[PDF] G2 (fin) : alg`ebre des matrices. Matrices semblables et géométrie





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PROBLÈME I : Exemples de matrices semblables à leur inverse

ont le même rang. Une façon de le voir : soient A et B deux matrices de M3(R) semblables. Il existe alors une matrice P ?.



121 : Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.

23 avr. 2010 La réduction permet par exemple de calculer facilement les puissances et l'exponentielle d'une matrice diagonalisable. Application 4. Problème 1 ...



chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

D'apr`es la proposition 6.3.3 deux matrices semblables ont même polynôme Dans l'exemple 6.3.6



G2 (fin) : alg`ebre des matrices. Matrices semblables et géométrie

des endomorphismes. Le graal : classer les matrices `a similitude pr`es. Exemple : M de rang r est semblable `a. Ir.



Chapitre 8 R´eduction des matrices

Proposition 55 Deux matrices semblables ont même spectre. Exemple 27 Il existe des matrices `a coefficients réels sans valeur propre réelle.



AUTOUR DES MATRICES DE FROBENIUS OU COMPAGNON

12 févr. 2007 Un calcul élémentaire (en développant par exemple par rapport à la ... Tout bloc de Jordan est semblable à une matrice de Frobenius.



ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

K est une extension du corps L. Par exemple le corps des réels R est une extension Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des ...



La trace Matrices semblables matrices équivalentes

28 sept. 2011 Définition de deux matrices carrées semblables . ... l'a pas été (on a vu `a son propos sur un ou deux exemples pratiques comment.



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22 mai 2002 PROBLEME 1: Exemples de matrices semblables à leur inverse ... A = P¹BP (c'est à dire la matrice A est semblable à la matrice B).



Valeurs propres vecteurs propres

Dans les exemples de ce chapitre Exemples. Exemple 1. Soit A ? M3() la matrice ... Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.



121 : Matrices équivalentes Matrices semblables Applications

Exemple 1 On se place dans Z qui est lui-même un espace de matrices Les matrices inversibles sont 1 et 1 Alors les matrices 1 et 2 ont même anrg (à savoir 1) mais elles ne epuvent asp être quivalentes é Théorème 2 outeT matrice à e cientsoc dans un anneau principal est quivalenteé à une matrice



121 : Matrices équivalentes Matrices semblables

Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme



Exo7 - Cours de mathématiques

MULTIPLICATION DE MATRICES 3 Exemple 4 Si A= 2 1 0 4 5 2 et B = 1 4 2 7 5 3 alors A B = 3 5 2 3 0 1 L’addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises : Proposition 1 Soient A B et C trois matrices appartenant à Mnp(K) Soient 2K et 2K deux scalaires 1 A+B = B +A : la somme est commutative 2 A+(B +C) = (A+B



Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1

Une matrice carrée d’ordre n ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs est notée In et est appelée matrice unité ou matrice identité Exemple 3 100 010 001 = I Propriété 1 Quelle que soit A()np AIpn==I A A Exemple Soit Vérifier que 13 20 41 =? A

Qu'est-ce que les matrices semblables?

Matrices semblables. Applications. Pierre Lissy April 23, 2010 1 Matrices équivalentes 1.1 Dénitions Lemme 1. Les matrices inversibles à ecientsoc dans un anneau intègre sont les matrices in- versibles dans le orpsc des fractions de etc anneau dont le déterminant est un inversible de A. Onconsidèrel'actionsuivante, dugroupeproduit GL p(A) GL

Quelle est la différence entre deux matrices semblables?

Deux matrices semblables ont même déterminant, même trace, même ang,r même olynômep arcactéristique, même valeurs propres. Réciproque fausse.

Comment savoir si deux matrices sont équivalentes?

En général, dans le cas d'un anneau principal, deux matrices ayant même rang ne sont pas équivalentes. Exemple 1. On se place dans Z, qui est lui-même un espace de matrices. Les matrices inversibles sont 1 et 1.

