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Universite Paris-Dauphine

M1 MMD-MA

Annee 2012-2013

Analyse fonctionnelle et equations aux derivees partielles

P. Cardaliaguet

Les demonstrations comportant le signe (*) sont a conna^tre. Bibliographie :\Analyse fonctionnelle" H. Brezis, Masson.

Table des matieres

1 Les espaces de Hilbert et le theoreme de Lax-Milgram 5

1.1 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Normes sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Produits d'EVN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Produit scalaire et norme associee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Le theoreme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.5 Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6 Le theoreme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Espaces de Sobolev et equations elliptiques lineaires. 22

2.1 Espaces de Sobolev sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Denitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.3 L'espaceW1;p

0(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Application aux equations elliptiques en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Existence et unicite d'une solution faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Regularite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Application au probleme avec conditions au bord de type Neumann . . . . . . . . . 31

2.4 Espaces de Sobolev en dimension superieure - formulation faible . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Exemples de formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Distributions temperees et transformee de Fourier 35

3.1 Classe de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Applications a l'equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

A Brefs rappels d'integration 43

A.1 Quelques resultats fondamentaux en integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 A.2 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A.3 Integration sur un espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 A.4 Un peu de calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A.5 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A.6 Regularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

Introduction

De nombreux modeles en physique, chimie, biologie et economie sont regis par des equations : ce peut ^etre des equations dierentielles ordinaires, mais aussi des equations aux derivees partielles.

L'objet de ce cours est d'introduire quelques techniques simples d'analyse des equations aux derivees

partielles.

Equations dierentielles ordinaires

Les equations dierentielles ordinaires servent a modeliser des systemes qui evoluent avec le temps. L'inconnue y est une fonction|scalaire ou vectorielle|qui ne depend que de la variable temporelle.

Voici quelques exemples :

Modele logistique :x(t) est la population a l'instantt. x

0(t) =x(t)(x(t))

= taux de reproduction. Modele proie-predateur (Lotka-Volterra) six(t) est la population de proies ety(t) la popula- tion des predateurs,x0(t) =x(t)(y(t)) y

0(t) =y(t)(x(t))

Plus generalement,x0(t) =f(t;x(t))

x(t0) =x0 oux(t) = (x1(t);:::;xN(t))2RN,test le temps etf:RRNRNchamps de vecteurs. Enn,t0est l'instant initial du systeme,x02RNla position initiale.

Methodes de resolution :

1. Calcul explicite (modele logistique) ou semi-explicite (courbes integrales)

2. Calcul numerique : necessite en general une bonne connaissance des conditions d'existence,

d'unicite, de stabilite des solutions. Pour l'EDO donnee ci-dessus, on montre l'existence et l'unicite en utilisant un theoreme de point-xe : supposons par exemple quefsoit continue et lipschitzienne en espace uni- formement en temps : kf(t;x)f(t;y)k Ckxyk 8x;y2RN; t2R PosonsX=C0([t0;t0+]) (ou >0). Alors l'application :X!Xdenie par (x)(t) =x0+Z t t

0f(s;x(s))ds8t2[t0;t0+]

est contractante pour >0 susamment petit. CommeXest un espace de Banach pour la normek k1, on en deduit que possede un unique point xe. 3

Exemples d'equations aux derivees partielles

Dans les equations aux derivees partielles, l'inconnue est une fonction qui depend de plusieurs variables et l'equation lie les derivees partielles de l'inconnue.

Equation de transport : un

uide (1 dimensionnel) avance avec la vitessec. A l'instant initial on ajoute un peu de sel (par exemple) dans ce uide. Siu(t;x) est la concentration de sel (gramme/litre par ex.), alors @u@t (t;x) +c@u@x (t;x) = 0 On peut se xer aussi la condition initialeu(0;x) =u0(x) (concentration initiale de solvant). Equation de la chaleur : siu(t;x) est la temperature dans un l inni de section nulle, alors la chaleur se propage suivant l'equation : @u@t (t;x)@2u@x

