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Approximations variationnelles des EDP

Notes du Cours de M2

Albert Cohen

Dans ce cours, on s"int´eresse `a l"approximation num´erique d"´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires qui admettent uneformulation variation- nelle, c"est `a dire dont la solutionuest aussi solution du probl`eme (V)Trouveru?Xtel quea(u,v) =L(v)pour toutv?X, o`uXest un espace de Hilbert,aune forme bilin´eaire surX×X, etLune forme lin´eaire surX. Ces formulations sont importantes pour les raisons suivantes:

1. De nombreux probl`emes issus de la physique et de la m´ecanique admet-

tent de telles formulations, et celles-ci reflettent souvent une propri´et´e fondamentale du mod`ele, typiquement la minimisation d"une ´energie sous-jacente.

2. Ces formulations donnent acc`es `a des r´esultats fondamentaux sur le

caract`ere bien pos´e de l"´equation, c"est `a dire l"existence et l"unicit´e de la solution, et la stabilit´e de cette solution par rapport `a des pertur- bations des donn´ees.

3. Elles sont `a la base de m´ethodes performantes pour l"approximation

num´erique des solutions, par la r´esolution d"un probl`eme approch´e: trouveruh?Xhtel quea(uh,vh) =L(vh)pour toutvh?Xh, o`uXh est un sous-espace de dimension finie deX. Le cours se concentre autour de ce dernier aspect qui pose la question du contrˆole de l"erreuru-uhentre la solution exacte et la solution ap- proch´ee. On s"interessera tout particuli`erement `a lam´ethode des ´el´ements finisdans laquelle les fonctions deXhsont polynomiales par morceaux sur une partition du domaine de la solution de l"´equation. Ces notes contiennent la totalit´e des r´esultats du cours sous une forme relativement condens´ee. En particulier, les d´emonstrations les plus simples sont esquiss´ees ou laiss´ees en exercice.Ces notes sont mises `a jour et cor- rig´ees en temps r´eel. Toutes les remarques permettant d"en am´eliorer la r´edaction peuvent ˆetre envoy´ees `a l"adressecohen@ann.jussieu.fr. 1 2

1 Formulations et approximations variationnelles

1.1 Un exemple fondamental

Nous allons illustrer le passage `a une formulation variationnelle sur l"exemple simple mais important du probl`eme du laplacien (ou ´equation de Poisson): on cherche une fonctionutelle que -Δu=fdans Ω etu|∂Ω= 0,(1.1) o`u Ω d´esigne un ouvert born´e de IR d,∂Ω d´esigne la fronti`ere de Ω etfest une fonction d´efinie sur Ω. Il est important de faire des hypoth`eses suppl´ementaires sur lar´egularit´e g´eom´etriquedu domaine Ω. D´efinition 1.1.1Le domaineΩest dit lipschitzien si il existe une une famille finie de boules ouvertes(Bi)i=1,···,ntelle que∂Ω? ?ni=1Biet sur chaqueBiil existe un syst`eme de coordonn´ees(x1,···,xd)et une fonction ilipschitzienne telle que Ω?Bi={(x1,···,xd)?Bi;xd< ψi(x1,···,xd-1)}. Intuitivement cela signifie que la fronti`ere de Ω peut-ˆetre vue localement comme le graphe d"une fonction lipschitzienne. La pluspart des domaines classiques - en particulier les polygones en dimension 2 et presque tous les polyh`edres en dimension 3 - sont lipschitziens. Des exemples de domaines non-lipschitziens sont ceux dont la fronti`ere pr´esente des points de rebrousse- ment, ou une fissure rentrant dans le domaine. On peut aussi d´efinir des domaines plus r´eguliers: on dira que Ω est de classeCm,1lorsque les fonc- tionsψisontCmet leurs d´eriv´ees partielles d"ordremsont lipschitziennes. Tous les domaines consid´er´es dans ce cours seront au minimum de type lipschitzien. Afin de donner un sens `a l"´equation (1.1) il faut pr´eciserl"espacedans lequel on cherche la solution. Un premier choix intuitivement possible est de chercherudansC2en supposant alorsfcontinue. En multipliant l"´equation par une fonctionvarbitraire de classeC1, et en int´egrant sur le domaine, on obtient