Comment savoir si une matrice est de rang 2 ?

Dans notre exercice en prend ? = ? 1 et on remarque que la matrice A ? I est de rang 2, par contre la matrice B ? I est de rang 3, ce qui est impossible car deux matrices semblables ont le même rang. Exercice ? ?: Soit A ? Mn(R) une matrice non nulle et non inversible telle que les espaces Im(A) et ker(A) sont supplémentaires.

MPSI 1Programme de colles Semaine 25, du 6 au 10 mai 2019G2 (n) : algebre des matrices. Matrices semblables

et geometrie des endomorphismes. Tout le debut du chapitre G est a reviser pendant les vacances, avec les planches correspondantes. IV Matrices semblables et proprietes de la trace (matrices carrees uniquement)

1) Matrices semblables(a) (i) Def. : siA;B?Mn(K), on dit queBest semblable aAssi?P?GLn(K);B=P-1AP.(ii) La relation\^etre semblable"est une relation d'equivalence. On notera (non stand.)A≂sB.

b) Lien semblables/equivalentes : SiAetBsont semblables alors elles sont equivalentes, mais la recip. est fausse : Toutes les matrices inversibles sontequivalentesaIn, la seule matrice semblable aInestelle-m^eme!

On dira que la relation

≪equivalente≫estplus grossiereque la relation≪semblable≫.c) Deux matrices carrees sont semblables ssi elles representent le m^eme endomor-

phisme avec\un seul"changement de base! La relation de similitude (plus ne) est celle qui traduit vraimentles prop. geom. des

endomorphismes. Le graal : classer les matrices a similitude pres.Exemple :Mde rangrestsemblablea?Ir0

0 0?si, et seulement si,Mest la matrice d'un

projecteurde rangr. d) Remarques sur les produits : (ii) Utile aussi pourAnpar exemple siA=PDP-1avecDdiagonale. (iii) SiAest nilpotente d'indiceretA′est semblable aAalors...

2) Trace d'une matrice, d'un endomorphisme

a) Def. trace d'une matrice carree :Tr(A)=∑ni=1ai;i. b) Proprietes de la trace : (i) Prop. Tr est une forme lineaire deMn(K)dansK. (ii) Prop.?(A;B)?Mn(K)2;Tr(AB)=Tr(BA). c) Consequence pour les matrices semblables et les endomorphismes : (i) Deux matrices semblables ont m^eme trace. La recip. est fausse. La trace donne une C.N. de similitude, pas une CNS. C'est un invariant de similitude, mais pas un invariant complet. (ii) Prop-def. de la trace d'un endomorphisme : SiEest unK-e.v. de dim. nie etf?L(E). Alors siBest une base quelconque deE, TrB(f) ne depend pas du choix deB. Ce nombre, qui ne depend donc que defest appele Tr(f). d) Exemples : (i) Trace d'un projecteur. Sip?L(E)est un projecteur alors Tr(p)=rg(p)(ou plus rigoureu- sement Tr(p)=rg(p):1K(distinction utile pour les corps qui ne contiennent pasQ). (ii) Ouverture sur les matrices de rotations en dimension 3 : la trace donne l'angle.

3) Comment montrer que deux matrices sontsemblables?

a) La methode brutale qui consiste a chercherPtelle quePAP-1=Bou encore (et c'est deja mieux)PA=BPest en general a eviter... La relationA≂sBse montre en generalgeometriquementavec les A.L. can. ass.

