[1,n]],e?i

est la forme lin´eaire surEd´efinie par: ?k?[[1,n]], e?i(ek) =?1 sik=i

0 sik?=i

Q1. Montrer queB?= (e?1,e?2,···e?n) est une base deE?. Q2.uest un endomorphisme deEde matriceAdansB. Pour toutfdansE?on pose:?(f) =f◦u.

Montrer que?est un endomorphisme deE?de matricetAdans la baseB?.Exercice 8?Pratique du produit matriciel 5.

aest le nombre complexeei2πn . On pose:?(p,q)?[[1,n]]2, upq=a(p-1)(q-1)etvpq= 1/upq. On consid`ere les ´el´ementsU= (upq) etV= (vpq) deMn(C). CalculerUVetU2.

J.F.C. Mat. p. 4

Exercice 9Applications lin´eaires bijectives et matrices inversibles.Facultatif.

Q1.B= (e1,e2,...,en) est une base deEetB?= (e?1,e?2,...,e?n) est une base deE?.fest une application lin´eaire

deEdansE?etA=M(f,B,B?). Montrer queAest inversible si et seulement sifest bijective. Que dire de plus?

Q2. SoitAune matrice deMn(K). Montrer queAest inversible si et seulement si il existe une matriceA?(resp.A??)

deMn(K) telle queA?A=In(resp.AA?=In).Exercice 10Inversibilit´e d"une matrice triangulaire.Facultatif.

B= (e1,e2,...,en) est une base deE,fest un endomorphisme deEetA= (aij) =MB(f). Pour tout ´el´ementide

[[1,n]],Ei= Vect(e1,e2,...,ei). Q1. Montrer queAest triangulaire sup´erieure si et seulement si:?i?[[1,n]], f(Ei)?Ei.

Q2. On supposeAtriangulaire sup´erieure. Montrer queAest inversible si et seulement si?i?[[1,n]], aii?= 0.Exercice 11?Matrice inversible

Aest-elle inversible? Si oui calculer son inverse. a)A=( (1 1 1 0 1-1 -1 1-2) b)A=( (2 1 1 1 2 1

1 1 2)

c)A=( (((((1 0··· ···0

1 2.................................0

1··· ···1n)

)))))?Contrˆole.Aest-elle inversible? Si oui calculer son inverse. a)A=( (2 2 1 -1-1-1

1 2 2)

. b)aest un ´el´ement deKetA=( (((1a···a

0..................a

0···0 1)

)))est un ´el´ement deMn(K).Exercice 12?Caract´erisation des matrices de rang 1.

Q1.C=(

((c 1 c 2... c n) ))est une matrice non nulle deMn,1(K) etL= (?1?2... ?n) une matrice non nulle deM1,n(K).

Montrer queA=CLest une matrice de rang 1 (on pourra consid´erer le sous-espace vectoriel engendr´e par les

colonnes deA).

Q2. Enoncer et d´emontrer une r´eciproque.

?Contrˆole.XetYsont deux variables al´eatoires sur (Ω,A,P) prenant leurs valeurs dans [[1,n]]. Montrer queXetY

sont ind´ependantes si et seulement si la matriceA= (P({X=i} ∩ {Y=j})) deMn(R) est de rang 1.Exercice 13Polynˆome de matrices 1.

Q1. SoitD= Diag(α1,α2,...,αn) une matrice diagonale deMn(K) etPun ´el´ement deK[X]. Que dire deP(D)?

Q2. SoientAetBdeux matrices semblables deMn(K). SoitQun ´el´ement deK[X]. Montrer queQ(A) etQ(B) sont

semblables. ?Contrˆole.

J.F.C. Mat. p. 5

AetBsont deux ´el´ements deMn(K) tels que :AB-BA=A. Q1. a) Exprimer de mani`ere simpleAkB-BAken fonction deAkpour toutkdansN. b) Montrer que pour toutPdansK[X]:P(A)B-BP(A) =AP?(A). Q2. On rappelle qu"il existe un polynˆome non nulQdeK[X] tel que:Q(A) = 0Mn(K). a) Montrer que pour toutkdansN:AkQ(k)(A) = 0Mn(K).

b) En d´eduire qu"il existe un ´el´ementrdeNtel que:Ar= 0Mn(K).Exercice 14Polynˆome de matrices 2.QSP ESCP 2010.

netpsont deux ´el´ements de [[2,+∞[[.Aest une matrice deMn(R) telle queAp= 0Mn(R)etAp-1?= 0Mn(R).