Δuv=?

fv, et en appliquant la formule de Green ?u· ?v-? ∂Ω∂u∂n v=? fv, 3 o`u ∂u∂n =?u·nest la d´eriv´ee normale deu, avecnle vecteur unitaire normal ext´erieur au bord∂Ω. Dans le cas d"un domaine lipschitzien, cette normale est d´efinie en presque tout point de∂Ω et la formule de Green s"applique. En supposant de plus quevs"annulle au bord on obtient ainsi ?u· ?v=? fv. L"´equation ci-dessus garde un sens lorsqueuest seulement de classeC1. En introduisant l"espaceX={v? C1;v|∂Ω= 0}, on obtient ainsi que toute solution de (1.1) est aussi solution de la formulation variationnelle

Trouveru?Xtel quea(u,v) =L(v) pour toutv?X,

avec a(u,v) :=? ?u· ?v=??u,?v?L2etL(v) :=? fv=?f,v?L2, (dans l"ensemble du cours, on ne consid`ere que des fonctions `a valeurs r´eelles, ce qui explique l"absence de quantit´es conjugu´ees dans la d´efinition du produit scalaire). On voit ais´ement queaest bilin´eaire surX×XetL est lin´eaire surX. Remarque 1.1.1La formulation variationnelle nous permet ais´ement d"obtenir un r´esultat d"unicit´e pour l"´equation, en prouvant, ce qui est ´equivalent, que u= 0sif= 0. En effet, en prenant dans ce casv=udans (1.1), on obtient?u= 0, doncuest constante et forc´ement nulle puisqueu∂Ω= 0. Remarque 1.1.2Il est important de v´erifier que r´eciproquement, toute so- lution suffisament r´eguli`ere de (1.1) est aussi solution de la formulation initiale (1.1). En supposantude classeC2et solution de (1.1), on obtient en appliquant la formule de Green dans le sens inverse que (Δu+f)v= 0,pour toutv?X, qui implique imm´ediatement que-Δu=f(exercice: on peut au choix ´evoquer l"´egalit´eΔu+f= 0au sens des distribution, ou la densit´e deX dansL2(Ω), ou prouver directement queΔu+fest nul en tout point deΩ). 4 Remarque 1.1.3Il est assez naturel que l"espaceXo`u l"on cherche la solution soit le mˆeme que celui que parcours les fonctionsv. Remarquons que siXest un espace de dimension finie, toute ´equation de type (1.1) peut se reformuler sous la forme d"une ´equation lin´eaireAu=fo`uAest l"unique endomorphisme deXtel quea(u,v) =?Au,v?etfl"unique ´el´ement deXtel queL(v) =?f,v?, avec?·,·?un produit scalaire fix´e dansX. Dans un tel cas, l"unicit´e de la solution signifie queAest injective et donc un isomorphisme ce qui assure l"existence d"une solution. Cependant nous travaillons ici en dimension infinie et ce raisonement n"est plus valable. L"existence de la solution de (1.1) va d´ecouler de la th´eorie de Lax-Milgram.

1.2 Th´eorie de Lax-Milgram

Dans cette section, on consid`ere un probl`eme g´en´eral pouvant se mettre sous la forme variationnelle (V)Trouveru?Xtel quea(u,v) =L(v)pour toutv?X, Le th´eor`eme de Lax-Milgram apporte une r´eponse `a l"existence, l"unicit´e et la stabilit´e de la solution dans un cadre pr´ecis. Th´eor`eme 1.2.1On suppose queXest un espace de Hilbert et que les formesaetLv´erifient les hypoth`eses suivantes:

