[PDF] AUTOUR DES MATRICES DE FROBENIUS OU COMPAGNON

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AUTOUR DES MATRICES DE FROBENIUS

OU COMPAGNON

Hervé Carrieu, Maurice Fadel, Etienne Fieux, Patrice Lassère & Frédéric Rodriguez

12 février 2007

" When a polynomial in one variable interests you, ask about the matrices of which it is the caracteristic polynomial. »

Olga Taussky,

1

Table des matières

1 INTRODUCTION 3

2 RÉSULTATS FONDAMENTAUX 4

2.1 Endomorphismes et matrices cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Théorème de décomposition de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3 Quelques propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4 Propriétés spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3 APPLICATIONS À L"ALGÈBRE LINÉAIRE 11

3.1 Le Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2 Décomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.4 Matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.5 Commutant et bicommutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.5.1 Le commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.5.2 Approche topologique de la dimension du commutant . . . . . . . . . .

19

3.5.3 Le bicommutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.5.4 Quelques précisions sur la dimension du commutant . . . . . . . . . . .

21

4 AUTRES APPLICATIONS MATHÉMATIQUES 24

4.1 Polynômes de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.2 Les formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.3 Localisation des racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4.4 Quelques dernières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5 UNE APPLICATION " CONCRÈTE » 29

6 CONCLUSION 32

1 " How I Became a Torchbearer for Matrix Theory », American Mathematical Monthly (1988), Vol. 95-9. 1

1 INTRODUCTION

Dans tout ce travail et sauf mention contraire le symboleKdésignera le corps

2RouC. À tout polynôme unitaire

P(X) =Xn+an¡1Xn¡1+¢¢¢+a1X+a02K[X]

on associera samatrice de Frobeniusoucompagnon 3 C P=0 B BBBB@

0 0:::0¡a0

1 0:::0¡a1

0 1:::0¡a2

0:::0 1¡an¡11

C

CCCCA2Mn(K):

Un calcul élémentaire (en développant par exemple par rapport à la dernière ligne) montre que son polynôme caractéristique 4 P

CP(X) :=det(XIn¡CP) =P(X);

Ce lien entre matrice et polynôme (illustré par l"appellation " compagnon » ) permet souvent de " traduire » certains énoncés " matriciels » en des énoncés " polynomiaux » et réciproquement : c"est la source d"élégantes démonstrations souvent plus élémentaires que par les approches classiques. Nous proposons ici une étude assez détaillée de ces matrices et de leurs applications. Notations :BLa matrice compagnonCPd"un polynômeP(X) =Xn+ a n¡1Xn¡1+¢¢¢+a1X+a0sera aussi parfois appeléematrice compagnonCa du vecteura= (a0;a1;¢¢¢;an¡1). BPour un endomorphisme'(resp. une matriceM),P'et¼'(resp. P Met M) désignent lepolynôme caractéristiqueet lepolynôme minimalas- sociés. BUne matrice estcyclique(cf. §2.1) si, et seulement si, elle est semblable à une matrice compagnon et l"ensemble des matrices cycliques sera notéCn. BIl faut enfin signaler que nous userons et abuserons tout au long de cet article de l"isomorphisme canonique " matrice'endomorphisme ».

2 RÉSULTATS FONDAMENTAUX

2.1 Endomorphismes et matrices cycliques

Un endomorphisme

'd"unK-espace vectorielE(de dimensionn) est cycliques"il existe un vecteurxtel que

B:=f'k(x); k= 0;:::;n¡1gsoit une

2 Un grand nombre des résultats restent vrais dans le contexte d"un corps plus général, toutefois afin de faciliter la lecture il est plus raisonnable de se cantonner au casRouC. 3

Oumatrice compagnepour les automaticiens.

4 Bien noter que le polynôme caractéristique est ici (et contrairement à la tradition)uni- taire, nous suivons le point de vue de Fresnel [5]. 2 base deE. Il est alors immédiat que la matrice de 'dans la baseBsera une matrice compagnon et la réciproque est claire : si la matrice de 'est semblable

à une matrice compagnon alors

'est cyclique. On dira qu"unematrice est cycliquesi elle est la matrice d"un endomorphisme cyclique (autrement dit, s"il existe x2Etel que fx;Mx;:::;Mn¡1xgsoit une base deE); on a donc :

Proposition 1

Une matrice est cyclique si, et seulement si, elle est semblable

à une matrice compagnon.

