[PDF] Approximation variationnelle des problèmes aux limites

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ANNALES DE L"INSTITUTFOURIERJEANCEA

auxlimites Annales de l"institut Fourier, tome 14, no2 (1964), p. 345-444 © Annales de l"institut Fourier, 1964, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Annales de l"institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l"accord avec les conditions gé- nérales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systématique est constitutive d"une in- fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Ami. Inst. Fourier, Grenoble

14 2 (1964),

345-444

APPROXIMATION

VARIATIONNELLE

DES

PROBLÈMES

AUX

LIMITES

pa r Jea n CE A

Introductio

n Dans l'étud e d'u n problème aux limites menée jusqu'au xapplications numériques il y a essentiellement trois stades : 1 e r stade: On se préoccupe de savoir s i le problème est bien posé, c'est-à-dire, s'il a un e solution uniqu e dan s u nsens classique ou plus souvent dans un sens généralisé (le sens classique

étant

tro p restrictif supposons que le pro- blème soit posé sous la form e suivante déterminer u tel que(I) Au == f dans un ouvert Q de R" e t qu e (lï)j Bju 0 sur la frontièr e F de Q, 1 J.2e stade: En général la solution u ne peut être explicitée, on construit alors des problèmes approchés on démontrel'existence et l'unicité de la solution (dite approchée) de chacu n de ces problèmes et on montr e enfi n qu e ces solutions approchées convergent (dan s u n certain sens) vers u.3e stade: On résout effectivement le problème approché. Notr e travail se situe dan s le deuxièm e stade nous donnons u n procédé convergent d'approximatio n systématique des solu-tions faibles d'une vaste classe de problèmes aux limites elliptiques. (Le cas des problèmes d'évolution fer a l'obje t d'un e publication ultérieure. 1 8

346 j. CEA

Chapitre

1 (Théorie générale). Le problème (P dont on cherche une approximation de la solution u est le suivant déterminer u dan s V tel que (III a(u v) L(^ pour tout v s V où V est u n espace de

Hilbert,

a(u v) est un e form e sesqui- linéaire continu e sur V X V et L(^ est un e form e linéaire continue sur V. (Dan s de nombreux exemples, la solution d'u n problème d u typ e précédent vérifi e dan s u n sens faibl e des

équations

de la form e (I e t (II)j) Le problème (P es t dit associé au triplet |V, a(u L(^)j On donn e un e famille de triplets |V/i a^u^y ^/i)

L/»(^/i)

j auxquels sont associés les problèmes approchés (P/i et une famill e d'opérateur s linéaires Ph e t r^V c V c F r^/Ph V où T est dense dan s V qui est ferm dan s l'espace de

Hilbert

F. Sous certaines hypothèsesquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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