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Introduction à la modélisation mathématique et à l"analyse numérique des équations aux dérivées partielles Chapitre 3 : formulation variationnelle des problèmes elliptiquesPr. Pascal Frey

Laboratoire Jacques Louis Lions

Institut des sciences du calcul et des données

Sorbonne Université

master MPE, 2020-2021

Plan du chapitre

Nous abordons l"étude théorique des problèmes elliptiques dans un contexte général. Nous nous concentrerons sur une approche, appelée l"approche variationnelle. Il existe néan- moins d"autres moyens de résoudre des problèmes elliptiques, comme travailler avec des

fonctions de Green.L"approche variationnelle est assez simple et bien adaptée à toute une classe de méthodes

d"approximation.Nous traiterons successivement des points suivants 1.

Prob lèmeaux limites modèle

2.

Prob lèmesva riationnelsabstraits

3.

Applications à des p roblèmesmodèles

4.

Prob lèmesdu second o rdregénéraux

Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20212/54

Formulation variationnelle des problèmes elliptiques

1 Problème aux limites modèle

Le plus simple de tous les modèles est une "légère" généralisation de l"équation de Poisson

avec une condition aux limites de Dirichlet homogène.Soit un ouvert Lipschitz deRd, une fonctionc2L1( )et une autre fonctionf2L2(

On cherche une fonctionu:

!Rtelle que (u+cu=fdans u= 0sur@ :(1)Nous allons transformer le problème des valeurs aux limites (1) en un type de problème

entièrement différent qui se prête à une théorie d"existence et d"unicité, ainsi qu"à la définition

de méthodes d"approximation.

Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20213/54

1.Problème aux limites mo dèle

Transformons le problème (1) :

Proposition 1.1Supposons queu2H2(

)soit solution du problème(1), i.e., de la première équation. Alors, pour toutv2H10( ), on a Z ru rv dx+Z cuv dx=Z f v dx :(2)Preuve 1.1On considèrev2H10( )quelconque, et on multiplie l"équation parv, ce qui donne (u)v+cuv=f v ; puis on intègre le résultat sur . En effet, chaque terme est intégrable. Tout d"abord,u2H2( doncu2L2( ), etv2L2( )impliquent(u)v2L1( ). De plus,c2L1( ),u2L2( )et v2L2( )impliquentcuv2L1( ). Enfin,f2L2( )impliquef v2L1( ). On obtient ainsi Z (u)v dx+Z cuv dx=Z f v dx : Nous utilisons maintenant la formule de Green, selon laquelle Z (u)v dx=Z ru rv dx+Z 1(u) 0(v)d et nous concluons puisquev2H10( )est équivalent à

0(v) = 0.Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20214/54

1.Problème aux limites mo dèle

Concernant la deuxième équation de (1), i.e. la condition aux limites, nous devons l"interpréter

au sens des traces dans le contexte de Sobolev.En fait, comme nous l"avons vu dans le chapitre précédent, la manière raisonnable d"imposer

la condition aux limites de Dirichlet est d"exiger que

0(u) = 0, ou en d"autres termes, que

u2H10( ).La conjonction de (2) avec l"exigence queu2H10( )est appelée formulation variationnelle du problème ( 1

).Les fonctionsvsont appelées fonctions de test.Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20215/54

1.Problème aux limites mo dèle

Réécrivons la formulation variationnelle dans une forme plus abstraite.

PosonsV=H10(

), il s"agit d"un espace de Hilbert.On introduit la forme bilinéaire surVV a(u;v) =Z (ru rv+cuv)dx et une forme linéaire surV `(v) =Z f v dx :La formulation variationnelle s"écrit alors

8v2V ; a(u;v) =`(v);(3)

et nous avons montré qu"une solution du problème aux limites avec la régularitéu2H2( est solution du problème variationnel ( 3 ).Qu"en est-il de la réciproque ? Une solution du problème variationnel est-elle solution du problème aux limites ?

Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20216/54

1.Problème aux limites mo dèle

La réponse est oui. Les deux problèmes sont équivalents.

Proposition 1.2Supposons queu2H10(

)soit solution du problème variationnel(3).