Dans l"anneau des polynômes à une indéterminéeK[X], tout idéal est en- gendré par un polynôme unitaire de degré minimal. Ainsi pour tout x2E, l"idéal I ';x:=©P2K[X] :P(')(x) = 0ª est engendré par un polynôme ';x. C"est lepolynôme minimal dexrela- tivement à '. Le résultat qui suit est essentiel, nous l"utiliserons à plusieurs reprises dans ce travail. Lemme fondamentalIl existex2Etel que¼';x=¼'.

Démonstration :Il est déjà évident (

'2I';x) que¼';xdivise¼'pour tout x2E. Il n"existe donc, lorsque xdécritEqu"un nombre fini de tels polynômes ';x1; :::;¼';xl, soit E=[

16i6lKer(¼';xi)

et par un argument classique,

E= Ker(¼';xi)pour un entieri2 f1;:::lg. Mais

alors ';xi(')(y) = 0pour toutydansE:¼';xiest donc annulé par 'et c"est donc un multiple du polynôme minimal¼'. Vu ce qui précède, '=¼';xiet la propriété est démontrée. Nous laissons en exercice les résultats suivants, conséquences immédiates (ou presque) de ce qui précède (nous les utiliserons à maintes reprises) :

Exercice 1

1) Tout polynôme unitaire est à la fois polynôme minimal et

caractéristique de sa matrice compagnon.

2) Une matrice est cyclique si et seulement si ses polynômes minimal et ca-

ractéristique coïncident.

3) Une matrice est cyclique si, et seulement si, tous ses sous-espaces propres

sont de dimension1.

4) Tout bloc de Jordan est semblable à une matrice de Frobenius.

5) L"ensemble des vecteurs cycliques (d"un endomorphisme') constitue un

ouvert dense. 3

2.2 Théorème de décomposition de Frobenius

PourA2Mn(C)la mise sous forme triangulaire et la réduite de Jordan 5 sont quelques unes des multiples réductions sous forme canonique d"une matrice 6 , un autre type de réduction est celle en blocs de matrices compagnon (réduction ou décomposition de Frobenius) :

Théorème 1

(décomposition de Frobenius)Toute matrice est semblable à un bloc diagonal de matrices compagnon. Plus précisément donnons-nous un endomorphisme'2 L(E)(EK-espace vectoriel sur un corps commutatifK de dimension finien>1) ou de manière équivalente une matriceA2Mn(K). Alors il existe une suiteE1; E2;:::;Erde sous-espaces vectoriels deE, tous stables par'telle que : BE=rM i=1E i. BPour tout16i6r,'i:='=Eiest un endomorphisme cyclique. BNotonsPile polynôme minimal de'i, alors pour tout16i6r¡1:Pi+1 divisePi. BLa suite de polynômes(Pi)ri=1ne dépend que de l"endomorphisme'et non de la décomposition. c"est la suite desinvariants de similitudede'(ou de A). (F)En particulier, il existe une baseBdeEpour laquelle la matrice de'est de la forme

M(';B) =0

B BBBB@ C P1 C P20 ..0 C Pr1 C CCCCA avecP1=¼'etP1P2:::Pr=P'.

Démonstration :

IExistence de la décomposition :On procède par récurrence sur la dimension de

E. Sidest le degré du polynôme minimal de

', il existe un vecteury2Etel que '=¼';yet il est clair que le plus petit sous-espace stable par'et contenant yest de dimensiondet admet pour base e

1=y; e2='y;:::;ed='d¡1y, i.e. :

E y:=fP(')y; P2K[X]g=Vectfe1;:::;edg 5 La réduction de Jordan dansMn(K)est possible si le corpsKest algébriquement clos, la

suite des invariants de similitude à la base de la décomposition de Frobenius, elle, est valable

dans tout corpsK([5] p.139). 6

On pourra consulter [9].

4

Soit à présent

E=Ey©F.

Par définition,Fest l"ensemble des vecteursxdeEdont lad-ième coordon- née de iydans la basefe1;:::;edgest nulle pour toutiet ceci a pour consé- quence immédiate que 0si z= a z= a

1e1+:::+aded2F,a1=a2=:::=ad= 0, autrement dit queEy\F=f0g.

Il reste à montrer que

Fest de dimensionn¡d.

T:g7!T(g) =e?d±g

Test injectif car sie?d±g= 0avecgnon nul, on peut l"écrire sous la forme g=a1IdE+a2'+¢¢¢+ap'p¡1avecp6detapnon nul. Or

0 =e?d±g('d¡p) =e?d(a1ed¡p+1+¢¢¢+ape?d) =ap

ce qui est absurde. Par conséquent, dimImT=det comme, par définition,

Fest l"orthogonal de

ImT(au sens du dual), on trouve bien quedimF=

n¡dimImT=n¡d.quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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