PROBLÈME I : Exemples de matrices semblables à leur inverse
ont le même rang. Une façon de le voir : soient A et B deux matrices de M3(R) semblables. Il existe alors une matrice P ?.
121 : Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.
23 avr. 2010 La réduction permet par exemple de calculer facilement les puissances et l'exponentielle d'une matrice diagonalisable. Application 4. Problème 1 ...
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
D'apr`es la proposition 6.3.3 deux matrices semblables ont même polynôme Dans l'exemple 6.3.6
G2 (fin) : alg`ebre des matrices. Matrices semblables et géométrie
des endomorphismes. Le graal : classer les matrices `a similitude pr`es. Exemple : M de rang r est semblable `a. Ir.
Chapitre 8 R´eduction des matrices
Proposition 55 Deux matrices semblables ont même spectre. Exemple 27 Il existe des matrices `a coefficients réels sans valeur propre réelle.
AUTOUR DES MATRICES DE FROBENIUS OU COMPAGNON
12 févr. 2007 Un calcul élémentaire (en développant par exemple par rapport à la ... Tout bloc de Jordan est semblable à une matrice de Frobenius.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
K est une extension du corps L. Par exemple le corps des réels R est une extension Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des ...
La trace Matrices semblables matrices équivalentes
28 sept. 2011 Définition de deux matrices carrées semblables . ... l'a pas été (on a vu `a son propos sur un ou deux exemples pratiques comment.
Untitled
22 mai 2002 PROBLEME 1: Exemples de matrices semblables à leur inverse ... A = P¹BP (c'est à dire la matrice A est semblable à la matrice B).
Valeurs propres vecteurs propres
Dans les exemples de ce chapitre Exemples. Exemple 1. Soit A ? M3() la matrice ... Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
121 : Matrices équivalentes Matrices semblables Applications
Exemple 1 On se place dans Z qui est lui-même un espace de matrices Les matrices inversibles sont 1 et 1 Alors les matrices 1 et 2 ont même anrg (à savoir 1) mais elles ne epuvent asp être quivalentes é Théorème 2 outeT matrice à e cientsoc dans un anneau principal est quivalenteé à une matrice
121 : Matrices équivalentes Matrices semblables
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme
Exo7 - Cours de mathématiques
MULTIPLICATION DE MATRICES 3 Exemple 4 Si A= 2 1 0 4 5 2 et B = 1 4 2 7 5 3 alors A B = 3 5 2 3 0 1 L’addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises : Proposition 1 Soient A B et C trois matrices appartenant à Mnp(K) Soient 2K et 2K deux scalaires 1 A+B = B +A : la somme est commutative 2 A+(B +C) = (A+B
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Une matrice carrée d’ordre n ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs est notée In et est appelée matrice unité ou matrice identité Exemple 3 100 010 001 = I Propriété 1 Quelle que soit A()np AIpn==I A A Exemple Soit Vérifier que 13 20 41 =? A
Qu'est-ce que les matrices semblables?
Matrices semblables. Applications. Pierre Lissy April 23, 2010 1 Matrices équivalentes 1.1 Dé nitions Lemme 1. Les matrices inversibles à e cientsoc dans un anneau intègre sont les matrices in- versibles dans le orpsc des fractions de etc anneau dont le déterminant est un inversible de A. Onconsidèrel'actionsuivante, dugroupeproduit GL p(A) GL
Quelle est la différence entre deux matrices semblables?
Deux matrices semblables ont même déterminant, même trace, même ang,r même olynômep arcactéristique, même valeurs propres. Réciproque fausse.
Comment savoir si deux matrices sont équivalentes?
En général, dans le cas d'un anneau principal, deux matrices ayant même rang ne sont pas équivalentes. Exemple 1. On se place dans Z, qui est lui-même un espace de matrices. Les matrices inversibles sont 1 et 1.
Comment savoir si une matrice est de rang 2 ?
Dans notre exercice en prend ? = ? 1 et on remarque que la matrice A ? I est de rang 2, par contre la matrice B ? I est de rang 3, ce qui est impossible car deux matrices semblables ont le même rang. Exercice ? ?: Soit A ? Mn(R) une matrice non nulle et non inversible telle que les espaces Im(A) et ker(A) sont supplémentaires.