Alors, on a

u+cu=fau sens deD0(

En outre,u2L2(

)et l"EDP est aussi satisfaite presque partout sur .Preuve 1.2Tout d"abord, notons que la formulation variationnelle(2)a du sens pouru2H10(

Nous avonsD(

)H10( ), donc nous pouvons prendrev='2 D( )comme fonction de test dans 3 ). Examinons chaque terme séparément. Pour le premier terme, nous avons Z ru r'dx=Z dX i=1@ iu@i'! dx=dX i=1 Z iu@i'dx dX i=1h@iu;@i'i=dX i=1h@iiu;'i=* dX i=1@ iiu;'+ =hu;'i; par définition des dérivés au sens des distributions. De même, Z cu'dx=hcu;'ietZ

f 'dx=hf;'i:Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20217/54

1.Problème aux limites mo dèle

Preuve 1.2 (suite)Donc, on a pour tout'2 D(

hu+cuf;'i= 0 ou u+cuf= 0au sens deD0( et l"EDP est satisfaite au sens des distributions. La condition aux limites de Dirichlet est également satisfaite par le simple fait queu2H10( ), donc le problème des valeurs aux limites est résolu.

Pour conclure, nous notons queu=cuf2L2(

Cela implique que la distributionuest une fonctionL2et donc que l"EDP est satisfaite presque partout dans .Notons que la condition

0(u) = 0signifie également en un certain sens queus"annule

presque partout sur la frontière@ .Les deux problèmes sont équivalents, sauf pour le fait que nous avons supposéu2H2( dans un sens, et récupéré seulementu2L2( )dans l"autre.En fait, l"hypothèseu2H2( )est quelque peu artificielle et introduite uniquement pour utiliser la formule de Green.

Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20218/54

1.Problème aux limites mo dèle

Considérons un autre problème elliptique : le problème de Neumann 8>< :u+cu=fdans @u@n =gsur@ :(4)

Lorsqueg= 0la condition est une condition de Neumann homogène.En termes de modélisation, la condition de Neumann est une condition de flux. Par ex-

emple, dans l"interprétation de l"équilibre thermique, la condition correspond à un flux de

chaleur imposé à travers la frontière, par opposition à la condition de Dirichlet qui impose

une température donnée à la frontière.Le casg= 0correspond à une isolation thermique parfaite: aucune chaleur ne peut entrer

ou sortir de

.Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-20219/54

1.Problème aux limites mo dèle

Dérivons la formulation variationnelle de manière informelle.

Supposons d"abord queu2H2(

), prenonsv2H1( ), multiplions, intégrons et utilisons la formule de Green pour obtenir

8v2H1(

);Z (ru rv+cuv)dx=Z f v dx+Z g

0(v)d:

Notons les différents espaces des fonctions test et le terme de frontière supplémentaire dans

le membre de droite.L"inverse est plus intéressant. Soitu2H2( )une solution du problème variationnel. En prenant d"abordv='2 D( ), on obtient u+cu=fau sens deD0(

exactement comme dans le cas de Dirichlet.Bien sûr, une fonction test avec un support compact ne voit pas ce qui se passe sur la

frontière, et aucune information sur la condition de Neumann n"est récupérée...

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1.Problème aux limites mo dèle

Prenons maintenantvquelconque dansH1(

). Par la formule de Green, on a Z ru rv dx=Z (u)v dx+Z 1(u)

0(v)d:Rappelons que la trace normale

1(u)joue le rôle de la dérivée normale.Puisqueuest une solution du problème variationnel, il s"ensuit que

Z (u+cu)v dx+Z 1(u)

0(v)d =Z

f v dx+Z g

0(v)d:Mais on sait déjà que

R (u+cu)v dx=R f v dx, par conséquent il nous reste Z 1(u)

0(v)d =Z

g

0(v)d;

pour toutv2H1( ).Pour simplifier, nous supposons ici queg2H1=2(@ ), l"image de la trace

0, et que

est régulier.

Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-202111/54

1.Problème aux limites mo dèle

Puisqueu2H2(

), il s"ensuit que

1(u) =Pdi=1

0(@iu)ni2H1=2(@

).Il existe doncv2H1( )tel que

0(v) =

1(u)g. Avec ce choix dev, on obtient

Z

1(u)g)2d = 0;

donc

1(u) =g, qui est la condition de Neumann.Les dernières hypothèses (u2H2(

)etg2H1=2(@ )) sont faites par souci de simplicité.Elles ne sont pas nécessaires pour conclure.

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1.Problème aux limites mo dèle

Un autre problème intéressant est le problème de Dirichlet non homogène (u+cu=fdans u=gsur@ :(5) avecg2H3=2(@ ).Ce problème se ramène au problème homogène en considérant une fonctionG2H2( )telle que

0(G) =get en fixantU=uG.