3. Coercivit´e dea:a(u,u)≥α?u?2Xpour toutu?X, avecα >0.

Alors il existe une solution uniqueuau probl`eme(V)qui v´erifie l"estimation a-priori avec?L?X?= sup?v?X=1|L(v)|la norme deLdans le dualX?deX. Preuve:L"estimation `a post´eriori s"´etablit en prenantv=udans (V) puis en appliquant la continuit´e deLet la coercivit´e deace qui donne 5 Il suffit alors de prendreCL=?L?X?. Cette estimation nous donne aussi l"unicit´e de la solution. Pour l"existence, consid´erons d"abord le cas simple o`uaest une forme sym´etrique. Dans ce cas, la continuit´e et la coercivit´e deamontrent qu"il s"agit d"un produit scalaire surX×Xet que la norme?v?a:=?a(v,v) est ´equivalente `a la norme? · ?X. PuisqueLest continue, elle l"est aussi par rapport `a? · ?aet le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz nous assure donc l"existence d"un uniqueu?Xtel queL(v) =a(u,v) pour toutv?X. Dans le cas non-sym´etrique, on remarque que puisquev?→a(u,v) et v?→L(v) sont continues, on peut ´ecrirea(u,v) =?Au,v?etL(v) =?f,v?o`u Aest un op´erateur continu surX,f?Xet?·,·?un produit scalaire dans X. L"´equation (V) s"´ecrit doncAu=fdansX. L"hypoth`ese de coercivit´e nous permet d"affirmer que pour toutv?X, ce qui entraine que Im(A) est un sous-espace ferm´e de Xqui se d´ecompose donc suivantX= Im(A)?(Im(A))?. Consid´erons `a pr´esentw?(Im(A))?. La coercivit´e nous montre que Par cons´equent Im(A) =Xce qui prouve l"existence de la solutionu.? Remarque 1.2.1Bien qu"un espace de Hilbert s"identifie avec son dual, il sera souvent pertinent de distinguerXetX?. On ´ecrit donc plutˆota(u,v) = ?Au,v?X?,XetL(v) =?f,v?X?,Xo`uAest un op´erateur continu deXdans X ?,f?X?et?·,·?X?,Xle produit de dualit´e entreX?etX. L"´equation (V) s"´ecrit alorsAu=fdansX?et le th´eor`eme de Lax-Milgram montre queA est isomorphisme deXdansX?. Remarque 1.2.2Dans le cas o`u la formeaest sym´etrique, on v´erifie que toute solutionude (V) est aussi un minimiseur surXde la fonctionelle

J(v) :=12

a(v,v)-L(v).

On pourra v´erifier (exercice) que la propri´et´e de coercivit´e est alors ´equivalente

`a la propri´et´e dite deα-convexit´e

J(v+w2

-α8 ?v-w?2X, 6 et que toute fonctionα-convexe continue sur un espace de Hilbert atteint un minimum qui est unique (indication: prouver que les suites minimisantes sont de Cauchy). Si l"on revient `a pr´esent au probl`eme du laplacien (1.1) et `a sa formu- lation variationnelle (1.1) dans l"espaceX={v? C1;v|∂Ω= 0}, on voit que ?v?X:=??v?L2, d´efinit une norme surXtelle que les propri´et´es de continuit´e et de coercivit´e sont trivialement satisfaites para. La continuit´e deL(v) =?f,v?L2est une cons´equence del"in´egalit´e de Poincar´e: si Ω est un domaine lipschitzien born´e, il existe une constanteCPtelle que pour toute fonctionfdeXon a En appliquant successivement l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et l"in´egalit´e de

Poincar´e on a donc

avecCL=CP?f?L2. Toutes les conditions du th´eor`eme de Lax-Milgram sont v´erifi´ees `a l"exception du fait queXmuni de la norme d´efinie ci-dessus n"est pas un espace complet. Il est donc n´ecessaire d"introduire un cadre fonctionnel mieux appropri´e. Celui-ci se fonde sur les espaces de Sobolev.

1.3 Rappels sur les espaces de Sobolev

W les d´eriv´eesDαv=∂|α|v∂x α11···∂xαdd´etant prises au sens des distributions avec la notation usuelle|α|=α1+···+αd. Autrement ditv?Wm,p(Ω) si et vα?= (-1)|α|? vD pour tout?? D(Ω) o`uD(Ω) est l"ensemble des fonctionsC∞`a support compact dans Ω, et on note alorsvα=Dαv. Lorsque 1< p <∞, une autre 7 existe une constanteCαtelle que vD avec 1/p?+ 1/p= 1 (exercice). Pourm= 0 on poseW0,p=Lp