Universite Paris 6
Annee universitaire 2011-2012
Master enseignement premiere annee, cours d'algebreResume des seances des 26 et 28 septembre
On designe toujours parKun corps de caracteristique nulle.La trace
Denition de la trace d'une matrice carree. La trace est une forme lineaire surMn(K) qui satisfait la propriete Tr (MN) = Tr (NM) pour tout couple (M;N) de matrices. SiM2Mn(K) et siPappartient au groupe GLn(K) des matrices carrees inversibles a coecients dansKalors Tr (P1MP) = TrM. Il s'ensuit que siuest un endomorphisme d'unK-espace vectorielEde dimension nie et siBest une base deEalors Tr (MatBu) ne depend que deu, et pas deB. On appelle ce scalaire la trace deuet on le note Tru. Les formules matricielles mentionnees ci-dessus ont leur pendant dans le monde des endomorphismes : Tr (uv) = Tr (vu) siuetvsont deux endomorphsimes deE, et Tr (w1uw) = Trusiuest un endomorphisme deEetwune bijection lineaire deEdansE.Matrices semblables, matrices equivalentes
Denition de deux matrices carrees semblables . La similitude est une re- lation d'equivalence. Deux matricesMetNappartenant aMn(K) sont sem- blables si et seulement si il existe unK-espace vectorielEde dimensionn, un endomorphismeudeE, et deux basesBetB0deEtelles que MatBu=Met MatB0u=N:
Denition de deux endomorphismes semblables. SiEest unK-espace vec- toriel de dimension nie, siuetvsont deux endomorphismes deEet siBest une base deEles assertions suivantes sont equivalentes :1)uest semblable av;
2) Mat
Buest semblable a MatBv;
3) il existe une baseB0deEtelle que MatB0v= MatBu:
Deux matrices (ou endomorphismes) semblables ont m^eme trace. Denition de deux matrices equivalentes. L'equivalence de matrices est (heu- reusement!!) une relation d'equivalence. Deux matricesMetNappartenant a M n;m(K) sont semblables si et seulement si il existe unK-espace vectorielEde dimensionm, unK-espace vectorielFde dimensionn, une application lineaire udeEversF, deux basesBetB0deEet deux basesCetC0deFtelles que MatB;Cu=Met MatB0;C0u=N:
Denition de deux applications lineaires equivalentes (je ne sais pas si cette terminologie est tres standard). SiEetFsont deuxK-espaces vectoriels de dimension nie, siuetvsont deux applications lineaires deEversF, siBest une base deEet siCest une base deFles assertions suivantes sont equivalentes :1)uest equivalente av;
2) Mat
B;Cuest equivalente a MatB;Cv;
13) il existe une baseB0deEet une baseC0deFtelles que l'on ait MatB0;C0v=
Mat B;Cu: Deux matrices (ou applications lineaires) sont equivalentes si et seulement si elles ont m^eme rang. On a vu a cette occasion la denition d'un systeme de representants d'une relation d'equivalence. Fixonsnetm; pour toutrinferieur ou egal a min(n;m), notonsJn;m;rla matrice anlignes etmcolonnes de de terme general (ai;j) avecai;j= 1 si 16i6reti=j, et 0 sinon. L'en- semblefJn;m;rg16r6min(n;m)constitue un systeme de representants de la rela- tion d'equivalence surMn;m(K). Deux matrices carrees semblables sontequivalentes. La reciproque est fausse : 1 4 2 7 et2 4 13 sont toutes deux de rang 2, et donc equivalentes; mais leurs traces dierent, et elles ne sont donc pas semblables.Le determinant
SoitEunK-espace vectoriel etnun entier. Uneformen-lineaire alternee surEest une application deEndansKlineaire en chaque facteur et telle que '(v1;:::;vn) = 0 des qu'il existe deux indicesietjdistincts tels quevi=vj.Cela equivaut a demander que
'(v1;:::;vi1;vj;vi+1;:::;vj1;vi;vj+1;:::;vn) ='(v1;:::;vn) pour tout (v1;:::;vn)2En; en d'autres termes,'change de signe lorsqu'on echange deux vecteurs.L'ensemble Alt
