[PDF] Analyse fonctionnelle et équations aux dérivées partielles (Deuxi

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Universite Paris-Dauphine

DUMI2E

Annee 2012-2013

Analyse fonctionnelle et equations aux derivees partielles (Deuxieme partie)

P. Cardaliaguet

Les demonstrations comportant le signe (*) sont a conna^tre. Bibliographie :\Analyse fonctionnelle" H. Brezis, Masson.

Table des matieres

2 Integration2

2.1 Quelques resultats fondamentaux en integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Integration sur un espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Regularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Espaces de Sobolev et equations elliptiques lineaires. 10

3.1 Espaces de Sobolev sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Denitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.3 L'espaceW1;p

0(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Application aux equations elliptiques en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Existence et unicite d'une solution faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Regularite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Application au probleme avec conditions au bord de type Neumann . . . . . . . . . 19

3.4 Espaces de Sobolev en dimension superieure - formulation faible . . . . . . . . . . . . 20

3.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.2 Exemples de formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

2 Integration

2.1 Quelques resultats fondamentaux en integration

Soit (X;A;) un espace mesure :Xest un ensemble,Aune tribu surXetune mesure surA. Un exemple typique est le triplet (R;B;), ouBest la tribu borelienne deR(i.e., la plus petite tribu contenant les ouverts deR) et ou la mesureest la mesure de Lebesgue deR(i.e., l'unique mesure surBveriant(]a;b[) =bapour tout couple de reelsa < b).

Rappelons qu'une fonctionf:X!Rest ditemesurablesi

f

1(S)2 A 8S2 B1

ou, de facon equivalente,

8a2R; f1(] 1;a])2 A:

La mesurabilite est une propriete stable par addition, par multiplication, par passage au sup, et par

limite simple : sifetgsont mesurables, alorsf+g,fg, supff;ggle sont, et si (fn) est une suite de fonctions mesurables qui converge simplement vers une fonctionf, alorsfest egalement mesurable. Rappelonsegalement que, sif:X!Rest une fonction mesurable et positive, alorsR

Xf(x)d(x)

est une quantite bien denie, qui appartient aR[ f+1g. Lorsque cette quantite est nie, on dit quefest integrable. Plus generalement, sif:X!R, on dit encore quefest integrable sijfjest integrable (noter quejfj= maxff;fg, doncjfjest encore mesurable). Dans ce cas Z X f(x)d(x) :=Z X f+(x)d(x)Z X f(x)d(x) ouf+= maxff;0getf= maxff;0g: Rappelons enn qu'une proprieteP(x) denie pourx2Xest vraiepresque partout s'il existe un ensemble de mesure nulleNtelle queP(x) est vraie pour toutx2XnN. Voici quelques inegalites classiques qui permettent de majorer des integrales :

Proposition 2.1Soit(X;A;)un espace mesure.

(inegalite triangulaire) sifest integrable, alors Z X fdZ X jfjd (inegalite de Jensen) Soit(X) = 1etfintegrable. On suppose quea < f < b p.p. (ou

1 a < b+1). Soit :]a;b[!Rune fonction convexe. Alors

Z X fd Z X (f)d ou le membre de droite est bien deni et appartient a] 1;+1]. Voici trois resultats de convergence qu'il faut tres bien conna^tre : Proposition 2.2 (Convergence monotone)Si(fn)est une suitecroissantede fonctions mesurables, positives, alors lim n!+1Z X f n(x)d(x) =Z X limn!+1fn(x)d(x): 2 Lemme 2.3 (de Fatou)Si(fn)est une suite de fonctions mesurablespositives, alors Z X liminfn!+1fn(x)d(x)liminfn!+1Z X f n(x)d(x) Theoreme 2.4 (Convergence dominee)Si(fn)une suite de fonctions mesurables qui converge presque partout vers une fonctionfet pour laquelle il existe une fonction integrablegtelle que jfn(x)j g(x) pourpresque toutx2X, pour toutn2N.

Alorsfest integrable et

lim nZ X f nd=Z X fd : Remarque 2.5De plus, la convergence de (fn) versfa lieu au sensL1: lim n!+1Z X jffnjd= 0:

2.2 Les espacesLp

Soit (X;A;) un espace mesure etpun reel superieur ou egal a 1. L'espaceLp(X;) est l'ensemble des fonctions mesurablesf:X!Rtelles que l'integraleZ X jf(x)jpd(x) est nie. SurLp(X;), on denit la relation d'equivalencefgsif=g p.p. On noteLp(X;) l'ensemble des classes d'equivalences de. L'idee est que l'on peut manipuler les elements deLp(X;) a peu pres comme ceux deLp(X;) : en particulier, sif;g2Lp(X;), on peut denirf+gen prenant la classe d'equivalence de n'importe somme~f+ ~gou~fet ~gsont des representants defetg(exercice). Lorsquep= +1, on denitL1(X;) l'ensemble des (classes d'equivalence de) fonctions qui sont essentiellement bornees :f2L1(X;) sifest mesurable et s'il existe une constanteC0 telle quejfj C p.p. La normekfk1est alors la plus petite constanteCpour laquelle cette inegalite est veriee. Soitp2]1;+1[. On appelle exposant conjugue deple nombre reelp0tel que 1p +1p

0= 1 i.e.,p0=pp1.