On munitWm,p(Ω) de la norme

?v?Wm,p:=?? L p? 1/p, et on d´efinit aussi la semi-norme par |v|Wm,p:=?? |α|=m?Dαv?p L p? 1/p, de sorte que?v?Wm,p= (?v?p W m-1,p+?v?p W m,p)1/p. Dans le casp=∞ ces d´efinitions sont modifi´ees en remplacant les norme?ppar des max. En partant de ces d´efinitions et en utilisant le fait queLp(Ω) est complet, on d´emontre facilement le r´esultat suivant. Th´eor`eme 1.3.1Wm,p(Ω)muni de sa norme est un espace de Banach. Dans le casp= 2 qui nous int´eresse plus particuli`erement on pose H m(Ω) :=Wm,2(Ω). La normeHmd´erive du produit scalaire ?v,w?Hm:=? et par cons´equentHmest un espace de Hilbert. La d´efinition deWm,p(Ω) montre facilement que siv?Wm,p(IRd) alors sa restriction `a Ω est dansWm,p(Ω). Une question plus d´elicate est de savoir si toute fonction deWm,p(Ω) est la restriction d"une fonction deWm,p(IRd). Nous admettrons le r´esultat difficile suivant du `a Stein. Th´eor`eme 1.3.2SiΩest un domaine lipschitzien, il existe un op´erateur lin´eaire d"extensionEborn´e deWm,p(Ω)dansWm,p(IRd), c"est `a dire tel que pour toutv?Wm,p(Ω), la restriction deEv`aΩest ´egale `avet 8 A titre d"exercice on pourra essayer de montrer que ce th´eor`eme est faux dans un domaine non-lipschitzien pr´esentant une fissure. Rappelons quelques r´esultats importants sur la densit´e des fonctions r´eguli`eres dans les espaces de Sobolev : si Ω est un ouvert lipschitzien,D(Ω) est dense dansWm,p(Ω) pourp <+∞, o`uD(Ω) d´esigne l"ensemble des restrictions `a Ω des fonctionsC∞. Ce th´eor`eme peut se d´emontrer d"abord sur IR dpar des op´erations de troncature et de r´egularisation, puis sur Ω en utilisant le th´eor`eme de prolongement 1.3.2. Il faut bien noter queD(Ω) diff`ere deD(Ω) qui n"est pas dense dansWm,p(Ω), sauf si Ω = IRdou si m= 0 ce qui correspond `a la densit´e deD(Ω) dansLp(Ω). D"autre part, tous ces r´esultats de densit´e sont faux dans le casp=∞. Rappelons `a pr´esent les r´esultats concernant la restriction au bord ou tracedes fonctions des espaces de Sobolev : si Ω est un ouvert lipschitzien alors l"op´erateurγ0qui `a une fonction r´eguli`ereud´efinie sur Ω associe sa restrictionγ0uau bord∂Ω v´erifie l"estimation Cette estimation se prouve facilement dans le cas o`u Ω est le demi-espace IR d-1×IR?+(exercice), le passage `a un ouvert Ω plus g´en´eral est technique et utilise les ouverts recouvrant la fronti`ere de Ω dans la d´efinition 1.1.1. Par un argument de densit´e ceci montre que la traceγ0d´efinit un op´erateur continu deH1(Ω) dansL2(∂Ω). Remarquons que la trace d"une fonction de L

2(Ω) n"a en g´en´eral pas de sens puisque le∂Ω est un ensemble de mesure

nulle. La continuit´e de l"op´erateur de trace permet de d´efinir l"espace H

10(Ω) :={v?H1(Ω) ;γ0v= 0},

qui est un sous-espace hilbertien deH1(Ω). On peut v´erifier queD(Ω) est dense dansH10(Ω) qui peut ainsi ˆetre d´efini de mani`ere ´equivalente comme la fermeture deD(Ω) au sens de la normeH1. Ceci entraine en particulier la validit´e de l"in´egalit´e de Poincar´e (1.2) pour les fonctions deH10(Ω). Cette in´egalit´e nous indique que la semi-norme??v?L2est une norme ´equivalente `a la normeH1surH10(Ω). On la d´esigne parfois comme "normeH10" et on note donc ?v?H10=|v|H1=??v?L2. On d´esigne parH-1(Ω) l"espace dual deH10(Ω) muni de la norme ?v?H-1:= sup ?w?H10=1?v,w?H-1,H10. 9 Lorsquevest une fonction deL2(Ω), on l"identifie `a un ´el´ement deH-1(Ω) en utilisant la forme lin´eaire d´efinie par le produit scalaireL2, c"est `a dire ?v?H-1:= sup ?w?H10=1? vw.