2(t;x) = 0

On peut se xer aussi la condition initialeu(0;x) =u0(x) (temperature initiale). Equation des ondes : la hauteuru(t;x) a l'instanttet a la positionxd'une corde vibrante evolue suivant l'equation : 2u@t

2(t;x2) +@2u@x

2(t;x) = 0

On peut se xer aussi la condition initialeu(0;x) =u0(x) (Position initiale de la corde). Equation de Black-Scholes : le prixC(t;x) d'une option d'achat depend du tempstet de la valeurxde l'option suivant l'equation : @C@t (t;x) +12

2x2@2C@x

2(t;x) +rx@C@x

(t;x)rC(t;x) = 0x >0;0< t < T ouTest la maturite de l'option,est la volatilite de l'actif sous-jacent etr >0 de taux de l'actif sans risque. L'equation precedente est complementee par une condition terminale

C(T;x) = maxf0;xKg

ouKest le prix d'exercice.

Methodes de resolution :

Formules explicites : c'est le cas pour les modele exposes ci-dessus. {Pour l'equation de transport, par exemple, on note que toute fonction reelle, la fonction u(t;x) =(xct) verie l'equation. Il sut alors de prendre=u0. {Pour l'equation de la chaleurs, il existe uneformule integrale: u(t;x) =1p2Z R e(xy)22tu0(y)dy t >0; x2R qui fonctionne des queu0est susamment reguliere. {Pour l'equation de Black-Scholes, formule assez lourde. Par contre, il n'existe pas de solution explicite pour la plupart des modeles plus complexes, comme les options europeennes avec des taux et volatilites non constantes, des modeles avec des dividendes. Ce n'est pas le cas non plus pour les options americaines. Malheureusement, les techniques de resolution sont beaucoup plus complexes que pour les EDO. Il n'y a pas de methode generale, qui marche pour toutes les equations. Nous verrons dans ce cours des techniques hilbertiennes (espaces de Sobolev), ainsi qu'une approche tres generale, fonctionnant pour les EDP lineaires : la theorie des distributions. 4

1 Les espaces de Hilbert et le theoreme de Lax-Milgram

1.1 Espaces vectoriels normes

Dans tout le cours,Kdesigne soit l'ensemble des nombres reelsR, soit l'ensemble des nombres complexesC.

1.1.1 Normes sur un espace vectoriel

Denition 1.1SoitEun espace vectoriel surK. On dit qu'une applicationk k:E!Rest une norme si kxk 0pour toutx2E, 8x2E,kxk= 0)x= 0E, (positive homogeneite)8x2E,82K,kxk=jj kxk (inegalite triangulaire)8x;y2E,kx+yk kxk+kyk Remarque 1.2On dit que (E;k k) est un espace vectoriel norme (EVN). La normek kdenit naturellement une notion de distance surE: on mesure la distance entre deux pointsxetydeE parkxyk. Rappelons que cette distance induit les notions d'ouvert, ferme, compact, voisinage, etc... Voici quelques exemples classiques d'EVN. D'autres seront etudies en TD.

1.RN, muni d'une des normes suivantes, est un EVN : pourp2[1;+1[,

kxkp= NX i=1jxijp! 1=p ;kxk1= maxi=1;:::;Njxij;oux= (x1;:::;xN)2RN

2. SoitXun ensemble. L'espace vectorielEdes applicationsborneesdeXdansKpeut ^etre

muni de la norme suivante : kfk1= sup x2Xjf(x)j 8f2E :

3. SoitKest un sous-ensemble compact deRN. L'espace vectorielEdes applicationscontinues

deKdansKpeut ^etre muni de la norme suivante : kfk1= maxx2Kjf(x)j 8f2E : (rappelons que, puisquex! jf(x)jest continue, le maximum est atteint).