On poseE={P(A);P?R[X]}.

Montrer queEest un sous-espace vectoriel deMn(R) et trouver sa dimension.Exercice 15Polynˆome annulateur.

Q1. SoitAune matrice deMn(K) telle queA3+ 2A2-A+In= 0Mn(K). Montrer queAest inversible et calculer A -1. G´en´eraliser.

Q2.Aest une matrice deMn(K). Montrer queAposs`ede un polynˆome annulateur non nul.Exercice 16?Matrice `a diagonale strictement dominante.

A= (aij) est un ´el´ement deMn(R) tel que:

?i?[[1,n]],n? j=1 j?=i|aij|<|aii|

Montrer queAest inversible (prendreX=(

((x 1 x 2... x n)

))tel que AX=0 et consid´erer:|xi0|= Max(|x1|,|x2|···,|xn|)).Exercice 17Syst`eme de Cramer.

A= (aij) est une matrice deMn(K). (b1,b2,...,bn) est un ´el´ement fix´e deKn. On consid`ere le syst`eme lin´eaire `an

´equations etninconnues:

(x1,x2,...,xn)?Knet? ?a

11x1+a12x2+···+a1nxn=b1

a

21x1+a22x2+···+a2nxn=b2

a n1x1+an2x2+···+annxn=bn

Montrer que ce syst`eme admet une solution et une seule si et seulement si la matriceAest inversible.Un rappel

Best une base deE,B?est une base deE?etB??est une base deE??.fest application lin´eaire deEdansE?etg

une application lin´eaire deE?dansE??.M(g◦f,B,B??) =M(g,B?,B??)×M(f,B,B?).

J.F.C. Mat. p. 6

Exercice 18?Changement de base.

B= (e1,e2,...,en) est une base deEetB?= (e?1,e?2,...,e?n) est une famille den´el´ements deE. Q1.P=MB(e?1,e?2,...,e?n). Montrer queB?est une base deEsi et seulement siPest inversible. Q2. On suppose queB?est une base deE.Pest la matrice de passage deB`aB?.P= Pas(B,B?). a) Soituun ´el´ement deEde matriceXdansBet de matriceX?dansB?. Montrer quePX?=X. b) Que dire deP-1?

Q3.B??est une troisi`eme base deE. Montrer que:

Pas(B,B??) = Pas(B,B?)×Pas(B?,B??)Exercice 19Changement de base pour une application lin´eaire.

BetB1sont deux bases deE.B?etB?1sont deux bases deE?.fest une application lin´eaire deEdansE?. A=M(f,B,B?) etA1=M(f,B1,B?1).P= Pas(B,B1) etQ= Pas(B?,B?1). Montrer que A

1=Q-1AP?Contrˆole.

SoitAune matrice deMn,p(K) de rangrnon nul. Montrer qu"`a deux petits abus pr`es : ?(P,Q)?GLp(K)×GLn(K), Q-1AP=?IrOr,p-r O n-r,rOn-r,p-r?

En d´eduire que rg

tA= rgAExercice 20Inversibilit´e et transpos´ee. Aest une matrice deMn(K). Montrer quetAest inversible si et seulement siAest inversible.

On suppose queAest inversible. Montrer que(

tA)-1=tA-1Exercice 21Inveribilit´e d"une matrice deM2(K) Q1. Rappeler la condition n´ecessaire et suffisante pour qu"une matrice deM2(K) soit inversible.

Q2. SoitXetYdeux variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,A,P) suivant

toutes deux une loi g´eom´etrique de param`etrep?]0,1[. Pour toutωdans Ω on consid`ere la matriceM(ω) =?X(ω)Y(ω)

Y(ω)X(ω)?

D´eterminer la probabilit´eP?{ω?Ω|M(ω) inversible}?Exercice 22Caract´erisation des matrices semblables.

AetBsont deux matrices deMn(K). Montrer queAetBsont semblables si et seulement il existe un espace vectoriel

Ede dimensionnsurK, deux basesBetB?deEet un endomorphismefdeEtels queA=MB(f) etB=MB?(f).Exercice 23??Pratique de la semblablit´e 1.

n?[[3,+∞[[. A est une matrice deMn(K) telle queAn= 0Mn(K)etAn-1?= 0Mn(K).

J.F.C. Mat. p. 7

Montrer queAest semblable `a:(

(((((0··· ··· ···0

1......

0.....................