On a ainsi la chaine d"inclusion

H

10(Ω)?L2(Ω)?H-1(Ω).

Remarque 1.3.1QuandΩ = IRdla densit´e deD(Ω)montre queH10(IRd) = H

1(IRd)et(H1(IRd))?= H-1(IRd). En revanche siΩest born´e lipschitzien

ces espaces diff`erent, et l"espace(H1(Ω))?n"est pas un espace de distribution (par exemplev?→? ∂Ωγ0vest dans cet espace mais s"annulle sur toutes les fonctions deD(Ω)). Les espaces de Sobolev peuvent aussi ˆetre d´efinis pour des indices de r´egularit´e non-entier. W s,p(Ω)est l"ensemble des fonctionsvdeWm,p(Ω)telles que |v|p W s,p:=? |α|=m? ? Ω×Ω|Dαv(x)-Dαv(y)|p|x-y|(s-m)p+ddxdy <+∞,(1.3)

Cet espace est muni de la norme?v?Ws,p:= (?v?p

W m,p+|v|p W s,p)1/p Dans le casp= 2 et Ω = IRd, on peut aussi d´efinirHs(IRd) de mani`ere ´equivalente en utilisant la transform´ee de Fourier :v?Hs(IRd) si et seule- ment si (1 +|ω|s)ˆv?L2(IRd). Dans le casp=∞on remplace (1.3) par la noteWs,∞=Cs. Ces espaces ont propri´et´es similaires `a celles ´enonc´ees pour les espaces d"indices entiers : compl´etude par rapport `a leur norme, op´erateur d"extension, densit´e des fonctions r´eguli`eres. L"espaceH1/2joue un rˆole important dans l"´etude de l"op´erateur de trace, comme l"indique le r´esultat admis suivant. Th´eor`eme 1.3.3SoitΩun domaine lipschitzien. L"image deH1(Ω)par l"op´erateur de traceγ0est l"espaceH1/2(∂Ω). On peut d´efinir une norme surH1/2(∂Ω)par ?v?H1/2(∂Ω):= infγ0w=v?w?H1(Ω), 10 qui est ´equivalente `a la normeH1/2obtenue par la d´efinition 1.3.1 adapt´ee `a ∂Ω. Il existe un op´erateur de relevementRlin´eaire et continu deH1/2(∂Ω) dansH1(Ω)tel queγ0◦R(v) =vpour toutv?H1/2(∂Ω)et tel que ?R(v)?H1=?v?H1/2. On d´efinitH-1/2(∂Ω) l"espace dual deH1/2(∂Ω). Cet espace joue un rˆole naturel dans la d´efinition de la trace de la d´eriv´ee normale. On noteγ1, l"op´erateur qui `auassocie la fonction∂u∂n d´efinie sur∂Ω. Th´eor`eme 1.3.4Soitu?H1(Ω)telle queΔu?L2(Ω), alorsγ1ud´efinit un ´el´ement deH-1/2(∂Ω)par la formule ?γ1u,v?H-1/2,H1/2:=? ?u· ?w+?

Δuw,

pour toutw?H1(Ω)tel quev=γ0w. Preuve :La d´efinition est justifi´ee car siuetwsont suffisament r´eguli`eres, la formule de Green donne ∂Ω(γ1u)v=? ?uw+?

Δuw

En consid´erant le rel`evementR(v), posont d"abord ?γ1u,v?H-1/2,H1/2:=? ?u· ?R(v) +?

ΔuR(v),

En utilisant l"in´egalit´e de Schwarz et le th´eor`eme 1.3.5, on obtient donc que la d´efinition deγ1uest ind´ependante du choix dewtel queγ0w=v. Ceci provient du fait que par d´efinition du Laplacien au sens des distribution?