4. Soit`1espace vectoriel des series reelles absolument convergentes. Alors`1peut-^etre muni

de la norme kxk1=1X i=1jxij 8x= (x1;x2;:::)2`1 Denition 1.3On dit que deux normeskk1etkk2sur un espace vectorielEsont equivalentes s'il existe deux constantesC1;C2>0telle que C

1kxk1 kxk2C2kxk18x2E :

5 On rappelle que \^etre equivalent a" est une relation d'equivalence (d'ou la terminologie). Theoreme 1.4SiEest de dimension nie, toutes les normes surEsont equivantes. LorsqueEest de dimension innie, ce resultat est toujours faux : Theoreme 1.5SoitEun espace vectoriel. Si toutes les normes surEsont equivalentes, alorsE est de dimension nie. En fait, en dimension innie, il est rare que deux normes soient equivalentes.

1.1.2 Espaces complets

Denition 1.6Soit(E;k k)un EVN surK. On dit qu'une suite(xn)d'elements deEest de

Cauchy si

8 >0;9n02N;8nn0;8p0kxnxn+pk :

Rappelons que toute suite convergente est de Cauchy. Lorsque (E;kk) est un EVN quelconque, la reciproque n'est pas forcement vraie. Denition 1.7On dit qu'un espace vectoriel normeE, muni de la normek kest complet pour cette norme, si toute suite de Cauchy (pour cette norme) d'elements deEconverge. On dit aussi queEest un espace de Banach. Remarque 1.81. Si deux normes sont equivalentes sur un EVEet siEest complet pour l'une des normes, autreEest complet pour l'autre (exercice).

2. SiEest de dimension nie, alorsEest complet (pour toute norme).

3. En dimension innie, il est souvent essentiel pour les applications de travailler avec un espace

complet (cf. la suite du cours).

Exemples :

1. SiXun ensemble et (E;k k1) est l'espace vectoriel des applicationsborneesdeXdansK

^etre muni de la norme kfk1= sup x2Xjf(x)j 8f2E ; alorsEest un espace de Banach.

2. De m^eme, siKest un sous-ensemble compact deRNet (E;k k1) est l'espace vectoriel des

applicationscontinuesdeKdansKmuni de la norme kfk1= maxx2Kjf(x)j 8f2E ; alorsEest un espace de Banach. Voici une condition necessaire et susante pour ^etre complet dans un sous-espace complet : Proposition 1.9Soit(E;k k)un EVN complet etKEnon vide. AlorsKest complet, si et seulement si,Kest ferme. 6 Preuve (*):SupposonsKcomplet. Soit (xn) une suite d'elements deKqui admet une limite x2E. Comme (xn) converge, (xn) est une suite de Cauchy (exercice). CommeKest complet, (xn) possede une limite xdansK. Or la limite d'une suite est unique, ce qui prouve quex= x2K.

DoncKest ferme.

Supposons maintenant queKest ferme. Soit (xn) une suite de Cauchy deK. Alors (xn) est une suite de Cauchy dansE, qui est complet. Donc (xn) admet une limitex2E. CommeKest ferme et (xn) est une suite d'elements deK, la limitexest aussi dansK. Donc (xn) possede une limite dansK, etKest complet.2

1.1.3 Applications lineaires continues

Soit (E;k kE) et (F;k kF) deux espaces vectoriels normes surK. Theoreme 1.10SoitL:E!Funeapplication lineaire. Les assertions suivantes sont equivalentes : (i)Lest continue surE, (ii)Lest continue en0E, (iii) il existe une constanteKtelle que kL(x)kFKkxkE8x2E (iv)Lest lipschitzienne surE(c'est-a-dire, il existe une constanteK0telle quekL(x)L(y)k

Kkxykpour toutx;y2E).

Preuve (*):Il est clair que (i))(ii) et (iv))(i). L'implication (iii))(iv) est aussi tres facile : soitKla constante de (iii). Alors, pour toutx;y2E, on a par linearite deL, kL(x)L(y)kF=kL(xy)kFKkxykE(par (iii)).

D'ou (iv).

