LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
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Comment calculer le déterminant d'une matrice 4 ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.Comment calculer le rang d'une matrice 4x4 ?
Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres.- Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ? Mn(R), alors det(M) = det(tM).
Algebre
Cours Fondements S1 et S2
Exercices Corriges
Fevrier 2018
March 8, 2018
2Contents
1 Systemes d'equations lineaires 4
1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Matrices26
2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Espaces vectoriels35
3.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Sous-Espaces Vectoriels 49
4.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Applications lineaires83
5.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Matrices Elementaires 112
6.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
31 Systemes d'equations lineaires
1.1 Enonces
Exercice 1{K=R. Nous considerons l'equation lineaire :x1+x2+x3+x4= 0.1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?
2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?
3) Donner les solutions de cette equation.
Exercice 2{K=R. Nous considerons l'equation lineaire : 2x1+x2x34x4= 5.1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?
2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?
3) Donner les solutions de cette equation comme somme d'une solution particuliere et des combinaisons
lineaires de 3 elements deR4.4) Ecrire l'equation homogene associee. Quelles sont les solutions de cette equation ?
Exercice 3{K=R. Nous consideron le systeme d'equations lineaires : (E)"x1+x2x3x4= 1
x1+ 2x22x32x4= 0:
1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.
2) Quelles sont les variables libres deE0? Resoudre alorsE0.
Exercice 4{K=R. Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x1+x2x3x4= 1 (E1)
x1+ 2x22x32x4= 0 (E2)
2x1+x2+x3+x4= 2 (E3):
1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?
2) Donner un systeme trianguleE00ayant les m^emes solutions queE. Preciser les variables libres deE00?
3) Resoudre le systeme lineaireE.
4 Exercice 5{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x1+x2+x3+x4= 3 (E1)
2x1x2+ 2x33x4= 0 (E2)
4x15x2+ 4x311x4=6 (E3):
1) Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme triangule ayant les
m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres du systeme triangule obtenu ?2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. Vous exprimerez ces solutions sous
forme de la somme d'un element deR4et de l'ensemble des combinaisons de deux elements deR4que l'on precisera.3) Quelles sont alors les solutions du systeme sans second membre associe aE?
Exercice 6{Nous considerons le systeme d'equations lineaires a coecients reels : (E)2 6 4x1x2+x3x4= 2 (E1)
2x12x2+ 3x34x4= 3 (E2)
x1x2+x4= 3 (E3):
1) Quel est l'ordre des variables de ce systeme ? Donner en utilisant avec precision l'algorithme de
triangulation du cours un systeme triangule ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres
du systeme triangule obtenu ?2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. On exprimera ces solutions sous
forme de la somme d'un element deR4et de l'ensemble des combinaisons d'elements deR4que l'on precisera.
3) M^emes questions avec le systeme d'equations lineaires :
(H)2 6 4x1x2+x3x4= 2 (S1)
2x12x2+ 3x34x4= 3 (S2)
x1+x2+x4= 3 (S3):
Exercice 7{K=R. Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x1+x2x3+x4= 1 (E1)
2x1+ 4x2+ 4x34x4= 0 (E2)
3x1+ 2x2+ 2x32x4= 4 (E3):
51) Quel est l'ordre des variables du systemeE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?
2) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce
systeme triangule ?3) Resoudre le systeme d'equations lineairesE.
Exercice 8{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x1+x2x3+x4= 1 (E1)
x1+ 2x2+ 3x34x4= 0 (E2)
x1+ 2x23x3+x4= 2 (E3):
1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce
systeme triangule ?2) Resoudre ce systeme en exprimant ses solutions a l'aide des variables libres du systeme triangule ?
Exercice 9{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 64x3+x2+x1= 1 (E1)
2x3+ 2x2+x1= 0 (E2)
x3+x2+ 2x1= 2 (E3):
1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE?
2) Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?
3) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.