ΩΔuw=-?

Ω?u·?wpour toutw? D(Ω) et donc pour toutw?H10(Ω). Terminons par quelques remarques sur les relations d"inclusions entre espaces de Sobolev. On a de mani`ere ´evidenteWm,p(Ω)?Wn,p(Ω) si m≥n, ainsiWm,p(Ω)?Wm,q(Ω) sip > qet Ω est born´e. On rappelle aussi le th´eor`eme de Rellich. 11 Th´eor`eme 1.3.5SiΩest born´e etm > n, l"injection deWm,p(Ω)dans W n,p(Ω)est compacte : toute suite born´ee pour la normeWm,padmet une sous-suite convergente en normeWn,p. Des inclusions plus g´en´erales s"expriment par lesinjections de Sobolev: pour un domaine Ω?IRdborn´e lipschitizien,m≥netm-n > d/p-d/q on a l"injectionWm,p(Ω) dansWn,q(Ω) et cette injection est compacte si m > n. Le cas critiquem-n=d/p-d/qest `a manipuler avec pr´ecaution, l"injection ´etant vraie siq <∞mais pouvant ˆetre fausse siq=∞etn est entier. Par exemple, en dimensiond= 2 l"espaceH1(Ω) s"injecte dans L q(Ω) pour toutq <∞mais pas dansL∞, en revanche l"espaceW2,1(Ω) s"injecte dansL∞(exercice). On peut v´erifier que les injections de Sobolev ne sont jamais compactes dans le cas critique (exercice).

1.4 Exemples de formulations variationnelles

Voici `a pr´esent quelques exemples d"application de la th´eorie de Lax-Milgram dans les espaces de Sobolev pour des ´equations aux d´eriv´ees partielles mises sous forme variationnelle.

Exemple 1. Equation du laplacien

On a d´ej`a vu en section 1.1 la mise sous forme variationnelle de l"´equation du laplacien (1.1). Dans ce cas on travaille avec l"espace de SobolevX=H10(Ω), et toutes les hypoth`eses du th´eor`eme de Lax-Milgram sont v´erifi´ees. Le laplacien d´efinit ainsi un isomorphisme deH10(Ω) dansH-1(Ω) et on a l"estimation a-priori

Sifest dansL2, on peut aussi ´ecrire

o`uCPest la constante de l"in´egalit´e de Poincar´e qui s"´etend aux fonctions deH10(Ω). Intuitivement la solutionudu laplacien gagne deux ordres de d´erivabilit´e par rapport `a la donn´eef. Ceci est confirm´e par le r´esultat admis suivant. Th´eor`eme 1.4.1SoitΩun domaineC1,1ou un domaine convexe. Alors si f?L2(Ω), la solutionude la formulation variationnelle de (1.1) est dans H

2et il existe une constanteCqui ne d´epend que deΩtelle que

12 Plus g´en´eralement, siΩest de classeCm+1,1alorsf?Hm(Ω)implique u?Hm+2(Ω), avec On verra par la suite que ce r´esultat n"est pas valide pour des domaines moins r´eguliers. Exemple 2. Laplacien avec conditions non-homog`enes Consid´erons `a pr´esent le probl`eme de Laplace avec une donn´ee de Dirichlet non-homog`ene au bord. -Δu=fdans Ω etγ0u=g,(1.4) On peut reformuler cette ´equation en consid´erant un rel`evementR(g) deg, et en ´ecrivantu= ˜u+R(g). On voit ainsi que ˜us"annulle au bord et est solution de l"´equation -Δ˜u=f+ ΔR(g), que l"on peut mettre sous la forme variationnelle suivante : trouver ˜u? H

10(Ω) tel que

?˜u· ?v=? fv-? ?R(g)· ?vpour toutv?H10(Ω).(1.5) On peut v´erifier que le choix du rel`evement ne change rien `a la solution de (1.5). On voit que dans cette formulation variationnelle on peut supposer g?H1/2(∂Ω) et utiliser le th´eor`eme 1.3.5, ce qui montre que la forme lineaire du membre de droite est born´ee suivant On voit ainsi queu?→(Δu,γ0u) d´efinit un isomorphisme deH1(Ω) surquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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