Le seul point sur lequel il faut un peu travailler est (ii))(iii) : comme, d'apres (ii),Lest continue en 0 E, pour= 1>0 il existe une constante >0 telle que, siky0EkE, alors kL(y)L(0E)kF= 1. Cela se reecritkL(y)kF1 sikykE, puisqueLest lineaire, et doncL(0E) = 0. Soit maintenantx2Eavecx6= 0E. Notons quey=xkxkEveriekykE, et donckL(y)kF1. On multiplie cette derniere inegalite parkxkE=pour obtenir, par positive homogeneite de la norme puis linearite deL: Cette inegalite etant evidente pourx= 0E, il existe donc une constanteK= 1=pour laquelle l'inegalite de (ii) a lieu.2 SoitL(E;F) l'ensembles de applicationslineaires continuesdeEdansF. Notons queL(E;F) est unKespace vectoriel. Proposition 1.11L'espace vectorielL(E;F)est muni de la norme kTkL(E;F)= sup x6=0EkT(x)kFkxkE

Remarques :

7

1. LorsqueEetFsont de dimension nie, on retrouve la notion de norme matricielle.

2. On montre facilement (exercice) que

kTkL(E;F)= supfkT(x)kFjx2E;kxkE1g

3. Par la suite nous travaillerons frequemment avec l'espaceE:=L(E;K). Cet espace s'appelle

le dual topologique deE. Preuve de la proposition (*):Il est clair queL(E;F) est un espace vectoriel. Montrons que k k

L(E;F)est une norme.

il est clair quekTkL(E;F)0 pour toutT, Supposons quekTkL(E;F)= 0. Alors on a, pour toutx2E,kT(x)kF kTkL(E;F)= 0; soitT(x) = 0F. DoncTest l'application lineaire nulle. (positive homogeneite) SoitT2 L(E;F) et2K. Comme, pour toutx2E, on a kT(x)kF=jj kT(x)kF, on en deduit que kTkL(E;F)= sup x6=0EjjkT(x)kkxk=jjsup x6=0EkT(x)kkxk=jj kTkL(E;F): (inegalite triangulaire) soientT1;T22 L(E;F). On utilise la denition equivalente donnee dans la remarque. Pour toutx2E, aveckxkE1. On a k(T1+T2)(x)kF=kT1(x) +T2(x)kF kT1(x)kF+kT2(x)kF kT1kL(E;F)+kT2kL(E;F) En prenant le supremum surx, aveckxkE1, on obtient : kT1+T2kL(E;F) kT1kL(E;F)+kT2kL(E;F) 2 Voici quelques proprietes elementaires de cette norme : siT2 L(E;F), alors (i)kT(x)kF kTkL(E;F)kxkE8x2E (ii) en particulier,kT(x)T(y)kF kTkL(E;F)kxykE8x;y2E Theoreme 1.12SiFest un espace de Banach, alorsL(E;F)est egalement un espace de Banach. Remarque 1.13En particulier le dual d'un EVN est toujours complet : rappelons que le dualE d'un EVNEest l'ensemble des formes lineaires continues surE: E =fT:E!R; Tlineaire continueg Preuve :Supposons que (Tn) soit une suite de Cauchy dansL(E;F). Montrons d'abord que, pour toutx2E, la suite (Tn(x) est une suite de Cauchy dansF. Six= 0E, alorsTn(x) = 0F, et le resultat est evident. Supposons maintenant quex6= 0. Fixons >0. Comme (Tn) est de Cauchy, il existen02Ntel que

8nn0;8p0;kTnTn+pkL(E;F)kxkE

Par consequent,

8nn0;8p0;kTn(x)Tn+p(x)kL(E;F) kTnTn+pkL(E;F)kxkEkxkEkxkE=

8 Donc la suite (Tn(x)) est de Cauchy dans l'espace completE: elle admet une limite noteeT(x). Comme lesTnsont lineaires, on voit facilement queTl'est aussi. Montrons queTest continue. Pour cela, on note que, puisque la suite (Tn) est de Cauchy, la suite de nombres reels (kTnkL(E;F)) l'est aussi, puisque kTnkL(E;F) kTn+pkL(E;F) kTnTn+pkL(E;F)8n;p0: Donc, commeRest complet, cette suite (kTnkL(E;F)) converge et, en particulier, est bornee par une constanteM. On a alors kTn(x)kF kTnkL(E;F)kxkEMkxkE8x2E;8n2N: On fait tendrenvers +1, ce qui donne, puisqueTn(x)!T(x) et la normek kEest continue, kT(x)kFMkxkE8x2E :

Cela montre queTest continue.