En particulier,p0>1. Si par exemplep= 2, alorsp0= 2. Lorsquep= 1, on pose par convention p

0= +1, tandis que lorsquep= +1, on posep0= 1.

Lemme 2.6 (Inegalite de Holder)Soitp2[1;+1]etf2Lp(X;)etg2Lp0(X;), alors fg2L1(X;)etZ X fg d Z X jfjpd 1p Z X jgjp0d 1p 0 Remarque :Une consequence tres importante de l'inegalite de Holder, est la suite d'inclusion suivantes : si(X)<+1, alorsL1(X)Lp(X)Lr(X)L1(X)81rp+1: Par contre, aucune de ces inclusions n'est vraie si(X) =1. 3 Pour montrer ces inclusions (*),il sut de prendrer < pet, siu2Lp(X), on peut appliquer l'inegalite de Holder aux fonctionsf=jujretg= 1 avec le coecient=p=r >1 et0==(1) : Z X jujrd Z X jujrd 1=Z X 101=0
= ((X))1=0Z X jujpd 1=0 <+1

Doncu2Lr(X).2

Pourf2Lp(X;), on pose

kfkp= Z X jf(x)jpd(x) 1p Rappelons l'inegalite de Minkowski : sif;g2Lp(X;), alorsf+g2Lp(X;) et kf+gkp kfkp+kgkp:

En particulier,k kpest une norme surLp(X;).

Theoreme 2.7 (Riesz-Fischer)L'espaceLp(X;), muni de la normek kp, est un espace de Banach. Lorsquep= 2, l'espaceL2(X;)est un espace de Hilbert lorsqu'on le munit du produit scalaire hf;gi=Z X f(x)g(x)d(x)8f;g2L2(X;): Rappelons que la convergence dansLpn'implique pas en general la convergence ponctuelle, ni m^eme la convergence presque partout. Par contre, si (fn) converge versfdansLp(pourp2 [1;+1]), alors il existe une sous-suite (fnk) qui converge presque partout versf. En eet, supposons quep <+1(pourp= +1c'est evident). Comme (fn) est une suite de Cauchy dansLp, il existe une sous-suite (fnk) telle que kfnk+1fnkkp12 k8k0:

Donc, si on posegn=Pn

k=0jfnk+1fnkj, on akgnkp1. Par convergence monotone, cela implique que la limite ponctuellegde la suite croissante (gn) verie egalementkgkp1. En particulierX1:=fx2X ; g(x) = +1gest de mesure nulle. Pour toutx2XnX1, on aP kjfnk+1(x)fnk(x)j<+1, et donc la serieP k(fnk+1(x)fnk(x)) est absolument convergente, donc convergente. On en deduit que la limitef(x) de la suite (fnk(x)) existe pour presque toutx.

Mais, d'apres le lemme de Fatou, on a

Z X jf(x)f(x)jpd(x)liminfk!+1Z X jf(x)fnk(x)jpd(x) = 0 ou la derniere egalite vient du fait que (fnk) tend versfdansLp. On en deduit quef=fp.p., et donc que la suite (fnk) tend versfp.p..2

2.3 Integration sur un espace produit

Soient (X1;A1;1) et (X2;A2;2) deux espace mesures. On appelle tribu produit deA1etA2la tribu engendree par le produitA1 A2(qui n'est pas une tribu en general). On note cette tribu produitA1 A2. On montre qu'il existe une unique mesuresurX1X2telle que (A1A2) =1(A1)2(A2)8(A1;A2)2 A1 A2:

Cette mesure est notee1

2et est appelee la mesure produit de1et2.