0···0 1 0)

En plus

Montrer que l"ensemble des ´el´ements deMn(K) qui commutent avecAest Vect(I,A,...,An-1).

Contrˆole

Aest une matrice non nulle deM3(R) telle queA2= 0M3(R). Montrer queAest semblable `a( (0 0 1 0 0 0

0 0 0)

.Exercice 24??Pratique de la semblablit´e 2.

Montrer queA=(

(1 0 0 0 0-1

0 1 2)

etC=( (1 0 0 0 1 1

0 0 1)

sont semblables.Exercice 25Semblablit´e encore et toujours.

AestBsont deux matrices deMn(K). Montrer que siBest inversibleABetBAsont semblables.?Contrˆole. Montrer queA=(

(2 1 1 1 2 1

0 0 3)

etC=( (3 1 0 0 3 0

0 0 1)

sont semblables.EN PLUS Exercice 26Formule d"inversion de Pascal. HEC 1998

Q1.nest un ´el´ement deN. a) V´erifier rapidement que l"application?deRn[X] dans lui-mˆeme d´efinie par:

?P?Rn[X], ?(P(X)) =P(X+ 1) est un automorphisme deRn[X]. D´eterminer?-1. b) D´eterminer la matriceMde?dans la base canonique (1,X,...,Xn) deRn[X]. c) D´eterminerM-1.

Q2.nest un ´el´ement deN. On suppose que (a0,a1,...,an) et (b0,b1,...,bn) appartiennent `aRn+1et v´erifient:

?j?[[0,n]], bj=j? k=0Ckjak=j? k=0? j k? a k. a) Trouver un lien entre les deux matrices lignes (a0a1... an), (b0b1... bn) etM. b) En d´eduire, pour toutjdans [[0,n]], l"expression deajen fonction des nombresb0, ...,bj.

Q3. Retouver le nombre de surjections d"un ensemble dep´el´ements dans un ensemble den´el´ements.Exercice 27Pseudo-inverse d"une matriceESCP 98

nest un ´el´ement de [[2,+∞[[ etE=Mn(K).

J.F.C. Mat. p. 8

SoitAune matrice deEde rangp. On appelle pseudo-inverse deAtout ´el´ementXdeEtel que:

AXA=A, XAX=XetAX=XA

Q1. IciA=?1 0

0 0? . CalculerA2. A admet-elle un pseudo-inverse?

Q2. Mˆeme chose avecA?=?0 1

0 0? Q3. On supposeAinversible. D´eterminer l"ensemble des pseudo-inverses deA. Q4.XetX?sont deux pseudo-inverses deA. En partant deAXAX?, montrer queAX?=XA, puis queX=X?.

Conclusion?

Q5. On notefl"endomorphisme deKnde matriceAdans la base canoniqueBdeKn. a) On suppose queXest un pseudo-inverse deA. On notegl"endomorphisme deKnde matriceXdans la base canoniqueBdeKn. Montrer que Img= Imfet Kerg= Kerfet queKn= Imf?Kerf.

b) R´eciproquement on suppose queKn= Imf?Kerf. Montrer queAposs`ede un pseudo-inverse.Exercice 28Les matrices au service d"un grand classique d"analyseESSEC 1992

nest un ´el´ement de [[2,+∞[[.fest une application de classeCndeRdansR. On suppose quefetf(n)sont born´ees

surR.

On poseM0= Sup

x?R|f(x)|etMn= Sup x?R|f(n)(x)|. On se propose de montrer que, pour tout ´el´ementkde [[1,n-1]], f (k)est born´ee. h

1,h2, ...,hn-1sontn-1 r´eels non nuls et deux `a deux distincts.

Q1. Montrer queHn-1=(

(((((((((h 11! h 212!

···hn-11(n-1)!

h 21!
h 222!

···hn-12(n-1)!

h n-11! h

2n-12!

···hn-1n-1(n-1)!)

)))))))))est une matrice inversible deMn-1(R).

Q2. Pour tout r´eelxon pose:(

((F 1(x) F 2(x) F n-1(x)) ))=Hn-1( ((f ?(x) f ??(x) f n-1(x))

a) Soitxun r´eel etkun ´el´ement de [[1,n-1]]. En majorant|f(x+hk)-f(x)-Fk(x)|avec l"in´egalit´e de Taylor-

Lagrange, ´etablir que :

|Fk(x)|?2M0+|hk|nn!Mn b) En d´eduire que, pour tout ´el´ementkde [[1,n-1]],f(k)est born´ee.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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