Montrons nalement queTntend versTpour la normek kL(E;F): xons >0 et soitn02N tel que

8nn0;8p0;kTnTn+pkL(E;F)

(un teln0existe puisque (Tn) est de Cauchy). On a alors kTn(x)Tn+p(x)kF8nn0; p0; x2EaveckxkE1 On fait tendrepvers +1dans l'inegalite ci-dessus :Tn+p(x) tend versT(x), ce qui donne kTn(x)T(x)kF8nn0; x2EaveckxkE1 Donc kTnTkL(E;F)= supfkTn(x)T(x)kFjx2E;kxkE1g 8nn0: En conclusion, la suite de Cauchy (Tn) tend versT: cela prouve queL(E;F) est complet.2

1.1.4 Produits d'EVN

Soient (E;k kE) et (F;k kF) deux EVN. On munit (le plus souvent) le produitEFd'une des normes equivalentes suivantes : k(x;y)k1=kxkE+kykF;k(x;y)k1= maxfkxkE;kykFg; k(x;y)k2=kxk2E+kyk2F 12

8(x;y)2EF :

(le fait que ces normes sont equivalentes vient juste du fait que, surR2, les normesk k1,k k1et k k

2sont equivalentes).

Proposition 1.14SiEetFsont des espaces de Banach, alorsEF(muni d'une des normes ci-dessus), l'est egalement.

Preuve :exercice.2

Denition 1.15 (Applications bilineaires)Soient(E;kkE),(F;kkF)et(G;kkG)trois EVN. On dit que l'applicationT:EF!Gest bilineaire si l'applicationsx!T(x;y)est lineaire pour touty2Fet l'applicationy!T(x;y)est lineaire pour toutx2E. 9 Remarque :Une application bilineaire n'est lineaire... que si elle est nulle (carT(x;y) =

2T(x;y)).

Proposition 1.16SoitT:EF!Gest une application bilineaire. AlorsTest continue sur EFsi et seulement si il existe une constanteCtelle que kT(x;ykGCkxkEkykF8(x;y)2EF :

Preuve :exercice.2

1.2 Espaces de Hilbert

1.2.1 Produit scalaire et norme associee

Commencons par le cas des espaces vectoriels reels. Denition 1.17 (Produit scalaire reel)SoitHunRespace vectoriel. On appelleproduit scalairesurHtoute applicationB:HH!Rbilineaire, symetrique, denie positive, i.e., (i)Best une forme bilineaire surH, (ii)Best symetrique, i.e.,B(x;y) =B(y;x)8(x;y)2HH ; (iii)Best denie positive :B(x;x)08x2Het siB(x;x) = 0;alorsx= 0H: Denition 1.18 (Produit scalaire complexe)SoitHunCespace vectoriel. On appellepro- duit scalairesurHtoute applicationB:HH!Csesquilineaire, hermitienne, denie positive, i.e., (i)Best une forme sesquilineaire surH, i.e., a) pour touty2H, l'applicationx!B(x;y)(deHdansC) est lineaire,

b) pour toutx2H, l'applicationy!B(x;y)(deHdansR) est anti-lineaire (B(x;y+z) =B(x;y) +B(x;z)pour toutx;y;z2H,2C),

(ii)Best hermitienne, i.e.,B(x;y) =B(y;x)8(x;y)2HH ; (iii)Best denie positive :B(x;x)08x2Het siB(x;x) = 0;alorsx= 0H: Remarque:siBest hermitienne, alorsB(x;x) est reel puisqueB(x;x) =B(x;x). Le plus souvent un produit scalaire est noteh;iau lieu deB. Proposition 1.19SoitHun espace vectoriel reel ou complexe muni d'un produit scalaireh;i.

Alors, si on pose

kxk= (hx;xi)12

8x2H(1)

on a : (i) kx+yk2=kxk2+ 2Re(hx;yi) +kyk28x;y2H : (ii) (Cauchy-Schwarz) jhx;yij kxk kyk 8x;y2H : 10 (iii) (Identite du parallelogramme)

2(kxk2+kyk2) =kx+yk2+kxyk28x;y2H :

(iv)k kdenit une norme surH.