Alors clairementU2H10(

)etU+cU=u+cu+ GcG=f+ GcG.Ensuite, nous écrivons simplement la formulation variationnelle du problème homogène pour

Uavec le membre droitF=f+ GcG2L2(

).Notez qu"il est également possible de résoudre le problème sous l"hypothèse plus naturelle

g2H1=2(@

L"espaceH3=2(@

)est l"espace des traces des fonctions deH2(

).Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-202113/54

1.Problème aux limites mo dèle

Les conditions de Dirichlet et de Neumann peuvent être mélangées ensemble, mais pas au

même endroit sur la frontière, ce qui aboutit au problème dit mixte.Plus précisément, soit1et2deux sous-ensembles de@

tels que

1\2=;;1[2=@

:Le problème mixte s"écrit

8>>>><

>>>:u+cu=fdans u=g1sur1; @u@n

=g2sur2:(6)La formulation variationnelle du problème mixte (dans le casg1= 0par souci de brièveté)

consiste à prendreV=fv2H1(

0(v) = 0sur1get

8v2V ;Z

(ru rv+cuv)dx=Z f v dx+Z 2g2

0(v)d;

avecu2V. Notons que le problème mixte se réduit au problème de Neumann lorsquemeas(1)6= 0et

au problème de Dirichlet lorsquemeas(2)6= 0.Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-202114/54

Formulation variationnelle des problèmes elliptiques

2 Problèmes variationnels abstraits

Nous décrivons maintenant un cadre abstrait général pour tous les problèmes variationnels.

Nous avons vu que certains problèmes aux limites peuvent être reformulés sous la forme suivante.Etant donné un espace de HilbertV(e.g.H10( )ouH1( )), une forme bilinéaire a sur

VVet une forme linéaire`surV.La solution du problème aux limites est solution du problème (3).

À ce stade, nous avons une vision complètement abstraite du problème aux limites. Définition 2.1Un problème variationnel abstrait consiste à trouveru2Vtelle que

8v2V ; a(u;v) =`(v);(7)

oùVest un espace de Hilbert,aest une forme bilinéaire surVVet`est une forme

linéaire surV.Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-202115/54

2.Problèmes va riationnelsabstraits

L"outil de base pour résoudre des problèmes variationnels abstraits est le théorème de Lax-

Milgram.Théorème 2.1 (Lax - Milgram)SoientVun espace de Hilbert,aune forme bilinéaire et`une forme linéaire. Supposons que (i) La fo rmebilinéaire aest continue, i.e. il existe une constanteMtelle que ja(u;v)j MkukVkvkVpour tousu;v2V, (ii) La fo rmebilinéaire aestV-elliptique (coercive), i.e. il existe une constante >0telle quea(v;v)kvk2Vpour toutv2V, (iii) La fo rmelinéaire `est continue, i.e. il existe une constanteCtelle quej`(v)j CkvkV pour toutv2V. Sous les hypothèses ci-dessus, il existe un uniqueu2Vsolution du problème variationnel

abstrait(7).Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-202116/54

2.Problèmes va riationnelsabstraits

Donnons une preuve de ce résultat important

Preuve 2.1Commençons par l"unicité. Soitu1etu2deux solutions du problème(7). Puisqueaest linéaire par rapport à son premier argument, il s"ensuit quea(u1u2;v) = 0pour toutv2V. En particulier, pourv=u1u2, on obtient

0 =a(u1u2;u1u2)ku1u2k2V;

de telle sorte queku1u2kV= 0puisque >0. Nous prouvons ensuite l"existence d"une solution. Notons d"abord que pour toutu2V, l"application

v7!a(u;v)est linéaire (par bilinéarité dea) et continue (par continuité dea). Il existe donc un unique

élémentAudeV0tel quea(u;v) =hAu;viV0;V. De plus, la bilinéarité deamontre que l"application

A:V!V0ainsi définie est linéaire. Elle est également continue puisque pour toutv2Vavec kvkV1, jhAu;viV0;Vj=ja(u;v)j MkukVkvkVMkukV tel que kAukV0= sup kvkV1jhAu;viV0;Vj MkukV: On réécrit le problème variationnel comme : trouveru2Vtelle que

8v2V ;hAu`;viV0;V= 0

ou Au=`;

et c"est là que la continuité de`est utilisée.Introduction à la modélisation et à l"analyse numérique des EDP M2 Maths Pour l"Entreprise, Sorbonne Université, 2020-202117/54

2.Problèmes va riationnelsabstraits

Donnons une preuve de ce résultat important

Preuve 2.1 (suite)Ainsi, prouver l"existence équivaut à montrer que l"applicationAest surjective.

Nous faisons cela en deux étapes indépendantes : nous montrons queimAest fermée d"une part et

qu"elle est dense d"autre part.

Pour la fermeture de l"image, nous utilisons l"hypothèse (ii) deV-ellipticité. Soit`nune suite dans

imAtelle que`n!`dansV0. Nous voulons montrer que`2imA, ce qui impliquera queimAest fermée. La suite`nest une suite de Cauchy dansV0, et pour toutn, il existeun2Vtel queAun=`n.

ParV-ellipticité,

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