4 Theoreme 2.8 (Fubini 1 (pour les fonctions positives))Soitf:X1X2!Rune applica- tion mesurable par rapport a la tribu produitA1

A2et positive. Alors

1. L'applicationh1(x1) :=R

X

2f(x1;x2)d2(x2)est mesurable et

Z X 1h

1(x1)d1(x1) =Z

X

1X2f(x1;x2)d(1

2)(x1;x2):

2. L'applicationh2(x2) :=R

X

1f(x1;x2)d1(x1)est mesurable et

Z X 2h

2(x2)d2(x2) =Z

X

1X2f(x1;x2)d(1

2)(x1;x2):

3. En particulier,

Z X

1X2fd(1

2) Z X 1 Z X

2f(x1;x2)d2(x2)

d

1(x1) =Z

X 2 Z X

1f(x1;x2)d1(x1)

d

2(x2):

Toutes les integrales ci-dessus sont bien denies, et appartiennent a[0;+1]. Remarque 2.9En pratique, le resultat ci-dessus permet de montrer qu'une fonctionf=f(x1;x2) est integrable. Lorsque c'est le cas, on peut alors appliquer le theoreme de Fubini 2 : Theoreme 2.10 (Fubini 2 (pour les fonctions integrables))Soitf:X1X2!Rune ap- plication integrable par rapport a la mesure produit1

2. Alors

1. L'applicationh1(x1) :=R

X

2f(x1;x2)d2(x2)est denie pour1presque toutx1, est integrable,

et Z X 1h

1(x1)d1(x1) =Z

X

1X2fd(1

2):

2. L'applicationh2(x2) :=R

X

1f(x1;x2)d1(x1)est denie pour2presque toutx2, est integrable,

et Z X 2h

2(x2)d2(x2) =Z

X

1X2fd(1

2):

3. En particulier,

Z X

1X2fd(1

2) Z X 1 Z X

2f(x1;x2)d2(x2)

d

1(x1) =Z

X 2 Z X

1f(x1;x2)d1(x1)

d

2(x2):

Remarque 2.11Un exemple particulierement simple d'application est lorsquef1etf2sont integrables par rapport a1et2respectivement. Alors la fonctionf(x1;x2) =f1(x1)f2(x2) est integrable par rapport a a la mesure produit1 2et Z X

1X2f(x1;x2)d(1

2)(x1;x2) =

Z X 1f

1(x1)d1(x1)

Z X 2f

2(x2)d2(x2)

5

2.4 Produit de convolution

On travaille ici dansRNmuni de la tribu borelienne et de la mesure de Lebesgue. Soientfetg deux applications deRNdansRN, positives. On appelle produit de convolution defetg, note f ? g, l'application (f ? g)(x) =Z R

Nf(y)g(xy)dy=Z

R

Nf(xy)g(y)dy ;

lorsque ces quantites sont bien denies et qu'on peut appliquer le theoreme de Fubini. Proposition 2.12Voici trois cas ou le produit de convolution est bien deni. Sifetgsont integrables, alors(f ? g)(x)est deni pour presque toutx2RN,f ? gest egalement integrable et Z R

N(f ? g)(x)dx=

Z R

Nf(x)dx

Z R

Ng(x)dx

Sif2Lp(RN)etg2Lp0(RN)(avecp2[1;+1]etp0l'exposant conjugue dep), alorsf ?g(x) est deni pour presque toutx2RNetf ? g2L1(RN)aveckf ? gk1 kfkpkgkp0. Sif2Lp(RN)etg2L1(RN)(avecp2[1;+1]), alors(f ?g)(x)est deni pour presque tout x2RN,f ? g2Lp(RN)etkf ? gkp kfkpkgk1. Remarque 2.13En particulier, sifetgsont des densites de probabilite, i.e.,f0 etg0 p.p. avec Z R f(x)dx=Z R g(x)dx= 1; alorsf ? gest egalement une densite de probabilite. En particulier, siXetYsont des variables aleatoires reelles de densite respectivesfetg, et siXetYsont independantes, alors la variable aleatoire a pour densitef ? g. Preuve de la proposition (*):On suppose d'abord quef;g2L1(RN). Notons d'abord que l'application (x;t)!f(y)g(xy) est bien integrable surRNRN(on admet la mesurabilite). En eet, en utilisant le theoreme de Fubini 1 puis un changement de variable, on a Z R

NRNjf(y)g(xy)jdxdy=Z

R

Njf(y)j

Z R

Njg(xy)jdx

dy=Z R

Njf(y)j

Z R

Njg(x)jdx

dy =kgk1Z R

Njf(y)jdy=kgk1kfk1<+1:

Donc (x;t)!f(y)g(xy) est integrable surRNRN, et on a, d'apres le theoreme de Fubini

2, que l'integraleR

R Nf(y)g(xy) est denie pour presque toutx(ce qui deni (f ? g)(x) pour presque toutx) et Z R

N(f ? g)(x)dx=Z

R N Z R

Nf(y)g(xy)dy

dx=Z R Nf(y) Z R

Ng(xy)dx

dy Z R Nf(y) Z R

Ng(x)dx

dy= Zquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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