Preuve(dans le cas complexe par exemple) :

(i) Six;y2H, alors =kxk2+ 2Re(hx;yi) +kyk2 (ii) (Cauchy-Schwarz) soientx;y2H. Sihx;yi= 0, le resultat est evident. Sinon, soitun argument du nombre complexehx;yi. On a alors, pour tout2R, kx+eiyk2=kxk2+ 2Re(eihx;yi) +jj2kyk2=kxk2+ 2jhx;yij+jj2kyk2: Comme le polyn^ome a coecients reels! kxk2+2jhx;yij+2kyk2ne prend pas de valeur negative, son discriminant est negatif ou nul : 4jhx;yij24kxk2kyk20, ce qui donne l'inegalite annoncee. (iii) (Identite du parallelogramme) six;y2H, on a kx+yk2+kxyk2=kxk2+2Re(hx;yi)+kyk2+kxk22Re(hx;yi)+kyk2= 2(kxk2+kyk2) (iv)k kdenit une norme surH. Nous ne montrons que l'inegalite triangulaire, le reste etant laisse en exercice : kx+yk2=kxk2+ 2Re(hx;yi) +kyk2 kxk2+ 2kxk kyk+kyk2(par Cauchy-Schwarz) (kxk+kyk)2 2

Exemples

surRN, le produit scalaire usuel est deni par : hx;yi=NX i=1x iyi8x= (x1;:::;xN); y= (y1;:::;yN)2RN: de m^eme surCN, le produit scalaire usuel est deni par : hx;yi=NX i=1x iyi8x= (x1;:::;xN); y= (y1;:::;yN)2CN:

L'espaceL2(X;R) est muni du produit scalaire

hf;gi=Z X fgd8f;g2L2; 11 En particulier, le prototype des espaces de Hilbert est l'espace`2(R) (ou`2(C)) des suites reelles (resp. complexes) (xi)i2Nde carre sommable :P1 i=1jxij2<+1. Cet espace est muni du produit scalaire hx;yi=1X i=1x iyi8x= (xi)i2N; y= (yi)i2N2`2: (Dans le cas complexe, le produit scalaire esthx;yi=1X i=1x iy i). Denition 1.20SoitHun espace vectoriel muni d'un produit scalaireh;i. On dit queHest un espace de Hilbert siH, muni de la norme associee au produit scalaireh;i(par (1)) est un espace complet. Remarque:Tout espace de Hilbert est un espace de Banach. La reciproque est fausse : en general une norme quelconque ne provient pas d'un produit scalaire (exercice : montrer que, si H=RN, il n'existe pas de produit scalaireBtel queB(x;x) =kxk21).

1.2.2 Le theoreme de projection

Rappelons d'abord quelques notions elementaires sur les ensembles convexes. Denition 1.21 (Ensemble convexe)SoitEun espace vectoriel. On dit qu'un sous-ensemble

CdeEest convexe si

8x;y2C;82[0;1]; x+ (1)y2C :

Par exemple, un sous-espace vectoriel deEest toujours convexe. Denition 1.22 (Fonction convexe)SoitEun espace vectoriel etCun sous-ensemble convexe deE. Une applicationf:C!Rest convexe si

8x;y2C;82[0;1]; f(x+ (1)y)f(x) + (1)f(y):

Voici quelques proprietes classiques des ensembles convexes (leur preuve est un bon exercice) :

1. Une intersection quelconque de convexes est convexe.

2. Sif:E!Rest convexe, alors, pour toutc2Rl'ensemblefx2Ejf(x)cgest convexe.

Le theoreme suivant est le resultat une des proprietes les plus importantes des espaces de Hilbert. Theoreme 1.23 (de projection (cas reel))SiHest un espace vectoriel muni d'un produit scalaire h;ietFest un sous-ensemble convexe complet non vide deH, pour toutx2Hil existe un unique pointF(x)2F(appele le projete dexsurF) tel que kxF(x)k= miny2Fkyxk:quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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