n(E) des formesn-lineaires alternees surEpeut ^etre muni d'une structure naturelle deK-espace vectoriel. Si'2Altn(E) et si (v1;:::;vn) est liee alors'(v1;:::;vn) = 0; et l'on a par ailleurs pour tout (v1;:::;vn)2Enet toute permutation2Snl'egalite '(v(1);:::;v(n)) ="()'(v1;:::;vn): Supposons maintenant queEest de dimension nienet soitB= (e1;:::;en) une base deE. On demontre que pour touta2Kil existe une et une seule '2Altn(E) telle que'(e1;:::;en) =a; elle est donnee par la formule =aX2Sn"()a(1);1:a(2);2:::::a(n);n:
On appelledeterminant dans la baseB, et l'on note detB, l'unique forme appartenant a Alt n(E) et valant 1 sur (e1;:::;en). Elle est donnee par la formule det X2Sn"()a(1);1:a(2);2:::::a(n);n:
2 Denissions le determinant d'une matrice carreeMde terme general (aij) par la formule detM=X2Sn"()a(1);1:a(2);2:::::a(n);n:
Si (v1;:::;vn)2Enalors detB(v1;:::;vn) est alors par denition le determinant de la matrice dont laj-ieme colonne est formee des coordonnees devjdans la baseB.L'espace Alt
n(E) est de dimension 1; la famille singleton constituee par det Ben est une base. Siuest un endomorphisme deE, l'application'u:= (v1;:::;vn)7!'(u(v1);:::;u(vn) appartient encore a Altn(E), et'7!'uest un endomorphisme de l'espace Alt n(E); comme celui-ci est de dimension 1, cet endomorphisme est une homothetie dont le rapport est appele ledeterminant deuet est note detu. On verie, en appliquant la formule'u= (detu)' a'= detBpuis en evaluant l'egalite en (e1;:::;en), que detuest egal a det B(u(e1);:::;u(en)), c'est-a-dire encore a det(MatBu). Ce dernierne depend donc pas deB. De la denition du determinant deucomme un rapport d'homothetie l'on deduit que det(uv) = (detu):(detv) pour tout couple (u;v) d'endomorphismes deE. On utilise ce fait pour prouver qu'un endomorphismeuest bijectif si et seulement si detu6= 0 (et dans ce cas, det(u1) = (detu)1). Ceci se decline en version matricielle : det(MN) = (detM):(detN) pour tout couple (M;N) de matrices appartenant aMn(K); une matrice carree est inversible si et seulement si son determinant est non nul. Et au niveau vectoriel, on en deduit qu'une famille (v1;:::;vn) est libre si et seulement si detB(v1;:::;vn)6= 0.
On a termine par quelques formules a propos du determinant : determinant d'une matrice 2-2, 3-3, d'une matrice triangulaire superieure; developpement d'un determinant par rapport a une ligne ou a une colonne; egalite entre detM et det tM. Le determinant est invariant par toute transformation elementaire de la formeLi!Li+LjouCi!Ci+Cj(lorsquei6=j); si l'on echange deux lignes ou deux colonnes, il est multiplie par -1; si l'on multiplie une ligne ou une colonne (resp. la matrice) paril est multiplie par(resp. parn, ou nest la taille de la matrice). Ces remarques sont absolument fondamentales pour le calcul pratique des determinant, le pivot etant bien plus rentable que la formule brutale, qui met en jeu la somme den! produits dentermes...Denition de la comatrice
~M, formule M: t~M=t~M:M= (detM):In; et son corollaireM1=t~MdetMlorsqueMest inversible. Formules de Cramer : soitAune matrice carree inversible de taillenet soit Bun vecteur colonne de longueurn. Pour touticompris entre 1 etn, notons 3 A ila matrice obtenue a partir deAen remplacant sai-eme colonne parB. Si Cdesigne l'unique solution du systemeAX=Balors lei-eme terme deCest egal adetAidetA.Exercices
Presque toute la feuille 2 a ete traitee, seule une partie de l'exercice 1 ne l'a pas ete (on a vu a son propos sur un ou deux exemples pratiques comment reconstruire une matrice echelonnee a partir de son noyau, et evoque a cette occasion les variables libres d'un systeme lineaire). Concernant les determinants, j'ai fait calculer un determinant 4-4 par mani- pulation des lignes et colonnes, et traite le calcul des determinants de Vander- monde. 4quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] anne frank reportage
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