4) Quelles sont les variables libres deE0? Quelles sont les solutions deE0? Quels sont les triplets de reels
(x1;x2;x3) de reels solutions deE?Exercice 10{
Nous considerons le systeme de 3 equations a 4 inconnues : (E)2 6 664x1+x2x3x4= 1 (E1)
x1+x2+x32x4= 3 (E2)
2x1x2+ 2x3x4= 2 (E3)
3x1+ 3x33x4= 5 (E4):
61) Quel est l'ordre des variablesx1;x2;x3;x4de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de
l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ?2) Resoudre le systemeE. Verier les calculs.
Exercice 11{Nous considerons le systeme de 4 equations a 4 inconnues a coecients rationnels : (E)2 6 664x1+ 2x2x3+ 2x4= 1 (E1)
2x1x2+x3+ 3x4= 1 (E2)
3x1+x2+ 5x4= 2 (E3)
x13x2+ 2x3+x4= 0 (E4):
1) Quel est l'ordre des variablesx1;x2;x3;x4de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de
l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ?2) Trouver les quadruplets de nombres rationnels solutions du systeme (E).
3) Verier les calculs en testant une solution particuliere.
4) Resoudre le systeme :
(Eh)2 6 664x1+ 2x2x3+ 2x4= 0 (E01)
2x1x2+x3+ 3x4= 0 (E02)
3x1+x2+ 5x4= 0 (E03)
x13x2+ 2x3+x4= 0 (E04):
1.2 Corrections
Correction de l'exercice 1 :
1) Une solution de l'equationx1+x2+x3+x4= 0 est un quadruplet de reels (s1;s2;s3;s4) tels que
s1+s2+s3+s4= 0.
La variablex1est la premiere variable, la variablex2la deuxieme,x3la troisieme etx4la quatrieme. L'equation
commence parx1. elle est d'ordre 1. Comme le systeme est constistue d'une seulle equation d'odre 1, l'ordre
des equations du systeme est strictement croissant. Le systeme est triangule. La variablex1est la seule
7 variable de t^ete. Les variablesx2;x3;x4sont les variables libres.2) Le quadruplet de reels (x1;x2;x3;x4) est une solution de notre equation si et seulement si :
x1=x2x3x4:
Ainsi , l'ensembleSdes solutions est :
S=f(x2x3x4;x2;x3;x4) tels quex2;x3;x42Rg;
=f+x2(1;1;0;0) +x3(1;0;1;0) +x4(1;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg:Ainsi, les solutions de notre equation sont l toutes les combinaisons lineaires des trois elements deR4:
(1;1;0;0), (1;0;1;0) et (1;0;0;1).Correction de l'exercice 2 :
1) Une solution de l'equation 2x1+x2x34x4= 5 est un quadruplet de reels (s1;s2;s3;s4) tels que
2s1+s2s34s4= 5.
La variablex1est la premiere variable, la variablex2la deuxieme,x3la trosieme etx4la quatrieme. L'equation
commence parx1. elle est d'ordre 1. Comme le systeme est constistue d'une seulle equation d'odre 1, l'ordre
des equations du systeme est strictement croissant. Le systeme est triangule. La variablex1est la seule
variable de t^ete. Les variablesx2;x3;x4sont les variables libres.2) Le quadruplet de reels (x1;x2;x3;x4) est une solution de notre equation si et seulement si :
x 1=12 x2+12 x3+ 2x4+52Ainsi , l'ensembleSdes solutions est :
S=f(12
x2+12 x3+ 2x4+52 ;x2;x3;x4) tels quex2;x3;x42Rg; =f(52 ;0;0;0) +x2(12 ;1;0;0) +x3(12 ;0;1;0) +x4(2;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg: 8 Ainsi, les solutions de notre equation sont les sommes du quadruplet de reels ( 52;0;0;0) avec toutes les com- binaisons lineaires des trois elements deR4: (12 ;1;0;0), (12 ;0;1;0) et (2;0;0;1).
3) L'equation homogene associee est
2x1+x2x34x4= 5:
Ses solutions sont :
fx2(12 ;1;0;0) +x3(12 ;0;1;0) +x4(2;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg:Correction de l'exercice 3 :
1) NotonsEle systeme :
(E)"x1+x2x3x4= 1 (E1)
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