Soitfcan. ass. aAdans la baseB0. On chercheB′=(e′1;:::;e′n)telle que MatB′(f)=B. La

forme deBdonne des contraintesgeometriquessure′1;:::;e′n, qui permettent de les calculer dansB0..1 MPSI 1Programme de colles Semaine 25, du 6 au 10 mai 2019 b) Un premier exemple : comment montrer qu'une matrice donnee est semblable a une matrice diagonale, donnee :

SoitA=⎛

⎝2 1 1 0 0-2

0 1 3⎞

Montrer queAest semblable aD=diag(2;2;1)et donner une matricePtelle queA=PDP-1. Remarque :Il s'agit d'un exemple dediagonalisation: on montre queAest semblable a une matrice diagonale, ce qui simplie bien l'etude deA... voir applications dans les exercices et problemes. Solution {Methode standardSoitBla base can. deE=R3etfcan. assoc. aA. On chercheB′=(e′1;e′2;e′3)telle que MatB′(f)=D.

Les conditions sure′1;e′2;e′3sont les suivantes :f(e′1)=2e′1, de m^emef(e′2)=2e′2etf(e′3)=e′3.

L'essentiel : on cherche l'expression dee′1;e′2;e′3dans la baseB. On travaille dansB, et on utilise l'expression defdonnee par la matriceApour traduire les conditions sure′1;e′2;e′3. ?On cherche donce′1ete′2dans{v?E; f(v)=2v}.

Or pour[v]B=⎛

⎝x y z⎞ ⎠, on af(v)=2vssi⎛ ⎝2 1 1 0 0-2

0 1 3⎞

⎝x y z⎞ ⎠=2⎛ ⎝x y z⎞ ⎠, ce qui equivaut a : -2z=2y y+3z=2zi.e. ay+z=0. Donc on peut choisire′1;e′2deux vecteurs de base du plan d'equation y=-z, par exemple :[e′1]B=⎛ ⎝1 0

0⎞

⎠et[e′2]B=⎛ ⎝0 1 -1⎞ ?De m^eme, on cherchee′3dans{v?E; f(v)=v}.

Or pour[v]B=⎛

⎝x y z⎞ ⎠, on af(v)=vssi⎛ ⎝2 1 1 0 0-2

0 1 3⎞

⎝x y z⎞ ⎝x y z⎞ ⎠ssi⎧ -2z=y y+3z=zssi?x+y+z=0 y=-2z On choisite′3un vecteur directeur de la droite ainsi denie p.ex.[e′3]B=⎛ ⎝1 -2

1⎞

?On remarque que si on noteE1=Vect(e′1;e′2)etE2=Vect(e′3)on a pourx?E1∩E2?f(x)=2xet

f(x)=xce qui forcex=0. Vue les dim. on a doncE1?E2=E.

AinsiB′=(e′1;e′2;e′3)est une base deE. Par construction MatB′(f)=diag(2;2;1).

En outre, par la formule de changement de base, on aA=PB;B′DPB′;B, doncA=PDP-1avec

P=⎛

⎝1 0 1 0 1-2

0-1 1⎞

⎠.c) Second exemple, qui melange geometrie et calcul matriciel : SoitEunK-e.v. de dim. nie. Soitu?L(E)nilpotent. Montrer qu'il existe une baseBdeE telle que Mat

B(u)soit une matrice T.S.S.

Indication {On pourra raisonner par recurrence sur la dimension.

Solution :Par recurrence sur la dimensionndeE.

Sin=1 c'est evident carf?L(E)est donnee par une matrice(1;1)si elle est nilpotente, elle est nulle. On suppose le resultat vrai pour toutes les dimensions inferieures a unndonne. SoitEde dim.net f?L(E)nilpotent. On peut ecrireE=ker(f)?E1et on supposera queE1≠{0}sinonfest l'application nulle et le resultat est direct. Alors en considerant une base adaptee a la decompositionE=ker(f)?E1la matrice defdans cette base est de la formeN=?0N′′

0N′? (?).

Alors les puissances deNs'ecriventNk=?0?

0N′k?. CommeNest nilpotente, on a donc necessairement

N ′nilpotente aussi.

Donc par H.R. appliquee aN′, on sait queN′est semblable a une matrice TSS et expliquer pourquoi

alorsNaussi.

La recurrence est etablie.2

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